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13.3.1等腰三角形课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若△ODE的周长为10厘米，那么BC的长为（? ）
A.?8cm?????????B.?9cm??????????C.?10cm?????????D.?11cm
如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（　　）
A.?13???????????B.?12??????????C.?15??????????D.?20
推理：如图，∵∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，（已知）
∴AD=CD，CD=DB（ 等腰三角形的性质）
∴AD=DB，依据是（?? ）
A.?旋转不改变图形的大小????????B.?连接两点的所有线中线段最短????????
C.?等量代换???????? D.?整体大于部分
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是（　　）
A.?15cm???????B.?13cm?????????C.?11cm??????D.?9cm
如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则图中等腰三角形的个数有（?? ）
A.?1个???????B.?2个????????C.?3个????????D.?4个
如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是　　
A． B． C． D．
如图，坐标平面内一点A，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二 、填空题
如图，∠ABD=76°，∠C=38°，BC=30cm，则BD的长为_____．
四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=AD=4，BC=7．以四边形的一个顶点为顶点画一个腰长为3的等腰三角形，并使得三角形的另两个顶点都在四边形的边上．如果要求画出的三角形形状大小各不相同，则最多可以画出________个这样的等腰三角形．
如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为 m。
己知，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=24°，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），直线________?即为所求．
如图，在△ABC中，AB=AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE=5cm，CE=3cm，则△CDE的周长是_____．
如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论：
①△BDF，△CEF都是等腰三角形；
②DE=BD+CE；
③△ADE的周长为AB+AC；
④BD=CE．其中正确的是　 　．
三 、解答题
如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：△DBE是等腰三角形．
　
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：（1）∠B=∠C．
（2）△ABC是等腰三角形．
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．
已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2ab＝c2＋2bc，试判断这个三角形的形状．
如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．
如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．
答案解析
一 、选择题
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以证得：∠OBD=∠BOD，则依据等角对等边可以证得OD=BD，同理，OE=EC，即可证得BC=C△ODE从而求解．
解：∵BO是∠ACB的平分线，
∴∠ABO=∠OBD，
∵OD∥AB，
∴∠ABO=∠BOD，
∴∠OBD=∠BOD，
∴OD=BD，
同理，OE=EC，
BC=BD+DE+EC=OD+DE+OE=C△ODE=10cm．
故选C．
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】根据平行线性质和角平分线定义得出∠EDB=∠EBD，推出BE=ED，同理DF=CF，求出△AEF的周长=AB+AC，代入求出即可．　
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=ED，
同理DF=CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF
=AE+ED+DF+AF
=AE+BE+CF+AF
=AB+AC
=5+7
=12．
故选B．
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】由∠A=∠ACD，得AD=CD，再由∠B=∠BCD得CD=DB，利用等量代换即可解题．
解：∵∠A=∠ACD，∴AD=CD， ∵∠B=∠BCD∴CD=DB，
因AD和DB都等于同一个量CD，
所以AD=DB，依据是等量代换．
故选C．
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，从而证出DE=DC，再根据BD是∠ABC的平分线证出∠ABD=∠DBE，∠DBE=∠BDE，最后求出BE=DE=DC，即可得出△CDE的周长．　
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，
∴DE=DC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBE．
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE=DC=5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13（cm），
故选B．
【考点】等腰三角形的判定与性质
【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，可得图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD．
解：在△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC， ∴图中的等腰三角形有：△ABC，△ABD，△BCD；
即图中等腰三角形的个数有3个，
故选C．
【考点】等腰直角三角形的判定
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形判定，角平分线的定义
【分析】由∠ABC=50°，∠ACB=60°，可判断出AC≠AB，根据三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，根据邻补角定义可求出∠ACE度数，由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可求得∠BDC的度数，继而根据三角形内角和定理可求得∠DOC的度数，据此对各选项进行判断即可得.
解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°，∠ACE=180°-∠ACB=120°，AC≠AB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=∠ABC=25°，∠DCE=∠ACD=∠ACE=60°，
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=35°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=180°-60°-35°=85°，
∵∠DBC=25°，∠BDC=35°，∴BC≠CD，
故选B.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形判定，角平分线的定义等，熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解本题的关键.
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
二 、填空题
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠D，从而得到∠C=∠D，根据等角对等边求出BD=BC．
解：∵∠ABD=76°，∠C=38°，
∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°，
∴∠C=∠D，
∴BD=BC=30cm．
故答案为：30cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据角的度数相等得到相等的角是解题的关键．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】由题意可知：因为∠A、∠B是直角，∠C是钝角，确定以A、B、D为等腰三角形的一个顶点是固定的；再次探讨以C为等腰三角形的一个顶点的个数确定答案即可．
解：∵∠A、∠B是直角，∠C是钝角，确定以A、B、D为等腰三角形的一个顶点是固定的； ∴以∠A、∠B为顶角是等腰直角三角形算作一个，以∠C为顶角的等腰三角形一个；
∵∠C是锐角，
∴以∠C为顶角的等腰三角形一个，以BC、CD上的点作为顶角的顶点的两个等腰三角形相同算作一个．
综上所知：则剪下的等腰三角形的底边的长度的值有4种可能．
故答案为：4．
【考点】等腰三直角三角形判定与性质。
【分析】依题意∠E＝∠F＝45°，可推出AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为xm列方程解出即可
解：如下图，
∵小军、小珠都身高与影长相等，
∴∠E＝∠F＝45°，
∴AB＝BE＝BF，设路灯的高AB为xm，
则BD＝x－1.5，BC＝x－1.8，
又CD＝2.7，
∴x－1.5＋x－1.8＝2.7，
解得：x＝3（m）
【考点】等腰三角形的判定
【分析】作线段AB（或AC、或BC）的垂直平分线交AB与D，再连接CD即可．
解：如图所示：
直线CD即为所求，
故答案为：CD．
【考点】等腰三角形的性质与判定，平行线的性质
【分析】分析：根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，从而证出DE=DC，再根据BD是∠ABC的平分线证出∠ABD=∠DBE，∠DBE=∠BDE，最后求出BE=DE=DC，即可得出△CDE的周长．
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ABC=∠C，∠ABD=∠BDE，∴DE=DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE．∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=DC=5cm，∴△CDE的周长为DE+DC+EC=5+5+3=13（cm），故选答案为13．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，关键是能在较复杂的图形中找出相等的角，证出等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【分析】利用三角形内角和定理和等腰三角形的判定与性质求解
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
【考点】等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质
【分析】①根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF都是等腰三角形；②△BDF，△CEF都是等腰三角形，得出DF＝DB，EF＝EC，所以DE＝DF＋EF＝BD＋EC③由①可得△ADE的周长为AB+AC
④无法推出BD＝CE
解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF＝∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DB＝DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；故正确．
②∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，
∴DF＝DB，EF＝EC，
∴DE＝DF＋EF＝BD＋EC，故正确．
③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD＝DF，EF＝EC，
△ADE的周长＝AD＋DF＋EF＋AE＝AD＋BD＋AE＋EC＝AB＋AC；故正确，
④无法判断BD＝CE，故错误，
故答案为①②③．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质解答，涉及面较广，需同学们仔细解答．
三 、解答题
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】首先根据等腰三角形的两个底角相等得到∠A=∠C，再根据等角的余角相等得∠FEC=∠D，同时结合对顶角相等即可证明△DBE是等腰三角形．
证明：在△ABC中，BA=BC，
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠C+∠FEC=90°，
∠A+∠D=90°，
∴∠FEC=∠D，
∵∠FEC=∠BED，
∴∠BED=∠D，
∴BD=BE，
即△DBE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查等腰三角形的基本性质及综合运用等腰三角形的性质来判定三角形是否为等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C；
（2）由（1）可得∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案．
证明：∵DE∥AC，
∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】根据题目中a2＋2ab＝c2＋2bc,移项可以得到a2＋2ab－c2－2bc=0,然后根据平方差公式和提公因式法进行因式分解得: ,再利用提公因式法进行因式分解得: ,题中a,b,c是△ABC的三边长,都是正数,所以,即可得到a－c=0,即a=c,所以这个三角形是等腰三角形.
解:∵ a2＋2ab＝c2＋2bc,
∴ a2＋2ab－c2－2bc=0,
∴,
∴,
∵ a>0,b>0,c>0,
∴, a－c=0,
∴ a=c,
∴ △ABC为等腰三角形.
【点睛】本题主要考查等式的变形,解决本题的关键在于利用平方差公式和提公因式法对多项式进行因式分解.
【考点】等腰三角形的构造问题
【分析】本题考查等腰三角形的构造方法,题目中已经给出线段AB,在直线l2上寻找一点C,使△ABC是等腰三角形,则需要进行分类讨论,以线段AB为腰和线段AB为底边两种情况进行画图,画图方法简称:”两圆一线”法.
解:具体作法如下,如图，
（1）当以线段AB为腰时,点A为顶点时,可以以点A为圆心,线段AB为半径画圆,圆与直线l2 的交点即为点C,此时有1个,
（2）当以线段AB为腰时,点B为顶点时,可以以点B为圆心,线段BA为半径画圆,圆与直线l2 的交点即为点C,此时有2个,
（3）当以线段AB为底边,可以作线段AB的垂直平分线,线段垂直平分线与直线l2 的交点即为点C,此时有1个.
故共有4个满足题意的等腰三角形.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的构造问题,解决本题的关键在于理解掌握”两圆一线”法求满足条件的点.
【考点】全等三角形的判定与性质，四边形的内角和，等腰三角形的判定
【分析】（1）由已知证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得；
（2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数；
（3）分三种情况进行讨论即可得.
解：（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，
∴∠DAC=∠OAB，
在△AOB与△ADC中，
，
∴△AOB≌△ADC，
∴OB=DC；
（2）∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=230°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；
（3）当CD=CO时，
∴∠CDO=∠COD==70°，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，
又∠AOB=∠ADC=α，
∴α=115°；
当OD=CO时，
∴∠DCO=∠CDO=40°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，
∴α=85°；
当CD=OD时，
∴∠DCO=∠DOC=40°，
∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，
∴α=145°，
综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、等腰三角形的判定等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质和定理是解题的关键.
　

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