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课件25张PPT。第1课时　一元二次不等式及其解法一、 一元二次不等式的概念
1.思考:从未知数的个数以及未知数的最高次数看,不等式x2-2x-3>0,x2+5x≤0,-3x2-6x+1<0,4x2-1≥0等有什么共同特点?
提示:它们只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2.
2.填空:
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.
答案:A二、 一元二次不等式的解法
1.填空:2.做一做:
(1)判断正误.
①若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. (　　)
②若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是(-∞,x1]∪[x2,+∞),则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2. (　　)
③若关于x的方程ax2+bx+c=0没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　　)
④若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集. (　　)
答案:①√　②√　③×　④√
(2)①不等式x2-2x>0的解集是　　　　　.?
②不等式x2+3x+6<0的解集是　　　　　.?
答案:①{x|x>2或x<0}　②?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一元二次不等式的求解
例1解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
分析:先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.反思感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解:(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是?.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测已知不等式的解集求参数值
例2求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).
分析:根据解一元二次不等式的方法,逆向分析与思考,得出不等式对应方程根的情况,利用根与系数的关系进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|x1x2},当a<0时,其解集是{x|x10的解集.
解:∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两根.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测一元二次不等式的恒成立问题
例3已知函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,不等式f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对于一切实数x,不等式f(x)≥-2恒成立,求实数m的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.在解关于x的不等式ax2+bx+c>0(≥0)对一切x恒成立问题时,应注意对二次项的系数进行讨论,需研究二次项系数为0时是否满足题意.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例中,若将条件改为当x∈[1,3]时,不等式f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测忽视二次项系数为零的情况致误
典例关于x的不等式(1+m)x2+mx+mA.? B.R 解析:因为Δ=1-8=-7<0,且对应函数图象的开口向上,所以不等式的解集为?.
答案:A
2.函数f(x)=lg(1-x)(x-4)的定义域为(　　)
A.(1,4) B.[1,4)
C.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(-∞,1]∪(4,+∞)
解析:由题意知(x-1)·(x-4)<0,解得1答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测a与c的值分别为(　　)
A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1
C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6答案:B 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测4.不等式-6x2-x+2≤0的解集是　　　　　.? 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测5.若关于x的不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
解:当m2-2m-3=0时,m=3或m=-1.
若m=3,不等式化为-1<0,显然对于x∈R恒成立,满足题意;
若m=-1,不等式化为4x-1<0,显然不满足对于x∈R恒成立.

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