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2020-2021学年度高中数学必修一
集合与函数概念章末检测
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合,则中所含元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各组函数是同一函数的是（
）
A．与y＝1
B．与
y＝x
C．与
y＝x
D．与
y＝x﹣1
3．下列函数是偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（
）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
5．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是(　　)
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
6．设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递增，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
9．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（
）
A．
B．
C．
D．
10．设是定义在上的奇函数，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．二次函数
在区间
上的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知，则为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
第II卷（非选择题）
二、填空题
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式组的解集用区间表示为__________．
14．函数的单调递增区间为________
15．设集合，且，则实数的取值范围是____________．
16．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
三、解答题
17．已知
（1）若，试证明在区间内单调递增；
（2）若，且在区间内单调递减，求的取值范围.
18．已知集合，若，，求p＋q＋r的值
19．已知函数.
（1）求函数的单调区间
（2）当时，有，求的范围.
20．已知函数f（x）＝．
（1）求f（x）的定义域、值域和单调区间；
（2）判断并证明函数g（x）＝xf（x）在区间（0，1）上的单调性．
21．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
22．已知，，若，
求的取值范围.
参考答案
1．D
【解析】
列举法得出集合，共含个元素．
故答案选
2．C
【详解】
解：对于，的定义域是，的定义域是，与不是同一函数，故错误；
对于，的定义域是，的定义域是，与不是同一函数，故错误；
对于，与对应关系相同，定义域者是，与是同一函数，故正确；
对于，，当时，与对应关系不同，与不是同一函数，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查两个函数是否是同一函数的判断，考查同一函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
3．A
【解析】
C.
定义域为
定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；
D.
定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；
B.
为奇函数
A.
定义域为
故为偶函数
选A
4．C
【详解】
解：是奇函数，是偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
5．C
【详解】
由于二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值，
因此函数在区间上是单调函数，
二次函数图象的对称轴方程为，
因此或，或，故选C.
【点睛】
本题主要考査了二次函数的性质的应用，解题的关键是判断二次函数在对应区间上的单调性，讨论对称轴与所给区间的关系，本题属于中档题.
6．D
【详解】
画出函数的图象如下图所示，
结合图象可得，要使函数是在上的增函数，
需满足，解得．
所以实数取值范围是．
故选D．
【点睛】
解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．
7．A
【详解】
依题意：
函数的图象关于对称，
则，
且在上单调递增
故
，
所以
故选：A.
【点睛】
本题考查抽象函数的性质，主要考查利用函数单调性求解不等式，中档题.
8．C
【详解】
由题意，函数是上的偶函数，是上的奇函数，
则函数，可得，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A、B；
又由函数的图象可知，当时，，所以，
可排除D，故选C．
【点睛】
本题主要考查了函数的图象的识别，以及函数的奇偶性的应用问题，其中解答中根据题意函数的奇偶性，得到的奇偶性，再根据函数的取值进行排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
9．C
【解析】
先利用函数的单调性排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果：随着时间的增加，距学校的距离在减小，即函数图象应为减函数，排除A、C
曲线的斜率反映行进的速度，斜率的绝对值越大速度越大，步行后速度变小，故排除B
故选D
10．A
【解析】
试题分析：因为当时，，所以.
又因为是定义在R上的奇函数，所以.
故应选A.
考点：函数奇偶性的性质.
11．C
【详解】
由于，函数的对称轴为，开口向上，所以当时函数有最小值为，当时，函数有最大值为，所以函数在区间
上的值域为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题.
12．A
【详解】
故选：A
【点睛】
本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．
【解析】
由是定义在上的奇函数，当时，解得
14．
【详解】
因为是图像开口向下的二次函数，其对称轴为，所以的单调递增区间为.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查二次函数的单调区间，二次函数单调区间的求解主要关注其图像的开口方向和对称轴，侧重考查直观想象的核心素养.
15．
【解析】
试题分析：依题意可得．
考点：集合的运算．
16．2
【详解】
∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
故答案为：2
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.
17．（1）证明见解析；（2）
【详解】
（1）证明：当时
设任意的且
∵，，∴
∴在内单调递增.
（2）任设，则
∵，，∴要使
只需在内恒成立,∴
综上所述：a的取值范围是
【点睛】
用定义证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形（分式一般进行通分，多项式一般分解因式）、判断符号、下结论.
18．
【详解】
由题意得，，代入A中方程得，
故，
由和，得
代入B中方程得，
所以
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系，以及集合间的关系的应用，应用一元二次方程的根与系数的关系，可使运算更简便.
19．(1)单调减区间是.
(2)
.
详解：(1)
，
函数在上单调减，
所以函数的单调减区间是.
(2)
时，，，
即和都在的单调减区间上，
所以由得，
解得或，又，所以，
所以的取值范围是.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间.
20．(1)见解析(2)见证明
【详解】
(1)由可得
则的定义域为
由
可得的值域为
的单调递减区间为和
(2)在上是减函数，证明如下：
，令且，
，由于“且”，故，，即，故，即，故函数在上为减函数.
【点睛】
本小题主要考查分式函数的定义域、值域以及单调区间的求法，考查利用定义法求解函数的单调性.利用定义法求函数在给定的区间上的单调性的方法是：首先在定义域上任取两个数，然后作差，通过通分和因式分解后，判断的正负，由此得到函数在给定区间上的单调性.
21．（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，不等式为，即，
该不等式解集为
.
（2）由已知得，若时，恒成立，
，
即，的取值范围为.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
22．或a>3
【解析】
试题分析：
由题意分类讨论和两种情况可得的取值范围是或a>3
试题解析：
①若，则,此时2a>a+3,∴a>3
②若，得解得
综上所述，a的取值范围是或a>3.
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精品试卷·第
2
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