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2021年人教版八年级下册18.2《特殊的平行四边形》同步练习卷
一．选择题
1．如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，从以下四个条件：①OA＝OC，OB＝OD；②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC；④AB⊥BC中选两个，能推出四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
4．如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△AEC和△AFC一定全等的条件是（　　）
A．∠AEC＝∠AFC B．EC＝FC C．AE＝AF D．∠BAE＝∠DAF
5．如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）
A．4 B．4 C．3 D．5
7．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．24 B．18 C．12 D．9
8．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二．填空题
9．下列说法：
①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
②矩形的对角线互相垂直；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④对角线垂直的矩形是正方形．
其中正确的是　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
10．笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为　 　km．
11．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝2，则斜边上的中线＝　 　．
12．如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　 　，可使它成为正方形．
13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是BO，BC的中点，若AB＝5，BC＝12，则EF＝　 　；
14．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE．若∠ADB＝30°，则∠E＝　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　 　．
16．如图，已知四边形ABCD是正方形，顶点A、B在坐标轴上，OA＝2，OB＝1，则点D的坐标是　 　．
三．解答题
17．如图，?ABCD的对角线AC平分∠BAD．
求证：?ABCD是菱形．
18．如图，矩形ABCD的一条对角线AC长为8cm，两条对角线的一个交角∠AOD＝120°，求这个矩形的周长．
19．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，求OE的长．
20．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AE＝AB，过E作EF⊥AC，交BC于点F．
求证：BF＝EF．
21．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：△ABF≌△DAE．
22．如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE，当AC＝4，∠ACB＝30°时，求BE的长．
23．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC＝DAB，CD∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
∵∠D＝150°，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝30°＝15°，
故选：D．
2．解：设另一条对角线长为xcm，
则×6?x＝12，
解得x＝4．
故选：B．
3．解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
再由AB∥CD，AD＝BC无法判断四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、由②AB∥CD，AD＝BC；③AB＝BC无法判断四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
C∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
A、在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（AAS），故选项A不符合题意；
B、在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），故选项B不符合题意；
C、由AE＝AF，∠ACE＝∠ACF，AC＝AC，不能判定△AEC和△AFC一定全等，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠CAE＝∠CAF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
故选项D不符合题意；
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝DC＝AD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
即AB＝BC＝DC＝AD＝5，
∴菱形ABCD的周长是AB+BC+DC+AD＝5+5+5+5＝20，
故选：B．
6．解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
7．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
8．解：延长PF交AB于点G，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为矩形，
又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴BE＝PE，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．
∴GB＝BE＝EP＝GP，
∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，
又∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS）．
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确；
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．
∴正确答案有①②③，
故选：B．
二．填空题
9．解：①对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，说法错误；
②矩形的对角线互相垂直，说法错误；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确；
④对角线垂直的矩形是正方形，说法正确．
故答案为：③④．
10．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2，
∵AC的长为6km，BC的长为8km，
∴AB＝10km，
∵D点是AB中点，
∴CD＝AB＝5km．
故答案为：5．
11．解：∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2，
∴BC＝＝＝，
∵AD是斜边BC的中线，
∴AD＝BC＝，
故答案为：．
12．解：由于四边形ABCD是菱形，
如果∠BAD＝90°，
那么四边形ABCD是正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
13．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∵AB＝5，BC＝12，
∴AC＝＝13，
∴OC＝AC＝，
∵点E，F分别是BO，BC的中点，
∴EF＝OC＝．
故答案为：．
14．解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，
故答案为：15°．
15．解：连接BD，如图所示：
∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF＝2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝2×2＝4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝BD＝4．
故答案为：4
16．解：作DE垂直于y轴于点E，
∵∠DAB＝90°，DE⊥y轴，
∴∠DAE+∠EDA＝90°，∠DAE+∠BAO＝90°，
又∵∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴△DAE≌△ABO（AAS），
∴AE＝BO＝1，DE＝AO＝2，
∴OE＝AO+AE＝3，
即点D的坐标为（2，3）．
故答案为：（2，3）．
三．解答题
17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
18．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8（cm），AO＝BO＝CO＝DO＝4（cm），
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝4（cm），
∴BC＝＝＝4（cm），
∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝（8+8）（cm）．
19．解：方法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO，
∴∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝8，
∵E为AB边中点，
∴OE＝AB＝4．
方法二、四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO，
∴∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB＝8，
∵AO＝CO，E为AB边中点，
∴OE＝BC＝4．
20．证明：连接AF，
∵四边形ABCD为正方形，EF⊥AC，
∴∠B＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF．
21．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠AED＝∠ABC，
∴∠AED+∠DAB＝180°，
∵∠AED+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝∠DAB，
∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE，∠DAB＝∠DAE+∠BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠BPF，
∵∠ABF＝∠BPF，
∴∠DAP＝∠ABF，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（ASA）．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴AF⊥CE，
又∵CD＝DE，
∴AE＝AC，EF＝CF，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠AFC，
∴∠CAD＝∠CFA，
∴AC＝CF，
∴AE＝EF＝AC＝CF，
∴四边形ACFE是菱形；
（2）∵AC＝4，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，
∴AB＝AC＝2，BC＝AB＝2，
∴CD＝AB＝2＝DE，
∴BE＝＝＝2．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
24．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．

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