资源简介

(共30张PPT)
（1）向量共线充要条件

知识回顾
当 时，
与 同向，
且 是 的 倍;
当 时，
与 反向，
且 是 的 倍;
当 时，
，且 .






（2）向量的加法：
O
B
C
A


O

A

B


平行四边形法则
三角形法则




O
B
C
A


对于平面内的向量 ，根据三角形法则或者平行四边形法则，能很快的画出 .
反过来，如果知道一个和向量，能否用另外两个分向量表示呢？

新课导入

2.3.1 平面向量的基本定理



了解平面向量基本定理;
能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达;
两平面向量的夹角.

教学目标
知识与能力：
过程与方法：
学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决.
情感态度与价值观：
通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念.
重点：
平面向量的基本定理及其应用.
平面向量的基本定理.
难点：

教学重难点

思考：给定平面内任意两个向量 、 ，如何作出向量 、 ？
















O








O

C
A
B
M
N












O









C
A
B
M
N



补充：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2表示吗？
e1


a
a=λ1e1+0e2
e2


a
a=0e1+λ2e2

如果 , 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 ，有且只有一对实数
、 ，使

我们把不共线的向量 ， 叫做
表示这一平面内所有向量的一组基底.
平面向量的基本定理
唯一确定的数量.
3、　　　是被
1、　　必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底;
注意几个问题：
2、这个定理也叫共面向量定理;
向量的夹角


A
B
O


规定：
已知两个非零向量 ， ，

作
则
叫做向量 与 的夹角.


当 时， 与 同向；
当 时， 与 反向.

如果 与 的夹角是90°，我们说 与 垂直
记作 .
显然


判断下列命题的是否真命题，并说明理由.
1、 、 是平面内的一组向量，则平面内任一向
量都可以表示为 ，其中 、 .
2、 、 是平面内的一组基底，若实数 、 使
，则
3、如果 , 是同一平面内的两个不共线的向
量，那么对于这一平面内的任意向量 ，可能有
无数对实数 、 ，使 。






O
A
B

C







B
A
D
M




C





B
A
D
M


C
　　1、平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点。

课堂小结
　　2、向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是0°或180°，垂直向量的夹角是90°。

针对练习
1、已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b（ ）
A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
C
解析：
本题考查平面向量的基本概念、坐标运算。
取y轴的单位向量j=（0，1），则a+b=（1+x2）j
∴（a+b）∥j,故向量a+b平行于y轴，故选C
2、把函数y=ex的图像按向量a=(2,0)平移，得到y=f (x)的图像，则f (x)=( )
A.ex+2 B.ex-2
C. ex-2 D.ex+2
C
解析：
把函数y=ex的图像按向量a=(2,0)平移，即向右平移2个单位，向上平移0个单位，平移后得到y=f(x)的图像，f(x)=ex-2,故选C。










B
A
C
D


课堂练习

















作图，如下：

D




B
O
P
A

(共24张PPT)
平面向量的基本定理
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.
复习：

新课导入
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

教学目标
知识与能力：
过程与方法：
学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决.
情感态度与价值观：
通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念.
向量的坐标表示.
坐标表示.

教学重难点
重点：
难点：

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示







如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为　，下滑力为　，木块对斜面的压力为　，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？







　　重力　产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用　，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力　.也就是说，重力　的效果等价于　和　得合力效果，即　
　　在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.
　　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量　　是两个互相垂直的单位向量，向量　与　的夹角是30°，且　　　，以向量　　为基底，向量　如何表示？
B


O



A


P
平面向量的正交分解









如图， 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 为基底，则

（1，0）
（0，1）
（0，0）
平面向量的坐标表示
①
其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.
　　这样，平面内的任一向量　 都可由x，y唯一确定，我们把（x,y）叫做向量 的（直角）坐标，记作
概念理解


O
x
y

A





1．以原点O为起点作 ，点A的位置由谁确定?
由　唯一确定.
2．点A的坐标与向量　的坐标的关系？
两者相同
向量　
坐标（x ，y）

一 一 对 应


O
x
y

A






例1:如图，分别用基底 ， 表示向量 、 、 、，并求出它们的坐标.




A
A1
A2
解：如图可知
同理
　　向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.

课堂小结

针对练习
1、已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 ，则顶点D的坐标为（ ）
A. （2， ） B.（2， ）
C. （3，2） D.（ 1，3）
A
解析：
设D（x, y），
得x=2,y= ,故选A
2、平面向量a与b得夹角为60°，a=(2,0), ( )
B.
C. 4 D.12
B
解析：
本题考查向量的求模运算和数量积运算。因为a=(2,0)， ，
所以
故
2.若将向量 围绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 ，则 的坐标为（ ）.
1.若向量 =（1，-2）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是?????? ? ．
（-1，2）


课堂练习
4.已知A、B的坐标分别为 ，与 平行的向量的坐标可以是____________.　　　　　
（填写正确的序号）．
3.已知点A(8,2)，点B(3,5) ，将 沿x轴向左平移5个单位得到向量 ，则
①
；②
；③
；④
①②③






5.如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
设 ，填空：
（1）
（2）若用 来表示 ，则：
1
1
5




3
5
4
7





（3）向量 能否由 表示出来？可以的话，如何表示？
(共33张PPT)
在平面直角坐标中，向量如何用坐标来表示？










新课导入
　　掌握平面向量的和、差、积的运算，理解向量的坐标与端点的坐标换算，会用向量的运算求多边形在平面直角坐标系中的坐标.

教学目标
知识与能力：
过程与方法：
学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决.
情感态度与价值观：
通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念.
平面向量的和、差、积的运算.
用向量的运算求坐标系中的坐标.

教学重难点
重点：
难点：

2.3.3平面向量的坐标运算





x
y
O
B
A
已知 ，
你能得出 ， ，
的坐标吗？
　　这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
已知，
　=(x1,y1),　=(x2,y2)，
则
　　=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
即
　　=(x1+x2,y1+y2)
同理可得
　　=(x1-x2,y1-y2)
　　这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标.
已知　=(x，y)和实数λ，那么
λ　=(λx, λy)
即
例1:如图，已知 ，求 的坐标.





x
y
O
B
A
解：
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.





y
x
O
B(x2,y2)
A(x1,y1)
你能在图中标出坐标为 的P点吗？



P
　　标出P点后发现，向量　　的坐标与以原点为始点、点Ｐ为终点的向量的坐标是相同的，这样就建立了向量与点的坐标之间的联系．
例2:已知 ，求 的坐标.
解：
　　正方形ABCO，按顺时针方向依次为A→B→C→O，O为坐标原点
求向量 的坐标．
例3:


O
C
B
A





∵
∴
解：
设C点坐标为（x，y）
∴
∴
∴
已知三个力 的合力 ，求 的坐标.
例３：
解：由题设
得：(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
即：
∴
∴
例4：如图，已知 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.





A
B
C
D
x
y
O

解法１：设点D的坐标为（x,y）





A
B
C
D
x
y
O

解法2：由平行四边形法则可得




解得 x=2,y=2
所以顶点D的坐标为（2，2）
而
所以顶点D的坐标为（2，2）
1. 向量的坐标运算是根据向量的坐标表示和向量的线性运算律得出的结论，它符合实数的运算规律，并使得向量的运算完全代数化.
2.利用向量的坐标运算，可以求点的坐标.

课堂小结

针对 练习
1、在△ABC中， ，若点D满足 ,则 ( )
A. B.
C. D.
A
解析：
又
∴
1、已知
则
2、设
若
,则λ= , μ= .
-3
15

课堂练习
3、已知
A．（7，1）??????????? B．（-7，-1）?
C．（-7，1）?????????? D．（7，-1）
则
的坐标是（??? ）
Ｂ
4、已知向量
A．（x+4,2-y）???? B．（x-4,2-y）??
C．（x-4,y-2）???? D．（-4-x,-y+2）
则
B
5、已知
，求点A的坐标．
解：
∵
∴
∵
∴
∴点A的坐标为（8，-10）.
,求C、D的坐标．
解：
∵
即
∴
6、已知点A（-1，2），B（2，8），及
∴
即C点坐标为（0，4）.
∵
即
∴
∴
即D点坐标为（-2， 0）.
∴
∴
7、已知三个力　　　　　　　　　　　 的合力 求 的坐标.
即：
解：
由题设得：
(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
(共30张PPT)
问题？？



A

B

C
三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）共线的充要条件是能用坐标表示吗？

新课导入

2.3.4平面向量共线的坐标表示


x
y



O
P1
P2
P



　　巩固平面向量坐标的概念，掌握共线向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题。

教学目标
知识与能力：
过程与方法：
学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决。
情感态度与价值观：
通过实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念。
向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解。
定比分点的理解和应用。

教学重难点
重点：
难点：
问题：共线向量如何用坐标来表示呢？
设　　　　　　　　　其中　是非零向量,那么可以知道，　　共线（平行）的充要条件是存在一实数λ，使

上面这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）= λ(x2，y2)
即
（2）充要条件不能写成
这就是说，当且仅当
时，向量　　　　　　共线（平行）。
（1）消去λ时不能两式相除;
注:
例1：已知
=(3，5)，
=(2， y)，且
，求y.
∥
解:
例2：若向量 与 共线且方向相同，求x.
∴(-5)×10- x?(-x)=0
∴x=±
与
方向相同
∴x=
解：
与
共线
∵


例3、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。

A

B

C
解：在平面直角坐标系中作出A,B,C三点观察图形，我们猜想A,B,C三点共线。
例4：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。


x
y



O
P1
P2
P


(1)




M
解：（1）
所以，点P的坐标为


x
y



O
P1
P2
P

(2)

（2）如图2，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即

如果 ，那么
即点P的坐标是
同理，如果 ，那么点P的坐标就是
探究
例4中，当 时，点P的坐标是什么？


x
y



O
P1
P2
P

(3)

如果 ，那么
解：
∴点P的坐标是

即为定比分点坐标公式.
即
向量平行(共线)充要条件的两种形式:

课堂小结

针对练习
1、设向量a=（1，2），b=(-1,2)。若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ= _________
2
解析：
由（λa+b）∥c得，-7（λ+2）=-4（2λ+3），进而解得λ=2
1、若向量 与 的方向相反，则m的值是 ．
－4
2、已知
是一对不共线的非零向量，若
共线，则λ=??????? 。
且

课堂练习
3、已知向量
且
，则
A．
B．
C．
D．
A
4.已知
，则x等于（??? ）
且
A．3?
B．
C．－3
D．
B
5、三点A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）共线的充要条件是（??? ）
A．x1y2-x2y1=0?
D．(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)
C． (x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1) ?
B．x1y3-x3y1=0???
C
6、设
且
则锐角α为（??? ）
A．30°????? B．60°?????? C．45° D．75°
C
7、已知
当
与
共线时，x值为（??? ）
D．
C．
B．2
A．1??
D
即 共线
解法一：∵要使A、B、C三点共线
∴存在实数λ使得
即
于是
8、如果向量
其中 分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，
试确定实数m的值使A、B、C三点共线.?
∴ｍ＝－２? 即m=－2时，A、B、C三点共线.?
解法二：依题意知：
则
而
共线
∴ ｍ＝－２?
故当m=－2时，A、B、C三点共线
∴１×ｍ－１×（－２）＝0
9、已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，
向量
与
平行吗？
直线AB平行于直线CD吗？
解：∵
=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4)
=(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2－4×1=0
∴
∥
又 ∵
=(1－(-1)， 5－(-1))=(2，6)
=(2， 4)，2×4-2×6?0
∴
与
不平行
∴
A，B，C不共线
∴AB与CD不重合
∴AB∥CD

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