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2.7 二次根式（第2课时）
　　我们以前学习过有理数、整式、分式的加、减、乘、除运算，你认为对于二次根式能不能进行加、减、乘、除运算？
一块长方形木板的长和宽分别为 cm 和 cm 求这个长方形木板的面积？
导入新知
1. 探索二次根式乘法法则和除法法则.
2. 会运用二次根式的乘法法则和除法法则进行简单运算.
素养目标
3. 用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.
(1) ___×___=____;
=_________;
计算下列各式:
(2) ___×___=____;
(3) ___×___=____;
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 1
二次根式的乘法
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测
探究新知
这个式子与我们上节课学过的积的算数平方根的公式有什么关系？
(1)
(2)
(3)
一般地，对于二次根式的乘法是
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则是:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
探究新知
例1 计算:
解:
探究新知
素养考点 1
简单的二次根式的乘法运算
（1） ; （2） .
(1) ;
(2) .
想一想 下边的式子如何运算？
解:
探究新知
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ ）
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
A. B.
C. D.
1.计算 的结果是 ( )
A. B.4 C. D.2
C
2.下面计算结果正确的是( )
B
3.计算： ____.
20
巩固练习
变式训练
思考 你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算4a2·5a4= .
20a6
探究新知
例2 计算:
解:
探究新知
素养考点 2
因数不是1二次根式的乘法运算
总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项
式的法则计算，即
（1） ; （2） .
(1) ;
可类比前面的计算哦！
(2) .
探究新知


归纳总结
二次根式的乘法法则的推广：
①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
计算：
巩固练习
解：
=20×18=360
(1) ; (2) .
(2)
(1)
变式训练
(1) ___÷___=____;
= _____;
计算下列各式:
(2) ___÷___=____;
(3) ___÷___=____;
= _____;
= _____.
2
3
4
5
6
7
观察两者有什么关系？
探究新知
知识点 2
二次根式的除法
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？
特殊
一般
探究新知
在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？
a,b同号就可以啦
探究新知
你们都错啦，a≥0，b＞0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦
不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.
二次根式的除法法则:
文字叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
探究新知
计算：
解：
探究新知
素养考点 1
利用二次根式的除法进行计算
（1）
(2)
(3)
（1）
=2
=3
(2)
(3)
例
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求：
(1)分母中不含有二次根式.
(2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式.
计算：
解：
巩固练习
（1） ；
（2） ；
（3） .
（1） ;
（2） ;
（3）
变式训练
（2）x2+2x2+4y= ;
1.（1）3x2+2x2= ;
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
解：
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.
5x2
3x2+4y
知识点 3
二次根式的加减计算
探究新知
3. 能不能再进行计算?为什么?
解：(1)原式=
计算:
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
例1
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
探究新知
=13-9=4
=6-5=1
素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
解：(5)原式=
(6)原式=
（5）
（6）
=2+3=5
=6-1=5
探究新知
下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
巩固练习
变式训练
知识点
计算：
解:
（1）原式
（2）原式
（3）原式
例2
探究新知
素养考点 2
二次根式的四则运算
完成下列计算.
解：
（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
巩固练习
变式训练
二次根式的加减法法则
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.
探究新知
小结
提示
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
探究新知
连接中考
2.（2019?营口）一个长方形的长和宽分别为 和 ，则这个长方形的面积为_________．
B
1.（2019?株洲） ＝（　　）
A． B．4 C． D．
A. B.
C. D.
B
2.下面计算结果正确的是 ( )
D
课堂检测
基础巩固题
1.化简 的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
3. 计算：
课堂检测
基础巩固题
（4） =______
5
（5） =______
（6） =______
-1
（1） =______
（3） =______
（2） =______
4. 计算：
解：
课堂检测
基础巩固题
（1）
（2）
5.计算：
课堂检测
（1）
（2）
解：
（1）
（2）
基础巩固题
1.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积.
解：它的面积为
能力提升题
课堂检测
2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.
(1)已知 , ，求S；
解： S = ab =



（2）已知 , ，求S.
课堂检测
能力提升题
=
（1）
S = ab =
（2）
=240
=
=
=
=
已知 试着用a, b表示 .
解：
课堂检测
拓广探索题
又因为
因为
所以
所以
二次根式的运算
乘法法则
加减法则
乘法公式
课堂小结
除法法则
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.


课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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