资源简介

19.2 特殊的平行四边形
19.2.1 矩形
？
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
情景创设
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说也有特殊的平行四边形，也就是这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——
矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
探索新知
A
B
C
D
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
探索新知
A
B
C
D
1.已知：矩形ABCD 求证：AC = BD
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
（ ）
AB = DC ， BC = CB
∴△ABC≌△DCB ∴AC = BD
?
返回
矩形的对角线相等
2. 已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
矩形的 两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形 的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AD = BC ，CD = AB
∴AD ∥BC ，CD ∥AB
∴AC= BD
A
B
C
D
O
∴AO= CO ，OD = OB
∴∠A= ∠B =∠C =∠D =90°
例1 已知：矩形ABCD的两条对角线相交与O，∠AOD=120°，AB = 4cm.
求矩形对角线的长
解：∵四边形ABCD是矩形

∴OA = OD（ ）

∵ ∠AOD=120°

∴ ∠1=30°

又∵ ∠ABC=90°（ ）
∴BD = 2AB=2×4=8cm
A
B
C
D
O
1
AC = BD
OA = AC
OD = BD
?
返回
O
D
C
B
A
相等的线段：
AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有：
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
已知四边形ABCD是矩形
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线. 求证: BO = AC
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO,
连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900
∴ ABCD是矩形
∴AC=BD
再探新知
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∴BO= BD= AC
例2: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
解：∵ 四边形ABCD是矩形
D
C
B
A
o
P95练习3：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AC=8cm，求矩形对角线的长.
解：
在矩形ABCD中，
O
A
B
C
D
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB
∴ △AOB为等边三角形
∴AB=OA= AC=4cm
在Rt△ABC中，
≈6.93（cm）
BC=
=
=
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
　矩形具有而一般平行四边形不
具有的性质是 ( )
B.对边相等
A.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
营中热身
已知:四边形ABCD是矩形
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝
OB=_______ ㎝
2.若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm
AB= _____cm
O
D
C
B
A
5
10
4
营中寻宝
D
C
B
A
┓
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ ㎝
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，
BD＝ ㎝.
6
5
10
营中寻宝
练习、如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC于E，若AB＝3， BC＝4，试求出BE的长．
解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°
AC＝
＝ ＝ ＝5(勾股定理)
若AC=10，BE=4.8，你能求出矩形ABCD的面积
∴BE= = =2.4
又∵S△ABC＝ AB·BC = AC·BE
小结 反思
这节课你学到了什么?
还有什么困惑吗？
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理1
矩形的对角线相等.
※ 矩形的性质定理2
※ 推 论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
作业
1、必做题
P95 第1.3题
2、选做题：
P95 第2题
学习是件很愉快的事,但又是一件很困难的事.困难是虎又是羊,看你是虎还是羊.你是绵羊它是虎, 你是老虎它是羊.
结束寄语

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