资源简介

2019-2020 学年四川省眉山市东辰国际学校九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（共 15 小题，共计 45 分）
1．（3分）下列计算正确的是 ( )
A． 16 4? ? B．3 2 2 2 1? ? C． 24 6 4? ? D． 2 6 2
3
??
2．（3分）方程 2 2( 1) 5 0m x mx? ? ? ? 是关于 x的一元二次方程，则m满足的条件是 ( )
A． 1m ? B． 0m ? C． | | 1m ? D． 1m ? ?
3．（3分）用配方法解方程 2 2 5 0x x? ? ? 时，原方程应变形为 ( )
A． 2( 1) 6x ? ? B． 2( 1) 6x ? ? C． 2( 2) 9x ? ? D． 2( 2) 9x ? ?
4．（3分）下列二次根式中与 24是同类二次根式的是 ( )
A． 18 B． 30 C． 48 D． 54
5．（3分）如果一元二次方程 2 ( 1) 0x m x m? ? ? ? 的两个根是互为相反数，那么有 ( )
A． 0m ? B． 1m ? ?
C． 1m ? D．以上结论都不对
6．（3分）若代数式 3m ? 是二次根式，则m的取值范围是 ( )
A． 3m? B． 3m ? C． 3m? D． 3m ?
7．（3 分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185元降到了 580元，设平均
每次降价的百分率为 x，列出方程正确的是 ( )
A． 2580(1 ) 1185x? ? B． 21185(1 ) 580x? ?
C． 2580(1 ) 1185x? ? D． 21185(1 ) 580x? ?
8．（3分）用配方法将二次函数 23 4 2y x x? ? ? 写成形如 2( )y a x m n? ? ? 的形式，则m、n
的值分别是 ( )
A． 2 10,
3 3
m n? ? B． 2 10,
3 3
m n? ? ? ? C． 2m ? ， 6n ? D． 2m ? ， 2n ? ?
9．（3分）下列各组图形不一定相似的是 ( )
A．两个等腰直角三角形
B．各有一个角是100?的两个等腰三角形
C．各有一个角是 50?的两个直角三角形
D．两个矩形
10．（3分）关于 x的方程 2( 6) 8 6 0a x x? ? ? ? 有实数根，则整数 a的最大值是 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
11．（3 分）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小
正方体的个数是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（3分）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形一定是 ( )
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
13．（3分）如图，大正方形中有 2个小正方形，如果它们的面积分别是 1S 、 2S ，那么 1S 、
2S 的大小关系是 ( )
A． 1 2S S? B． 1 2S S?
C． 1 2S S? D． 1S 、 2S 的大小关系不确定
14．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 6 1 0x x k? ? ? ? 的两个实数根是 1x ， 2x ，且
2 2
1 2 24x x? ? ，则 k的值是 ( )
A．8 B． 7? C．6 D．5
15．（3分）设 a，b是方程 2 2019 0x x? ? ? 的两个实数根，则 2 2a a b? ? 的值为 ( )
A．20016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题（共 5 小题，每空 3 分，共 15 分）
16．（3分）关于 x的方程 2 6 0x x p? ? ? 的两个根是? 、 ? ，且 2 3 20? ?? ? ，则 p ? ．
17．（3分）将 1a
a
? 根号外的因式移入根号内的结果是 ．
18．（3分）如果 3? 是分式方程 32a
x a a x
? ?
? ?
的增根，则 a ? ．
19．（3分）已知 2 5x? ? ，化简 2 2( 2) ( 5)x x? ? ? ? ．
20．（3分）正方形 1 1 1A BC O， 2 2 2 1A B C C ， 3 3 3 2A B C C ，?按如图所示的方式放置．点 1A， 2A ，
3A ，?和点 1C ， 2C ， 3C ，?分别在直线 ( 0)y kx b k? ? ? 和 x轴上，已知点 1(1,1)B ， 2 (3,2)B ，
则 nB 的坐标是 ．
三、解答题（共 90 分）
21．（5分） 13 8 3 32 2 18 4
2
? ? ? ．
22．（5分）已知 3 2
3 2
x ??
?
，
3 2
3 2
y ??
?
，求
3 2
4 3 2 2 32
x xy
x y x y x y
?
? ?
的值．
23．（6分）已知 2 3 1 0x x? ? ? ，求 2 2
1 2x
x
? ? 的值．
24．（5分）解方程 7 9 4 5 1
2 3 2 3
x x
x x
? ?
? ?
? ?
．
25．（6分）解方程： 22 5 3 0x x? ? ? ? （用配方法）
26．（8分）已知 x， y是实数，且
2 29 9 2
3
x xy
x
? ? ? ?
?
?
，求 5 6x y? 的值．
27．（8分）已知关于 x的方程 2( 2) 5 3 0m x mx m? ? ? ? ? ．
（1）求证方程有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于 3，求m的值．
28．（10分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AE BC? ，垂足为 E，连接DE，F
为线段DE上一点，且 AFE B? ? ? ．
（1）求证： ADF DEC? ?∽ ；
（2）若 4AB ? ， 3 3AD ? ， 3AE ? ，求 AF 的长．
29．（7 分）若方程 2 3 1 0x x? ? ? 的两根分别为? ， ? ，求经过点 2 2(P ? ?? ， 1 1 )
? ?
? 和
(Q ? ?
? ?
? ， 2 2 )? ?? 的一次函数图象的解析式．
30．（8 分）如图，已知反比例函数 ky
x
? 与一次函数 y x b? ? 的图象在第一象限相交于点
(1, 4)A k? ? ．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点 B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于
一次函数的值的 x的取值范围．
31．（10分）如图，在 ABC? 中， AB AC? ，D是 AB的中点，延长 AB到 E，使 BE AB? ．
试说明：（1） ADC ACE? ?∽ ；（2） 2CE DC? ．
32．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件可盈利 40元．为了扩
大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每
件降价 1元，商场平均每天可多售出 2件．
（1）若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到 1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请
说明理由；
（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
一、选择题（共 15 分）
33．（5分）化简代数式 3 2 2 3 2 2? ? ? 的结果是 ( )
A．3 B．1 2? C． 2 2? D． 2 2
34．（5 分）如图，反比例函数 ( 0)ky x
x
? ? 的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别
与 AB、 BC相交于点 D、 E．若四边形ODBE的面积为 6，则 k的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
35．（5分）函数 y ax a? ? 与 ( 0)ay a
x
? ? 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
36．（5分）已知 2 5 1 0m m? ? ? ，则 2 2
12 5m m
m
? ? ? ．
37．（8分）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为 200m、120m，花
坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为 3xm、 2xm．
（1）用代数式表示三条通道的总面积 S；当通道总面积为花坛总面积的 11
125
时，求横、纵
通道的宽分别是多少？
（2）如果花坛绿化造价为每平方米 3 元，通道总造价为3168x元，那么横、纵通道的宽分
别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．
（以下数据可供参考： 285 7225? ， 286 7396? ， 287 7569)?
38．（8分）已知：在四边形 ABCD中， / /AB CD，AB AD? ， AEB CED? ? ? ．F 为 BC的
中点．求证：
1 ( )
2
AF DF BF CE? ? ? ．
39．（14分）在Rt ABC? 中， 90ACB? ? ?， D为 AB边上一点，且CD AB? ．
（1）求证： 2AC AB AD? ? ；
（2）若 ABC? 为任意三角形，试问：在 AB边上（不包括 A、 B两个顶点）是否仍存在一
点D，使 2AC AB AD? ? ，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
2019-2020 学年四川省眉山市东辰国际学校九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 15 小题，共计 45 分）
1．（3分）下列计算正确的是 ( )
A． 16 4? ? B．3 2 2 2 1? ? C． 24 6 4? ? D． 2 6 2
3
??
【解答】解： A、错误，算术平方根的结果是一个非负数，应该等于 4；
B、错误，要注意系数与系数相减，根式不变，应等于 2 ；
C、错误，应该等于 4 2? ；
D、正确， 2 26 6 2
3 3
? ? ?? ．
故选： D．
2．（3分）方程 2 2( 1) 5 0m x mx? ? ? ? 是关于 x的一元二次方程，则m满足的条件是 ( )
A． 1m ? B． 0m ? C． | | 1m ? D． 1m ? ?
【解答】解：?方程 2 2( 1) 5 0m x mx? ? ? ? 是关于 x的一元二次方程，
2 1 0m? ? ? ，即 | | 1m ? ．
故选：C．
3．（3分）用配方法解方程 2 2 5 0x x? ? ? 时，原方程应变形为 ( )
A． 2( 1) 6x ? ? B． 2( 1) 6x ? ? C． 2( 2) 9x ? ? D． 2( 2) 9x ? ?
【解答】解：方程移项得： 2 2 5x x? ? ，
配方得： 2 2 1 6x x? ? ? ，
即 2( 1) 6x ? ? ．
故选： B．
4．（3分）下列二次根式中与 24是同类二次根式的是 ( )
A． 18 B． 30 C． 48 D． 54
【解答】解： 24 2 6? ；
A、 18 3 2? ，被开方数是 2；故本选项错误；
B、 30 是最简二次根式，被开方数是 30；故本选项错误；
C、 48 4 3? 被开方数是 3；故本选项错误；
D、 54 3 6? ，被开方数是 6；故本选项正确．
故选： D．
5．（3分）如果一元二次方程 2 ( 1) 0x m x m? ? ? ? 的两个根是互为相反数，那么有 ( )
A． 0m ? B． 1m ? ?
C． 1m ? D．以上结论都不对
【解答】解：设该一元二次方程的两个根分别是 1x 、 2x ，则根据题意知
1 2 ( 1) 0x x m? ? ? ? ? ，即 1 0m ? ? ，
解得， 1m ? ? ；
故选： B．
6．（3分）若代数式 3m ? 是二次根式，则m的取值范围是 ( )
A． 3m? B． 3m ? C． 3m? D． 3m ?
【解答】解：?代数式 3m ? 是二次根式，
3 0m? ? ? ，解得 3m? ．
故选：C．
7．（3 分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1185元降到了 580元，设平均
每次降价的百分率为 x，列出方程正确的是 ( )
A． 2580(1 ) 1185x? ? B． 21185(1 ) 580x? ?
C． 2580(1 ) 1185x? ? D． 21185(1 ) 580x? ?
【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，
由题意得出方程为： 21185(1 ) 580x? ? ．
故选： D．
8．（3分）用配方法将二次函数 23 4 2y x x? ? ? 写成形如 2( )y a x m n? ? ? 的形式，则m、n
的值分别是 ( )
A． 2 10,
3 3
m n? ? B． 2 10,
3 3
m n? ? ? ? C． 2m ? ， 6n ? D． 2m ? ， 2n ? ?
【解答】解： 2 2 2
4 16 4 2 103 4 2 3( ) 2 3( )
3 36 3 3 3
y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
2 10,
3 3
m n? ? ? ?
故选： B．
9．（3分）下列各组图形不一定相似的是 ( )
A．两个等腰直角三角形
B．各有一个角是100?的两个等腰三角形
C．各有一个角是 50?的两个直角三角形
D．两个矩形
【解答】解： A、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相
似，故本选项正确；
B、各有一个角是100?的两个等腰三角形，100?的角一定是顶角，一定相似，故本选项正
确；
C、各有一个角是50?的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相
似，故本选项正确；
D、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故本选项错
误．
故选： D．
10．（3分）关于 x的方程 2( 6) 8 6 0a x x? ? ? ? 有实数根，则整数 a的最大值是 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：当 6 0a ? ? ，即 6a ? 时，方程是 8 6 0x? ? ? ，解得 6 3
8 4
x ? ? ；
当 6 0a ? ? ，即 6a ? 时，△ 2( 8) 4( 6) 6 208 24 0a a? ? ? ? ? ? ? ? ，解上式，得 26 8.6
3
a ?? ，
取最大整数，即 8a ? ．故选C ．
11．（3 分）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小
正方体的个数是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为：
主视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，1；
左视图有两列，每列的方块数分别是：1，2；
俯视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，2；
因此总个数为1 2 1 1 1 6? ? ? ? ? 个，
故选： B．
12．（3分）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形一定是 ( )
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：如图所示．
根据三角形中位线定理，
1
2
EF GH BD? ? ； 1
2
FG EH AC? ? ．
ABCD? 为等腰梯形， AC BD? ? ．
EF GH FG EH? ? ? ? ．
EFGH? 为菱形．
故选：C．
13．（3分）如图，大正方形中有 2个小正方形，如果它们的面积分别是 1S 、 2S ，那么 1S 、
2S 的大小关系是 ( )
A． 1 2S S? B． 1 2S S?
C． 1 2S S? D． 1S 、 2S 的大小关系不确定
【解答】解：如图，设大正方形的边长为 x，
根据等腰直角三角形的性质知，
2AC BC? ， 2BC CE CD? ? ，
2AC CD? ? ，
3
xCD ? ，
2S? 的边长为
2
3
x，
2S 的面积为
22
9
x ，
1S 的边长为 2
x
，
1S 的面积为
21
4
x ，
1 2S S? ? ，
故选： A．
14．（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 2 6 1 0x x k? ? ? ? 的两个实数根是 1x ， 2x ，且
2 2
1 2 24x x? ? ，则 k的值是 ( )
A．8 B． 7? C．6 D．5
【解答】解：由根与系数的关系可知： 1 2 6
bx x
a
? ? ? ? ，
1 2 1
cx x k
a
? ? ?? ，
2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 36 2( 1) 24x x x x x x k? ? ? ? ? ? ? ?? ，
解之得 5k ? ．故选D．
15．（3分）设 a，b是方程 2 2019 0x x? ? ? 的两个实数根，则 2 2a a b? ? 的值为 ( )
A．20016 B．2017 C．2018 D．2019
【解答】解： a? 是方程 2 2019 0x x? ? ? 的实数根，
2 2019 0a a? ? ? ? ，
2 2019a a? ? ? ? ，
2 2 2019 2 2019a a b a a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
a? ， b是方程 2 2019 0x x? ? ? 的两个实数根，
1a b? ? ? ? ，
2 2 2019 1 2018a a b? ? ? ? ? ? ．
故选：C．
二、填空题（共 5 小题，每空 3 分，共 15 分）
16．（3分）关于 x的方程 2 6 0x x p? ? ? 的两个根是? 、? ，且 2 3 20? ?? ? ，则 p ? 16? ．
【解答】解：根据题意得 6? ?? ? ①， p?? ? ②，
而 2 3 20? ?? ? ③，
由①③得 2? ? ? ， 8? ? ，
所以 2 8 16p ? ? ? ? ? ．
故答案为 16? ．
17．（3分）将 1a
a
? 根号外的因式移入根号内的结果是 a? ? ．
【解答】解：?要使 1
a
? 有意义，
必须
1 0
a
? ? ，
即 0a ? ，
所以 2
1 1( ) ( )a a a
a a
? ? ? ? ? ? ? ? ．
18．（3分）如果 3? 是分式方程 32a
x a a x
? ?
? ?
的增根，则 a ? 3 ．
【解答】解：去分母得： 2 2 3a x a? ? ? ，
由分式方程有增根是 3? ，
把 3x ? ? 代入 2 2 3a x a? ? ? ，可得： 6 2 3a a? ? ? ，
解得： 3a ? ；
故答案为：3
19．（3分）已知 2 5x? ? ，化简 2 2( 2) ( 5)x x? ? ? ? 3 ．
【解答】解： 2 5x? ?? ，
? 2 2( 2) ( 5) 2 5 3x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ．
故答案为：3
20．（3分）正方形 1 1 1A BC O， 2 2 2 1A B C C ， 3 3 3 2A B C C ，?按如图所示的方式放置．点 1A， 2A ，
3A ，?和点 1C ， 2C ， 3C ，?分别在直线 ( 0)y kx b k? ? ? 和 x轴上，已知点 1(1,1)B ， 2 (3,2)B ，
则 nB 的坐标是 (2 1
n ? ， 12 )n? ．
【解答】解：?点 1(1,1)B ， 2 (3,2)B ，
1(0A? ， 21) (1A ， 32) (3,4)A ，
?直线 ( 0)y kx b k? ? ? 为 1y x? ? ，
Bn? 的横坐标为 1nA ? 的横坐标，纵坐标为 An的纵坐标
又 nA 的横坐标数列为
12 1nAn ?? ? ，所以纵坐标为 12n? ，
Bn? 的坐标为 [ ( 1)A n ? 的横坐标， An的纵坐标 ] (2 1n? ? ， 12 )n? ．
故答案为： (2 1n ? ， 12 )n? ．
三、解答题（共 90 分）
21．（5分） 13 8 3 32 2 18 4
2
? ? ? ．
【解答】解：原式 6 2 12 2 2 2? ? ?
2 2? ? ．
22．（5分）已知 3 2
3 2
x ??
?
，
3 2
3 2
y ??
?
，求
3 2
4 3 2 2 32
x xy
x y x y x y
?
? ?
的值．
【解答】解：
2( 3 2) 5 2 6
( 3 2)( 3 2)
x ?? ? ?
? ?
? ，
2( 3 2) 5 2 6
( 3 2)( 3 2)
y ?? ? ?
? ?
，
10x y? ? ? ， 25 24 1xy ? ? ? ， 4 6x y? ? ，
?原式 2 2 2
( )( )
( 2 )
x x y x y
x y x xy y
? ?
?
? ?
2
( )( )
( )
x y x y
xy x y
? ?
?
?
( )
x y
xy x y
?
?
?
4 6
1 10
?
?
2 6
5
? ．
23．（6分）已知 2 3 1 0x x? ? ? ，求 2 2
1 2x
x
? ? 的值．
【解答】解： 2 3 1 0x x? ? ?? ，
13 0x
x
? ? ? ? ，
1 3x
x
? ? ? ，
? 2
1( ) 9x
x
? ? ，
? 2 2
12 9x
x
? ? ? ，
? 2 2
12 5x
x
? ? ? ，
? 2 2
1 2 5x
x
? ? ? ．
24．（5分）解方程 7 9 4 5 1
2 3 2 3
x x
x x
? ?
? ?
? ?
．
【解答】解：方程两边同乘以 2 3x? ，
可得： 7 9 4 5 2 3x x x? ? ? ? ?
9 4 3 2 5 7x x x? ? ? ? ? ?
10 10x? ? ?
1x ?
经检验 1x ? 是原方程的解．
25．（6分）解方程： 22 5 3 0x x? ? ? ? （用配方法）
【解答】解： 22 5 3 0x x? ? ? ?? ，
2 5 3
2 2
x x? ? ? ，
2 5 25 49
2 16 16
x x? ? ? ? ，
25 49( )
4 16
x? ? ? ，
5 7
4 4
x? ? ? ? ，
3x? ? 或 1
2
x ? ? ；
26．（8分）已知 x， y是实数，且
2 29 9 2
3
x xy
x
? ? ? ?
?
?
，求 5 6x y? 的值．
【解答】解：由题意得，
2
2
9 0
9 0
3 0
x
x
x
? ?
? ??
? ? ??
?
? ，
解得 3x ? ，
所以，
2 1
3 3 3
y ?? ? ?
?
，
所以，
15 6 5 3 6 ( ) 15 2 13
3
x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
27．（8分）已知关于 x的方程 2( 2) 5 3 0m x mx m? ? ? ? ? ．
（1）求证方程有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于 3，求m的值．
【解答】（1）证明：当 2 0m ? ? 时，方程化为 2 5 5 0x ? ? ，解得 5
2
x ? ；
当 2 0m ? ? 时，△ 2 2( 5 ) 4( 2)( 3) ( 2) 20m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ，
2( 2) 0m ?? ? ，
?△ 0? ，
即 2m ? ? 时，方程有两个不相等的实数根，
?方程有实数根；
（2）解：设方程两实数根为 a，b，
则
5
2
ma b
m
? ?
?
，
3
2
mab
m
?
?
?
，
2 2 3a b? ?? ，
2( ) 2 3a b ab? ? ? ? ，
25 3( ) 2 3
2 2
m m
m m
?
? ? ? ?
? ?
，
解得 0m ? ．
28．（10分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AE BC? ，垂足为 E，连接DE，F
为线段DE上一点，且 AFE B? ? ? ．
（1）求证： ADF DEC? ?∽ ；
（2）若 4AB ? ， 3 3AD ? ， 3AE ? ，求 AF 的长．
【解答】解：（1）?四边形 ABCD是平行四边形，
/ /AB CD? ， / /AD BC ，
180B C?? ?? ? ?， ADF DEC? ? ? ，
180AFD AFE? ?? ? ?? ， AFE B? ? ? ，
AFD C?? ? ? ，
ADF DEC?? ?∽ ；
（2） AE BC?? ， 3 3AD ? ， 3AE ? ，
?在Rt DAE? 中， 2 2 2 2(3 3) 3 6DE AD AE? ? ? ? ? ，
由（1）知 ADF DEC? ?∽ ，得 AF AD
DC DE
? ，
4 3 3 2 3
6
DC ADAF
DE
? ?
? ? ? ? ．
29．（7 分）若方程 2 3 1 0x x? ? ? 的两根分别为? ， ? ，求经过点 2 2(P ? ?? ， 1 1 )
? ?
? 和
(Q ? ?
? ?
? ， 2 2 )? ?? 的一次函数图象的解析式．
【解答】解：根据题意得 3? ?? ? ? ， 1?? ? ? ，
2 2 2 2( ) 2 ( 3) 2 ( 1) 11? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
1 1 3 3
1
? ?
? ? ??
? ?
? ? ? ?
?
，
2 2 11 11
1
? ? ? ?
? ? ??
?
? ? ? ? ?
?
，
P? 点坐标为 (11,3)，Q点坐标为 ( 11,11)? ，
设直线 PQ的解析式为 y kx b? ? ，
把 (11,3)P ， ( 11,11)Q ? 分别代入得
11 3
11 11
k b
k b
? ??
?? ? ??
，解得
4
11
7
k
b
? ? ??
?
? ??
，
?直线 PQ的解析式为 4 7
11
y x? ? ? ．
30．（8 分）如图，已知反比例函数 ky
x
? 与一次函数 y x b? ? 的图象在第一象限相交于点
(1, 4)A k? ? ．
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点 B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于
一次函数的值的 x的取值范围．
【解答】解：（1）?已知反比例函数 ky
x
? 经过点 (1, 4)A k? ? ，
? 4
1
kk? ? ? ，即 4k k? ? ? ，
2k? ? ，
(1,2)A? ，
?一次函数 y x b? ? 的图象经过点 (1,2)A ，
2 1 b? ? ? ，
1b? ? ，
?反比例函数的表达式为
2y
x
? ．
一次函数的表达式为 1y x? ? ．
（2）由
1
2
y x
y
x
? ??
?
?
???
，
消去 y，得 2 2 0x x? ? ? ．
即 ( 2)( 1) 0x x? ? ? ，
2x? ? ? 或 1x ? ．
1y? ? ? 或 2y ? ．
?
2
1
x
y
? ??
? ? ??
或
1
2
x
y
??
? ??
．
?点 B在第三象限，
?点 B的坐标为 ( 2, 1)? ? ，
由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时， x的取值范围是 2x ? ? 或 0 1x? ? ．
31．（10分）如图，在 ABC? 中， AB AC? ，D是 AB的中点，延长 AB到 E，使 BE AB? ．
试说明：（1） ADC ACE? ?∽ ；（2） 2CE DC? ．
【解答】证明：（1） D? 是 AB中点，
?
1
2
AD AD
AB AC
? ? ．
AB BE AC? ?? ，
?
1
2
AC
AE
? ．
?
AD AC
AC AE
? ．
A A? ? ?? ，
ADC ACE?? ?∽ ．
（2）由（1）得： ADC ACE? ?∽ ，
?
1
2
DC AC
CE AE
? ? ．
即 2CE DC? ．
32．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件可盈利 40元．为了扩
大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每
件降价 1元，商场平均每天可多售出 2件．
（1）若商场平均每天要盈利 1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）该商场平均每天盈利能达到 1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请
说明理由；
（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 x元，则每件盈利 40 x? 元，每天可以售出 20 2x? ，
由题意，得 (40 )(20 2 ) 1200x x? ? ? ，
即： ( 10)( 20) 0x x? ? ? ，
解，得 1 10x ? ， 2 20x ? ，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以 x的值应为 20，
所以，若商场平均每天要盈利12 0O 元，每件衬衫应降价 20元；
（2）假设能达到，由题意，得 (40 )(20 2 ) 1500x x? ? ? ，
整理，得 22 60 700 0x x? ? ? ，
△ 260 2 4 700 3600 5600 0? ? ? ? ? ? ? ，
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到 1500元；
（3）设商场平均每天盈利 y元，每件衬衫应降价 x元，
由题意，得 (40 )(20 2 )y x x? ? ? ，
2800 80 20 2x x x? ? ? ? ，
22( 30 225) 450 800x x? ? ? ? ? ? ，
22( 15) 1250x? ? ? ? ，
当 15x ? 元时，该函数取得最大值为 1250元，
所以，商场平均每天盈利最多 1250元，达到最大值时应降价 15元．
一、选择题（共 15 分）
33．（5分）化简代数式 3 2 2 3 2 2? ? ? 的结果是 ( )
A．3 B．1 2? C． 2 2? D． 2 2
【解答】解：原式 2 2( 2 1) ( 2 1)? ? ? ? ，
2 1 2 1? ? ? ? ，
2 2? ．
故选： D．
34．（5 分）如图，反比例函数 ( 0)ky x
x
? ? 的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别
与 AB、 BC相交于点 D、 E．若四边形ODBE的面积为 6，则 k的值为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得： E、M 、 D位于反比例函数图象上，则
2OCE
k
S? ? ， 2OAD
k
S? ? ，
过点M 作MG y? 轴于点G，作MN x? 轴于点 N，则 ONMGS k?? ，
又 M? 为矩形 ABCO对角线的交点，则 S矩形 4 4ONMGABCO S k? ?? ，
由于函数图象在第一象限， 0k ? ，则 6 4
2 2
k k k? ? ? ， 2k ? ．
故选： B．
35．（5分）函数 y ax a? ? 与 ( 0)ay a
x
? ? 在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
【解答】解： A、从反比例函数图象得 0a ? ，则对应的一次函数 y ax a? ? 图象经过第一、
三、四象限，所以 A选项错误；
B、从反比例函数图象得 0a ? ，则对应的一次函数 y ax a? ? 图象经过第一、三、四象限，
所以 B选项错误；
C、从反比例函数图象得 0a ? ，则对应的一次函数 y ax a? ? 图象经过第一、二、四象限，
所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得 0a ? ，则对应的一次函数 y ax a? ? 图象经过第一、二、四象限，
所以 D选项正确．
故选： D．
36．（5分）已知 2 5 1 0m m? ? ? ，则 2 2
12 5m m
m
? ? ? 28 ．
【解答】解： 2 5 1 0m m? ? ?? ，
2 5 1m m? ? ? ， 1 5m
m
? ? ，
21( ) 25m
m
? ? ? ，
2
2
1 2 25m
m
? ? ? ? ，
2
2
1 27m
m
? ? ? ，
2 2 2
2 2
1 12 5 5 27 1 28m m m m m
m m
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
故答案为：28．
37．（8分）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为 200m、120m，花
坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为 3xm、 2xm．
（1）用代数式表示三条通道的总面积 S；当通道总面积为花坛总面积的 11
125
时，求横、纵
通道的宽分别是多少？
（2）如果花坛绿化造价为每平方米 3 元，通道总造价为3168x元，那么横、纵通道的宽分
别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．
（以下数据可供参考： 285 7225? ， 286 7396? ， 287 7569)?
【解答】解：（1）由题意得：
2 23 200 2 120 2 2 6 12 1080S x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ?
由
11 200 120
125
S ? ? ? ，得：
2 1112 1080 200 120
125
x x?? ? ? ? ? ，
即 2 90 176 0x x? ? ? ，解得：
2x ? 或 88x ?
又 0x ?? ， 4 200x ? ，3 120x ? ，
?解得 0 40x? ? ，
2x? ? ，得横、纵通道的宽分别是 6m、 4m．
（2）设花坛总造价为 y元．
则 23168 (200 120 ) 3 3168 (24000 12 1080 ) 3y x S x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 236 72 72000 36( 1) 71964x x x? ? ? ? ? ? ，
当 1x ? ，即横、纵通道的宽分别为 3m、2m时，花坛总造价最低，最低总造价为 71964元．
38．（8分）已知：在四边形 ABCD中， / /AB CD，AB AD? ， AEB CED? ? ? ．F 为 BC的
中点．求证：
1 ( )
2
AF DF BF CE? ? ? ．
【解答】证明：延长 BE、CD交于点G，如图所示：
AEB CED? ? ?? ， AEB GED? ? ? ，
GED CED?? ? ? ，
/ /AB CD? ， AB AD? ，
ED CG? ? ，
EDG EDC?? ? ? ，
在 EDG? 和 EDC? 中，
GED CED
DE DE
EDG EDC
? ? ??
? ??
?? ? ??
，
( )EDG EDC ASA?? ? ? ，
EG EC? ? ， DG DC? ，
BE CE BE EG BG? ? ? ? ? ，
F? 为 BC的中点，
BF CF? ? ，
DG DC?? ，
DF? 是 BCG? 的中位线，
1 1 ( )
2 2
DF BG BE CE? ? ? ? ，
同理：
1 ( )
2
AF BE CE? ? ，
1 ( )
2
AF DF BF CE? ? ? ? ．
39．（14分）在Rt ABC? 中， 90ACB? ? ?， D为 AB边上一点，且CD AB? ．
（1）求证： 2AC AB AD? ? ；
（2）若 ABC? 为任意三角形，试问：在 AB边上（不包括 A、 B两个顶点）是否仍存在一
点D，使 2AC AB AD? ? ，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明： CD AB?? ，
90ADC ACB?? ? ? ? ?，
A A? ? ?? ，
ACD ABC?? ?∽ ，
?
AC AD
AB AC
? ，
2AC AB AD? ? ? ；
（2）解：存在，
理由：如图，
过C作 ACD B? ? ? 交 AB于 D，
则 2AC AB AD? ? ，
证明： ACD B? ? ?? ， A A? ? ? ，
ACD ABC?? ?∽ ，
?
AC AD
AB AC
? ，
2AC AB AD? ? ? ．

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