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学案 正弦函数、余弦函数的性质(3)


【学习目标】
理解周期函数的定义及最小正周期的概念，掌握一类函数的周期公式，了解抽象函数的周期性；
熟悉三角函数的最值与单调性、奇偶性、周期性的联系.


【知识要点】
函数周期性的探究
定义：对于函数，如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小整数就叫做的最小正周期.
理解：
（1）周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的.如果只有个别的值满足，那么是不能称为的周期的.
（2）从等式来看，自变量本身所加的非零常数才是周期，如，不是周期，而应写成,即是的周期.
（3）不是所有的函数都是周期函数.如就不是周期函数.
（4）周期函数的周期不止一个，如果是函数的周期，那么也是函数
的周期.
函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周
期范围内的性质，就可以知道它的整体性质.
（6）不是所有的函数都存在最小正周期.如常数函数是周期函数，但没有最小正周期.
（7）若无特别说明，则现阶段所见的周期一般都是最小正周期.
3. 一类周期函数的周期公式
（1）一般地，函数及的最小正周期.
（2）若函数的周期是,则函数的周期为
4. 抽象函数的周期性
（1）若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期.
（2）若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期.若，则的一个周期为.
（3）若函数的图象有两条对称轴，则函数是周期函数，为它的一个周期.

三角函数的最值与单调性、奇偶性、周期性的联系
（1）三角函数为偶函数当且仅当取得最值.三角函数为奇函数当且仅当.
（2）由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的最值点与零点之间的区间长度为.


【典型例题】
类型一 函数的周期性
例一：已知函数，则下列关于的叙述正确的是（）



变式一：已知函数，则下列结论正确的是（）



例二：已知函数，下列结论错误的是（）



变式二：已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（）



例三：定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期为，当时，，则的值为（）



变式三：若函数在区间上出现了次最小值，则的取值范围是_________.


例四：已知函数.
（1）求它的定义域和值域；
（2）判断它的奇偶性；
（3）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期.





类型二 性质的综合应用
例五：设函数，若时，的最大值是，最小值是，则___，_____.


变式五：设函数，若不等式的解集为，则______.


例六：若关于的方程有解，则实数的范围是_____________.


变式六：设定义域为的奇函数为减函数，恒成立，则实数的取值范围为____________.


例七：已知函数，若存在，使，则实数的取值范围为____________.


变式七：已知函数，定义在非零实数集上的奇函数在上是增函数，且.若恒成立，则实数的取值范围为_____.




答案
例一：
变式一：
例二：
变式二：
例三：
变式三：
例四：（1）函数的定义域为，值域为.
（2）函数是非奇非偶函数.
（3）函数是周期函数，且最小正周期.
例五：
变式五：
例六：
变式六：
例七:
变式七：

















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