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中心投影与平行投影、空间几何体的三视图
一、知识讲解
一、中心投影与平行投影
1．投影的概念
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做
.其中，我们把光线叫做
，把留下物体影子的屏幕叫做
.
2．中心投影
（1）概念
光由一点向外散射形成的投影，叫做
,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.
（2）性质
①中心投影的投影线相交于
.
②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越
.
例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.
3．平行投影
（1）概念
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做
．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做
，否则叫做斜投影．如图所示.
在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.
（2）性质
①平行投影的投影线互相
.
②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全
的.
③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：
(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是
；
(ⅱ)平行直线的平行投影是
的直线；
(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段
；
(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形
；
(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比
这两条线段的长度比.
二、空间几何体的三视图
1．三视图的概念
(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的
;
(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的
;
(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的
.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.
2．三视图的画法规则
（1）排列规则：一般地，侧视图在正视图的
，俯视图在正视图的
.如下图：
正
侧
俯
（2）画法规则
①正视图与俯视图的长度一致，即“
”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“
”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“
”.
（3）线条的规则
①能看见的轮廓线用
表示；
②不能看见的轮廓线用
表示.
3．常见几何体的三视图
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
???矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆
三、简单组合体的三视图
常见的组合体的生成方式：（1）将基本几何体拼接成的组合体；（2）从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.所以，在画组合体的三视图时，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.如图.
二、例题详解
1．K重点——空间几何体的三视图
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度.
【例1】下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
2．K难点——简单组合体的三视图
对于简单组合体要分清楚是由哪些简单几何体组成的，并注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置，画出分解后的简单几何体的三视图后，将其拼合即得组合体的三视图．
【例2】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（
）
3．K难点——由三视图还原几何体
由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是由它们组成的组合体.若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成，根据它们的相对位置关系，想象出组合体的构成情况，再加以验证.
【例3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（
）
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②
B．①③②
C．①②③
D．④②③
4．K易错——不能准确由三视图还原几何体
当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．
【例4】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（
）
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中心投影与平行投影、空间几何体的三视图
一、知识讲解
一、中心投影与平行投影
1．投影的概念
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做
.其中，我们把光线叫做
，把留下物体影子的屏幕叫做
.
2．中心投影
（1）概念
光由一点向外散射形成的投影，叫做
,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.
（2）性质
①中心投影的投影线相交于
.
②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越
.
例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.
3．平行投影
（1）概念
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做
．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做
，否则叫做斜投影．如图所示.
在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.
（2）性质
①平行投影的投影线互相
.
②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全
的.
③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：
(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是
；
(ⅱ)平行直线的平行投影是
的直线；
(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段
；
(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形
；
(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比
这两条线段的长度比.
二、空间几何体的三视图
1．三视图的概念
(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的
;
(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的
;
(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的
.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.
2．三视图的画法规则
（1）排列规则：一般地，侧视图在正视图的
，俯视图在正视图的
.如下图：
正
侧
俯
（2）画法规则
①正视图与俯视图的长度一致，即“
”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“
”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“
”.
（3）线条的规则
①能看见的轮廓线用
表示；
②不能看见的轮廓线用
表示.
3．常见几何体的三视图
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
???矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆
三、简单组合体的三视图
常见的组合体的生成方式：（1）将基本几何体拼接成的组合体；（2）从基本几何体中切掉或挖掉部分构成组合体.所以，在画组合体的三视图时，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.如图.
K知识参考答案：
二、1．正视图
侧视图
俯视图
2．（1）右边
下边
（2）长对正
高平齐
宽相等
（3）实线
虚线
二、例题详解
K—重点：空间几何体的三视图.
K—难点：简单组合体的三视图、由三视图还原几何体.
K—易错：不能准确画出三视图或由三视图还原几何体.
1．K重点——空间几何体的三视图
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度.
【例1】下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（
）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】D
【解析】②中正视图和侧视图相同，④中正视图和侧视图相同，可得②④正确，故选D.
【名师点睛】在确定几何体的三视图时可以按照下面的步骤进行：确定投影角度→按照三视图的画法规则作图→完成后检验.
2．K难点——简单组合体的三视图
对于简单组合体要分清楚是由哪些简单几何体组成的，并注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置，画出分解后的简单几何体的三视图后，将其拼合即得组合体的三视图．
【例2】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（
）
【答案】D
【思路点拨】画三视图时，要想象在几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，先画出影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，能够看到的画成实线，不能看到的画成虚线．
3．K难点——由三视图还原几何体
由三视图还原立体图形时，根据三视图的特征，先判断是简单几何体还是由它们组成的组合体.若是简单几何体，结合柱、锥、台、球的三视图逆推；若是组合体，结合柱、锥、台、球的三视图，判断是由哪几种简单几何体组合而成，根据它们的相对位置关系，想象出组合体的构成情况，再加以验证.
【例3】如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为（
）
①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．
A．④③②
B．①③②
C．①②③
D．④②③
【答案】A
【技巧点拨】由三视图判断几何体时，首先，确定正视、侧视、俯视的方向；其次，判断几何体的组合方式，特别是它们的交线位置，交线的实虚情况等.要注意不能看见的轮廓线的画法，应画成虚线，切不可略去不画.
4．K易错——不能准确由三视图还原几何体
当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．
【例4】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（
）
【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【正解】由三视图可知该几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D
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