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课件22张PPT。13.1 命题、定理与证明定理与证明基本事实
定理
证明1知识点基本事实通过七年级的学习，我们已经知道如下各命题都是 正确
的，即都是公认的真命题：
两点确定一条直线；
两点之间，线段最短；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么 这
两条直线平行. 要点精析：基本事实是我们在继续学习过程中用来
判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
基本事实：(1)两点确定一条直线；(2)两点之间，
线段最短；(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
(5)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么
这两条直线平行．1 下列真命题能作为基本事实的是(　　)
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是180°
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
2 “经过两点有且只有一条直线”是(　　)
A．基本事实
B．假命题
C．定义
D．以上都不是3 下列命题不是基本事实的是(　　)
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行2知识点定理1.定理：数学中，有些命题可以从基本事实或
其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是
正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假
的依据，这样的真命题叫做定理．
2.定理都是真命题，定理可以作为判断其他命
题真假的依据．3.定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可
以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不
过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是
真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真
假的依据．
命题“直角三角形的两个锐角互余”是(　　)
A．角的定义 B．假命题
C．基本事实 D．定理
2 有下列命题：①真命题都是定理；②定理都是真命题；③假命题不是命题；④基本事实都是命题．其中是真命题的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．1个3知识点证明一位同学在钻研数学题时发现:
2 + 1=3,
2 × 3 + 1 =7,2 × 3 × 5+! =31,
2 × 3 × 5 × 7 + l = 211.思考 于是，他根据上面的结果并利
用质数表得出结论:从 质数2开始，
排在前面的任意多个质数的乘积加1
一定 也是质数.他的结论正确吗？
如图13. 1. 1所示，一位同学在
画图时发现：三 角形三条边的垂直
平分线的交点都在三角形的内部.于
是他得出结论:任何一个三角形三条
边的垂直平分线的 交点都在三角形
的内部.他的结论正确吗？
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？

我们曾经通过计算四边形、五边形、六
边形、七 边形等的内角和，得到一个结论:
n边形的内角和等于（ n -2) × 180°.这个结
论正确吗？是否有一个多边形的 内角和不满
足这一规律？图 13.1.1画一个钝角三角形试试看.实际上，这是一个正确的结论. 上面几个例子说明:通过特殊的事例得到的结论
可 能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得
到的结论， 还需进一步加以证实. 
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要
有依据，它们可以是已 知条件，也可以是定义、
基本事实、已经学过的定理，以及等式的性 质、
等量代换等.在书写证明过程中，要求把依据写在
每一步推理后 面的括号内，今后可以逐渐淡化.读一读 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，
经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推
理过程叫做证明．
要点精析：(1)证明一个命题是真命题的依据可以
是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实(公理)、
定理等．
(2)证明一个命题是假命题，只需举出一个反例即
可．证明的一般步骤：
①审题，分清命题的条件和结论；
②画图，结合图形写出已知和求证；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程．直角三角形的两个锐角互余.
例1 已知：如图 13.1.2,在△ABC 中，∠C=90°.
　　　求证：∠A+ ∠B = 90°
证明：∵∠A+ ∠B +∠C= 180°（三角形的内角和等于
180。），
又∵ ∠C=90°（已知），
∴ ∠A+ ∠B = 180° －∠C =90 ° （等式的性质）.
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因 此
我们把它也作为定理. 例2 填写下列证明过程中的推理根据．
如图13.1--2：已知AC，BD相交于点O，DF平分∠CDO与AC相交于点F，BE平分∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠A＝∠C(已知)，
∴AB∥CD(________)． 图13.1--2
∴∠ABO＝∠CDO(________)．
又∵DF平分∠CDO，BE平分∠ABO(已知)，
∴∠1＝∠CDO，∠2＝∠ABO(________)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．．,导引：括号内填注的理由与括号外的表达式是一致的，这些
根据不能“想当然”．本题要求学生了解证明的一
般步骤，以及运用平行线的性质和判定方法来证明
两角相等．
答案：内错角相等，两直线平行；
两直线平行，内错角相等；
角平分线定义
? 证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结
论的过程．证明的每一步推理都要有根据，不能“想当
然”，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理，
已学过的定理．在初学证明时要把根据写在每一步推理
后面的括号里，如本例中的“已知”“等量代换”等．
如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数
是(　 )
A．40° B．50°
C．60° D．140°
2 完成下面的证明过程，并在括号内填上理由．已知：如图所示，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.求证：AB∥CD.
证明：因为AD∥BC(　　)，
所以∠1＝________(　　　　　　　　)，
又因为∠BAD＝∠BCD(　　　　)，
所以∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2(　　　　)，
即∠3＝∠4，所以AB∥________(　　　　　　)．获取证明思路的方法：
(1)从已知条件出发，结合图形，根据前面学过的定
义、基本事实、定理、公式逐步推理求证的结论，这
种方法叫做“综合法”．
(2)从结论出发，去探求其成立的原因，直到与已知
条件相吻合为止，这种方法叫“分析法”．
(3)“两头凑”，即在解决问题时，将上面的两种方
法结合起来用．

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