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苏教版高中数学必修一3.1.2指数函数
一、单选题
1.若a>0，且a≠1，则函数y=ax-1+1的图像一定过定点（
??）
A.?（0，1）??????????????????????????B.?（1，1）??????????????????????????C.?（1，2）??????????????????????????D.?（0，-1）
2.函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（??
）
A.?a＝1或a＝2?????????????????????????????B.?a＝1?????????????????????????????C.?a＝2?????????????????????????????D.?a>0且a≠1
3.函数
是（????
）
A.?奇函数????????????????????B.?偶函数????????????????????C.?既是奇函数又是偶函数????????????????????D.?非奇非偶函数
4.如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax
，
y=bx
，
y=cx
，
y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（　　）?
?
A.?a＜b＜c＜d?????????????????????B.?a＜b＜d＜c?????????????????????C.?b＜a＜d＜c?????????????????????D.?b＜a＜c＜d
5.函数y=
的大致图象为(??
)
A.???????????????????????????????????????????B.?
C.????????????????????????????????????????????D.?
6.函数
的图象大致是（??
）
?????????????B.??????????
???C.?????????????D.?
7.设a＝
，b＝
，c＝
，则a
，
b
，
c的大小关系是(
?
?
)
A.?a>b>c???????????????????????????????B.?c>a>b???????????????????????????????C.?ac>a
8.若函数
(a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(??
)
A.?(0，
)???????????????????????B.?(
，1)????????????????????????C.?(0，
]????????????????????????D.?[
，1)
9.设平行于x轴的直线l分别与函数
和
的图象相交于点A，B，若在函数
的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（
??）
A.?至少一条??????????????????????????B.?至多一条??????????????????????????C.?有且只有一条??????????????????????????D.?无数条
二、填空题
10.________
11.若指数函数f（x）=（2a+1）x在R上的减函数，则a的取值范围是________．
12.指数函数
在
上最大值与最小值之差为6，则
________.
13.求不等式
?
中
的取值范围________.
14.已知函数
，若
，则
________.
15.设
，使不等式
成立的
的集合是________．
16.指数函数y=（）x的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围是?________．
17.函数
的值域是________，单调递增区间是________.
18.定义区间
的长度为
，已知函数
?的定义域为[a，b]，值域为[1,9]，则区间[a，b]的长度的最大值为________，最小值为________．
三、解答题
19.已知函数
，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求该函数的值域；
（3）证明
是
上的增函数.
20.已知函数f（x）=a
x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，
）
（1）求a的值
（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小．
21.已知
（
）.
（1）当
，且
的解集为
，求函数
的解析式；
（2）若关于x的不等式
对一切实数恒成立，求实数
的取值范围.
22.已知函数f（x）=
，
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．
23.已知函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记
.
（1）求a的值；
（2）证明：f(x)＋f(1?x)=1；
24.已知函数f（x）=2x
（1）试求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，试求a的取值范围；
（3）当a＞0，且x∈[0，15]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】解：
∵x=1时，y=a0+1=2，
∴函数
y=ax-1+1
（a＞0且a≠1）的图象经过点（1，2）.
故选C.
【分析】根据指数函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象与性质，即可得出结论．?
?
2.【答案】C
【解析】由指数函数的定义得：
，
解得a＝2.
故答案为:C.
【分析】由指数函数的定义:形如y=ax(a>0且a
≠
1)的函数叫指数函数,则ax前的系数为1,得到关于a的方程求a的值.
3.【答案】
A
【解析】解答：因为函数定义域为R，关于原点堆成，又
，故
为奇函数。
分析：求出f(-x)与原函数对比，互为相反则为奇函数
4.【答案】
C
【解析】解：作辅助直线x=1，当x=1时，
y=ax
，
y=bx
，
y=cx
，
y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d
直线x=1与y=ax
，
y=bx
，
y=cx
，
y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d
观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c
故选：C．
【分析】要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax
，
y=bx
，
y=cx
，
y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．
5.【答案】
C
【解析】解：由函数可知不取
，
故排除B选项；
当时，
，
，
故排除A,D选项。
故答案为：C
【分析】利用排除法，根据特殊值进行排除，又快又准确。
6.【答案】
C
【解析】解：要使函数有意义，则3x﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．
当x＜0时，y＞0，排除B．
当x→+∞时，y→0，排除D．
故选C．
【分析】分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．
7.【答案】C
【解析】∵函数
在R上是减函数，又
，∴
，即a在R上是增函数，且
，∴
，即c>b
，
∴a故答案为：C.
【分析】结合题意利用指数函数的图像与性质即可得出结论。
8.【答案】
D
【解析】当a＞1时，f(x)在(?∞，?1)上是增函数，在[?1，＋∞)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a＞1不合题意；当0＜a＜1时，f(x)在(?∞，?1)上是增函数，在[?1，＋∞)上是增函数，又函数f(x)在R上是单调函数，则a(?1?1)＋1≤a?(?1)
，
解得a≥
，所以实数a的取值范围是
≤a＜1.
故答案为D.
【分析】分段函数在R上单调,则要求各段函数都单调,且要注意在分段点处的左段函数值与右段函数值的大小.
9.【答案】
C
【解析】设直线l的方程为
，由
，得
，所以点
．
由
，得
，所以点
，从而|AB|＝1.
如图，
取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，则CD⊥AB，
且|AD|＝
，|CD|＝
，所以点
.
因为点C在函数
的图象上，则
，
解得
，所以满足要求的直线l有且只有一条
故答案为：C.
【分析】设直线l的方程为
，由指数式与对数式的互化公式，即由
，得
，所以点
，由
，得
，所以点
，从而|AB|＝1再利用图象结合中点的性质的等边三角形的性质得出CD⊥AB，且|AD|＝
，|CD|＝
，所以点
，因为点C在函数
的图象上，则
，解得
，所以满足要求的直线l有且只有一条。
二、填空题
10.【答案】
【解析】
【分析】要是二次根式有意义，
，利用指数函数值域y>0,求出
的x值。
11.【答案】（
，0）
【解析】解：因为指数函数f（x）=（2a+1）x在R上的减函数，则0＜2a+1＜1，解得
＜a＜0．
故答案为：（
，0）．
【分析】本题解题的依据是指数函数的概念及单调性.指数函数的一般式为(a>0,a≠1)，当01时，函数为增函数.
12.【答案】
3
【解析】当
时，函数为减函数，
，
，则
，方程无解；
当
时，函数为增函数，
，
，则
，解得
，
舍去
故答案为：3
【分析】分为
和
两种情况，结合函数的增减性求解即可.
13.【答案】解：由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下：
当a＞1时，∵y=ax在定义域上递增，
∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3；
当0＜a＜1时，∵y=ax在定义域上递减，
∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3；
综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）；
当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）．
【解析】针对a取不同范围，结合指数函数的单调性，即可得出答案。
14.【答案】
【解析】因为
，所以
，又
，所以
，解得
.故答案为:.
【分析】指数型分段函数,已知多层函数值,求自变量的值,由外到内的原则得到关于a的方程求a的值.
15.【答案】
【解析】
，
函数
在
上为减函数，
若
，
则
，
则
，
解得
，
故不等式
的解集为
，
故答案为
.
【分析】根据题意可得函数
在
上为减函数，进而将题目转化为求解不等式
即可。
16.【答案】（﹣，
0）
【解析】解：由图象知函数为减函数，则0＜＜1，
二次函数y=ax2+bx的顶点的横坐标为x=﹣
，
∵0＜＜1，
∴0＜＜
，
﹣＜﹣＜0，
即横坐标的取值范围是（﹣
，
0），
故答案为：（﹣
，
0）．
【分析】根据指数函数的图象求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可．
17.【答案】
；
【解析】因为
,所以
，即函数
的值域是
因为
单调递减，
在（1，+
）上单调递减，因此函数
的单调递增区间是（1，+
）.
【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域，再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间，注意复合函数单调性判断的法则，即同单调性为增函数，不同单调性为减函数。
18.【答案】4；2
【解析】由
得x=0，由
得
，故满足题意的定义域可以为
或
，故区间[a，b]
的最大长度为4，最小长度为2．故答案为:4;2.
【分析】已知函数的值域,求函数的定义域,由x=0时,函数取得最小值1,先求出使函数值为9时对应的x的值,分析得到可能的定义域,从而得到区间[a,b]的长度的最大最小值.
三、解答题
19.【答案】
（1）解：∵f(x)定义域为
，关于原点对称。
且
是奇函数；
（2）解：
即
的值域为
；
（3）证明：设
，且
，
(∵分母大于零，且
)
∴
是
上的增函数.
【解析】（1）判断函数奇偶性，先求定义域，关于原点对称再求f(-x)=-f(x),为奇函数；（2）求f(x)值域，先将f(x)化简，根据指数函数值域确定f(x)取值范围。（3）判断函数单调性，取值，作差，变形，定号。
20.【答案】
（1）解：f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，
），
∴a2=
，∴a=
（2）解：∵f（x）=（
）x在R上单调递减，又2≤b2+2，
∴f（2）≥f（b2+2）
【解析】1、本题考查的是由待定系数法求指数函数的解析式。
????????????
2、由指数函数
的单调性可得结果。
21.【答案】
（1）解：由
的解集为
可知
且
.
则
?
（2）解：
?
的解集为R.
当
时，满足题意；
当
时，由
.
综上，
【解析】（1）根据不等式的解集与方程根的关系，即可求出实数a的值；
（2）根据指数函数的单调性，解不等式，将不等式恒成立问题转化，即可求出实数a的取值范围.
22.【答案】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，
令g（x）=﹣x2﹣4x+3，
由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，
而y=t在R上单调递减，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上
单调递增，
即函数f（
x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2
）．
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x）
，
由于f（x）有最大值3，
所以
h（x）应有最小值﹣1，
因此=﹣1，
解得a=1．
即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．
（3）由指数函数的性质知，
要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．
应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，
因此只能有a=0．
因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．
故
a的取值范围是{0}．
【解析】（1）当a=﹣1时，f（x）=
，
令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；
（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x）
，
由于f（x）有最大值3，所以
h（x）应有最小值﹣1，进而可得a的值．
（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．
23.【答案】
（1）解：函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，
∴a＋a2=20，得a=4或a=?5(舍去)
（2）解：由（1）知
，
∴
（3）求
的值．
解：由（2）知
，
，
…
，
∴
【解析】(1)由指数函数的最值的和为20,得到关于a的方程求a的值;
(2)由f(x)的解析式证明f
(
x
)
+
f
(
1
?
x
)=1;
(3)由(2)的结论用倒序相加法求和.
24.【答案】解：（1）F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]
=2x+a?4x
，
令2x=t，（0＜t≤1），即有F（x）=at2+t，
a=0，即有最大值为1；a≠0时，对称轴为t=﹣，
讨论对称轴和区间的关系，即可得到，
（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1
所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1
即存在t∈（0，1）使得a<或a>
∴a＜0或a＞2；
（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立
因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立
∴
设m（x）=-2x+令=t,则x=-1,t∈[1,4]
∴m(t)=-2(-1)+t=-2(t-)2+
所以，当t=1时，m（x）max=1，
∴a≥1
【解析】（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；
（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；
（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要
，
根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．
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精品试卷·第
2
页
（共
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