资源简介 数学北师大版 八年级上 7.4 平行线的性质 复习巩固 1、平行线的判定: (1)公理:同位角相等,两直线平行; (2)定理:内错角相等,两直线平行; (3)定理:同旁内角互补,两直线平行. 2、定理: (1)对顶角相等; (2)在平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行 . 已知:如图所示,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角. 求证:∠1=∠2. 定理1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等 A B C D E F M N 1 2 又因为AB ∥ CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行. 证明:假设∠1 ≠ ∠2,过点M作直线GH,使∠EMH= ∠2, 如图所示. G H 根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH ∥ CD. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立,所以∠1 =∠2. 定理2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等 已知,如图,直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角. 求证:∠1=∠2. 证明: ∵a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等). ∵∠1=∠3(对顶角相等), ∴∠1=∠2(等量代换). 定理3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补 已知,如图,直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角. 求证:∠1+∠2=180°. a b c 证明:∵a∥b(已知), ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)。 ∵∠1+∠3=180°(1平角=180°), ∴∠1+∠2=180°(等量代换)。 两条直线被第三条直线所截. 平行线的判定 平行线的性质 条件 结论 条件 结论 同位角相等 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 两直线平行 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 两直线平行 同旁内角互补 公理 判定与性质的条件与结论正好反过来 例已知: 如图, b//a, c//a,∠1,∠2,∠3是直线a, b, c被直线d截出的同位角.求证: b//c. 证明: ∵ b//a(已知), ∴∠2=∠l (两直线平行,同位角相等). ∵c//a (已知), ∴∠3=∠l (两直线平行,同位角相等). ∴∠2=∠3 (等量代换). ∴ b//c (同位角相等,两直线平行) . 定理:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(三线平行定理) 练习:1.如图所示,CD∥OB,EF∥AO, 求证∠1=∠O. 证明:∵CD∥OB, ∴∠1=∠2, 又∵EF∥AO, ∴∠2=∠O, ∴∠1=∠O. 2.根据题意填空: 如图,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,求证:AB∥CD. 证明:∵AD∥BC(已知) ∴∠1=____ _________________________ 又∵∠BAD=∠BCD ( 已知 ) ∴∠BAD﹣∠1=∠BCD﹣∠2 _______________________ 即:∠3=∠4 ∴ . ∠2 (两直线平行,内错角相等) 等式性质 (内错角相等,两直线平行) AB∥CD 作业布置如下 解:BF⊥AC. 理由:∵∠AGF=∠ABC, ∴BC∥GF (同位角相等,两直线平行), ∴∠1=∠3. 又∵∠1+∠2=180°, ∴∠2+∠3=180°, ∴BF∥DE. ∵DE⊥AC, 1.如图,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,试判断BF与AC的位置关系,并说明理由. ∴BF⊥AC. 2.如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C, (1)找出图中相互平行的线,说说它们之间为什么是平行的。 (2)证明:∠A=∠D. 解:(1)AE∥FD,AB∥CD (2)证明:∵∠B=∠C ∴AB∥CD ∴ ∠A=∠AEC ∵∠1=∠2,∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AE∥FD ∴∠AEC=∠D ∴∠A=∠D 3. 如图已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点M,N,MP平分∠EMB,NQ平分∠MND.请分别写出∠AMN与∠MND,∠BMN与∠MND,∠EMP与∠MNQ之间的大小关系,并说明理由. 解:∠AMN=∠MND,∠BMN+∠MND=180°, ∠EMP=∠MNQ.理由如下: 因为AB∥CD(已知), 所以∠AMN=∠MND(两直线平行,内错角相等), ∠BMN+∠MND=180°(两直线平行,同旁内角互补), ∠EMB=∠MND(两直线平行,同位角相等). 因为MP平分∠EMB,NQ平分∠MND(已知), 所以∠EMP= ∠EMB,∠MNQ= ∠MND(角平分线的定义). 所以∠EMP=∠MNQ(等量代换). 4. 如图7-4-4,已知AB∥CD,BD平分∠ABC,交AC于点O,CE平分∠DCG,∠ACE=90°.证明:BD⊥AC. 证明:因为AB∥CD(已知), 所以∠ABC=∠DCG(两直线平行,同位角相等). 因为BD平分∠ABC,CE平分∠DCG(已知), 所以∠DBC= ∠ABC,∠ECG= ∠DCG(角平分线的定义). 所以∠DBC=∠ECG(等量代换), 所以BD∥CE(同位角相等,两直线平行), 所以∠BOC=∠ACE(两直线平行,内错角相等). 又因为∠ACE=90°(已知), 所以BD⊥AC(垂直的定义). 所以∠BOC=90°(等量代换), 5. 如图C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C岛看A,B两岛的视角∠ACB等于多少度? 所以∠ACD=∠CAN,∠BCD=∠CBN′. 又因为C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向, 所以∠CAN=50°,∠CBN′=40°. 所以∠ACD=50°,∠BCD=40°, 所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°+40°=90°. 解:如图7-4-6,过点C作南北方向线CD,则CD∥AN,CD∥BN′, 6.如图,AB∥DE∥CF,若∠ABC=70°,∠CDE=130°,求∠BCD的度数. 解:∵AB∥CF, ∴∠ABC=∠BCF=70°, ∵DE∥CF, ∴∠DCF=180°-∠CDE=50°, ∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=20° 7.如图,BD⊥AC,EF⊥AC,D,F为垂足,G是AB上一点,且∠1=∠2, 求证:∠AGD=∠ABC. 证明:∵BD⊥AC,EF⊥AC, ∴BD∥EF, ∴∠1=∠3, 又∠1=∠2, ∴∠2=∠3, ∴GD∥BC, ∴∠AGD=∠ABC 谢谢 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员? 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队!!月薪过万不是梦!! 详情请看: https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php 展开更多...... 收起↑ 资源预览