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第3章图形的平移与旋转单元测试(加强版)（北师版)
考试范围：第3章图形的平移与旋转；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·全国初一课时练习）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·八步区贺街镇双莲初级中学初二月考）将点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为（
）．
A．（5,-1）
B．（1,-9）
C．（5,-9）
D．（1,-1）
3．（2019·重庆市第十一中学校初三开学考试）如图，将直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移3cm得到三角形DEF,且DE交AC于点H，AB＝6cm．BC＝9cm．DH＝2cm．那么图中阴影部分的面积为（　　）
A．9
cm2
B．10
cm2
C．15
cm2
D．30
cm2
4．（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．65°
5．（2020·全国初二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2018·福建厦门双十中学初三期中）已知点A(﹣1，2)，O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是(
)
A．(2，1)
B．(1，2)
C．(﹣2，﹣1)
D．(﹣1，﹣2)
7．（2020·甘肃初三期末）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（
）
A．B．C．D．
8．（2020·天津初三期末）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2018·山东初三单元测试）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
10．（2019·广西南宁二中初二期中）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A．12
B．6
C．3
D．1
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2019·江苏初二月考）点（2，－3）关于坐标原点对称点的坐标是_________．
12．（2019·贵州初一期末）如图，沿直线向下平移可以得到，如果，那么等于____________.
13．（2019·扬州中学教育集团树人学校初二月考）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为_____．
14．（2020·广东初三期末）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则___________________．
15．（2020·全国初二课时练习）如图，P是等边△ABC内的一点，PB＝2cm，PC＝3cm，AB＝4cm，若将△BCP绕点B按逆时针方向旋转到△ABP′，则PP′＝_____．
16．（2019·四川初二期中）如图是3×4正方形网格，其中已有5各小方格涂上阴影，若再选取标有①，②，③，④中的一个小方格涂上阴影，使图中所有涂上阴影的小方格组成一个中心对称图形，则该小方格是_____．（填序号）
17．（2020·全国初二课时练习）如下图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),点B2019的坐标为_____
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·江苏初二期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是__________、__________．
19．（2019·湖北初三）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点的坐标分别为A请解答下列问题：
（1）与关于原点成中心对称，画出并直接写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并求出点旋转至经过的路径长．
20．（2020·全国初二课时练习）用四块如图(1)所示的瓷砖拼铺成一个正方形的地板,使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形,请你在图(2)、图(3)中各画出一种拼法.(要求:两种拼法各不相同,所画图案阴影部分用斜线表示)
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·河北初三期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到
的△A2B2C2；
（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为　　　　　　．
22．（2020·石家庄市第二十八中学初二期末）如图，在小正三角形组成的网格中，有个小正三角形涂黑，请你再涂黑个小正三角形，使它与原来涂黑的小正三角形组成的新图案：
（1）是轴对称图形，不是中心对称图形（在图1中作）
（2）是中心对称图形，不是轴对称图形（在图2中作）；
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形（在图3中作）
23．（2020·武汉市七一中学初三月考）如图，已知A(﹣6，4)，B(﹣4，0)，将线段AB沿直线x＝﹣3进行轴对称变换得到对应线段CD．
（1）直接写出C点的坐标为　
　，D点的坐标为　
　；
（2）将线段CD绕O点旋转180°得对应线段EF，请你画出线段EF；
（3）将线段EF沿y轴正方向平移m个单位，当m＝　
　时，线段EF与CD成轴对称．
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·北京市回民学校初三期中）
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．
（1）若CA=CB，CE=CD
①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．
25．（2020·河北初二期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值．第3章图形的平移与旋转单元测试(加强版)（北师版)
考试范围：第3章图形的平移与旋转；考试时间：90分钟；总分：120分
一、单选题（每小题3分，共30分)
1．（2020·全国初一课时练习）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】平移不改变图形的形状和大小.根据原图形可知平移后的图形飞机头向上，即可解题.
【详解】考查图像的平移，平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D.
【点睛】本题考查了图形的平移，牢固掌握平移的性质即可解题.
2．（2019·八步区贺街镇双莲初级中学初二月考）将点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的点的坐标为（
）．
A．（5,-1）
B．（1,-9）
C．（5,-9）
D．（1,-1）
【答案】D
【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】点P（3，-5）先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，点的移动规律是（x-2，y+4），照此规律计算可知得到的点的坐标为（1，-1）．
故选：D．
【点睛】此题考查图形的平移变换，解题关键在于掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
3．（2019·重庆市第十一中学校初三开学考试）如图，将直角三角形ABC沿着点B到点C的方向平移3cm得到三角形DEF,且DE交AC于点H，AB＝6cm．BC＝9cm．DH＝2cm．那么图中阴影部分的面积为（　　）
A．9
cm2
B．10
cm2
C．15
cm2
D．30
cm2
【答案】C
【解析】根据平移的性质可得到相等的边和角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据S四边形HDFC＝S△EFD﹣S△ECH即可解答．
【详解】解：由平移的性质知，DE＝AB＝6cm，HE＝DE﹣DH＝4cm，CF＝BE＝3cm，HC∥DF，∠DEF＝∠B＝90°，
∴EC＝6cm，
∴S四边形HDFC＝S△EFD﹣S△ECH＝DE?EF﹣EH?EC＝15（cm2）．
故答案为C．
【点睛】本题考查了平移的性质和平行线等分线段定理,掌握平移的性质是解答本题的关键.
4．（2020·全国初二课时练习）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．65°
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选C．
5．（2020·全国初二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】∵绕旋转中心顺时针旋转90°后得到，
∴O、B的对应点分别是C、E，
又∵线段OC的垂直平分线为y=1，
线段BE是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段OC与BE的垂直平分线的交点为（1，1）．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．
6．（2018·福建厦门双十中学初三期中）已知点A(﹣1，2)，O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是(
)
A．(2，1)
B．(1，2)
C．(﹣2，﹣1)
D．(﹣1，﹣2)
【答案】C
【解析】如图，作AF⊥x轴于F，A1E⊥x轴于E构造全等三角形解决问题即可.
【详解】如图，作AF⊥x轴于F，A1E⊥x轴于E.
∵A(﹣1，2)，
∴AF＝2，OF＝1，
∵∠AFO＝∠OEA1＝∠AOA1＝90°，
∴∠AOF+∠EOA1＝90°，∠A+∠AOF＝90°，
∴∠A＝∠EOA1，
∵OA＝OA1，
∴△AOF≌△OA1E(AAS)，
∴OE＝AF＝2，A1E＝OF＝1，
∴A1(﹣2，﹣1)，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了旋转图形的坐标变化，熟练掌握相关方法是解题关键.
7．（2020·甘肃初三期末）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（
）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选B.
8．（2020·天津初三期末）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
9．（2018·山东初三单元测试）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【解析】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑②时，所形成的图形关于点A中心对称。故选B。
10．（2019·广西南宁二中初二期中）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A．12
B．6
C．3
D．1
【答案】B
【解析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BD＝BG，再求出∠HBN＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．
【详解】如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，
∴MG＝CG＝×12＝6，
∴HN＝6，
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（每小题4分，共28分)
11．（2019·江苏初二月考）点（2，－3）关于坐标原点对称点的坐标是_________．
【答案】（-2，3）
【解析】利用关于原点对称点的坐标特征即可解答.
【详解】解：点P（2，-3）关于坐标原点的对称点坐标为（-2，3）.
【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标关系“横纵坐标均为原来的相反数”是解答本题关键.
12．（2019·贵州初一期末）如图，沿直线向下平移可以得到，如果，那么等于____________.
【答案】3
【解析】先计算出AD=AB-BD=3，然后根据平移的性质求解．
【详解】∵△ABC沿直线AB向下平移得到△DEF，
∴AD=BE，
∵AB=8，BD=5，
∴AD=AB-BD=3，
∴BE=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
13．（2019·扬州中学教育集团树人学校初二月考）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为_____．
【答案】2
【解析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．
【详解】解：由题意可知：a＝0+（3﹣2）＝1；b＝0+（2﹣1）＝1；
∴a+b＝2．
故答案为：2.
【点睛】本题考查了坐标平移，解决本题的关键是得到各点的平移规律．
14．（2020·广东初三期末）如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则___________________．
【答案】45°
【解析】根据旋转变换的性质，得∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，从而得∠A的度数，结合，根据三角形内角和定理得∠B的度数，进而即可求解．
【详解】∵是由绕点顺时针旋转后得到的图形，点恰好落在上，
∴∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，
∴∠A=(180°-40°)÷2=70°，
∵，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=105°-40°=65°，
∴∠B=180°-65°-70°=45°，
∴∠C=∠B=45°．
故答案是：45°．
【点睛】本题主要考查旋转变换的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键．
15．（2020·全国初二课时练习）如图，P是等边△ABC内的一点，PB＝2cm，PC＝3cm，AB＝4cm，若将△BCP绕点B按逆时针方向旋转到△ABP′，则PP′＝_____．
【答案】2cm．
【解析】连接PP'，利用旋转的性质可得∠PBP′＝∠ABC＝60°，BP′＝BP，进而得到△BPP′是等边三角形，即可解答.
【详解】解：连接PP'，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
根据旋转的性质，有∠PBP′＝∠ABC＝60°，BP′＝BP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝BP＝2cm，
故答案为：2cm．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
16．（2019·四川初二期中）如图是3×4正方形网格，其中已有5各小方格涂上阴影，若再选取标有①，②，③，④中的一个小方格涂上阴影，使图中所有涂上阴影的小方格组成一个中心对称图形，则该小方格是_____．（填序号）
【答案】④
【解析】
解：若标有①的一个小方格涂上阴影，则图中所有涂上阴影的小方格组成的图形不是中心对称图形；
若标有②的一个小方格涂上阴影，则图中所有涂上阴影的小方格组成一个轴对称图形；
若标有③的一个小方格涂上阴影，则图中所有涂上阴影的小方格组成一个轴对称图形；
若标有④的一个小方格涂上阴影，则图中所有涂上阴影的小方格组成一个中心对称图形；
故答案是：④．
17．（2020·全国初二课时练习）如下图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(,0),B(0,2),点B2019的坐标为_____。
【答案】（6058,0）
【解析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2019的坐标．
【详解】解：∵A（，0），B（0，2），
∴Rt△AOB中，AB=，
∴OA+AB1+B1C2=+2+=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，即B2（6，2），
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2019的横坐标为：2018÷2×6++=6058，点B2019的纵坐标为：0，
即B2019的坐标是（6058，0）．
故答案为：（6058，0）．
【点睛】本题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．
三、解答题一（每小题6分，共18分)
18．（2020·江苏初二期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是__________、__________．
【答案】(1)见解析；(2)AA′=
CC′、AA′//CC′．
【解析】（1）利用平移规律得出平移后对应点位置进而求出即可；
（2）利用平移的性质得出两条线段之间的关系．
【详解】(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)连接AA′,CC′，则这两条线段之间的关系是：平行且相等．
故答案为平行、相等.
【点睛】考查图形的平移，
平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;
②确定图形中的关键点;
③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;
④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
19．（2019·湖北初三）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点的坐标分别为A请解答下列问题：
（1）与关于原点成中心对称，画出并直接写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕原点逆时针旋转后得到的，并求出点旋转至经过的路径长．
【答案】（1）点的坐标为；（2）．
【解析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可；
（2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点的对应点，然后利用弧长公式计算点旋转至经过的路径长．
【详解】解：（1）如图，为所作：点的坐标为；
（2）如图，为所作；
，
点经过的路径长为．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
20．（2020·全国初二课时练习）用四块如图(1)所示的瓷砖拼铺成一个正方形的地板,使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形,请你在图(2)、图(3)中各画出一种拼法.(要求:两种拼法各不相同,所画图案阴影部分用斜线表示)
【答案】图形见解析.
【解析】
试题分析：本题可考虑以正方形的中心为中心对称图形的中心，或者以图中每个正方形的实线为对称轴，进行图形变换，得出轴对称或者中心对称图形．
试题解析：如图所示.
(注:图形不唯一,只要正确均可)
四、解答题二（每小题8分，共24分)
21．（2020·河北初三期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到
的△A2B2C2；
（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为　　　　　　．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）（1，0）
【解析】（1）首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A1、B1、C1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；
（2）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；
（3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接对应点即可得出答案．
【详解】解：（1）将A，B，C，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1三顶点A1，B1，C1，绕原点旋转90°，即可得出△A2B2C2；
（3）∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，
连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0），
故答案为（1，0）．
【点睛】本题考查作图-旋转变换；作图-平移变换，掌握图形变化特点，数形结合思想解题是关键．
22．（2020·石家庄市第二十八中学初二期末）如图，在小正三角形组成的网格中，有个小正三角形涂黑，请你再涂黑个小正三角形，使它与原来涂黑的小正三角形组成的新图案：
（1）是轴对称图形，不是中心对称图形（在图1中作）
（2）是中心对称图形，不是轴对称图形（在图2中作）；
（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形（在图3中作）
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【解析】（1）根据轴对称图形的概念，找出一条对称轴即可作出图形；
（2）根据中心图形的概念，找到对称中心即可作出图形；
（3）根据轴对称及中心对称图形的概念作出图形即可．
【详解】（1）如图1
（2）如图2
（3）如图3
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形，掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
23．（2020·武汉市七一中学初三月考）如图，已知A(﹣6，4)，B(﹣4，0)，将线段AB沿直线x＝﹣3进行轴对称变换得到对应线段CD．
（1）直接写出C点的坐标为　
　，D点的坐标为　
　；
（2）将线段CD绕O点旋转180°得对应线段EF，请你画出线段EF；
（3）将线段EF沿y轴正方向平移m个单位，当m＝　
　时，线段EF与CD成轴对称．
【答案】（1）(0，4)，(﹣2，0)；（2）见解析；（3）2
【解析】（1）根据对称的点的横坐标的和的一半等于对称轴确定出点B的位置C和D的坐标；
（2）根据中心对称的性质找出点E和点F，连接即可；
（3）当线段EF沿y轴正方向平移m个单位，使得OE′＝OD时．线段EF与CD成轴对称．
【详解】（1）∵A（﹣6，4），B（﹣4，0），将线段AB沿直线x＝﹣3进行轴对称变换得到对应线段CD．
∴C点的坐标为
（0，4），D点的坐标为（﹣2，0），
故答案为（0，4），（﹣2，0）；
（2）画出线段EF如图所示；
（3）∵C（0，4），
∴E（0，﹣4），
∵当平移后线段EF与CD成轴对称时，则OE′＝OD＝2，
∴m＝4﹣2＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，是基础题．
五、解答题三（每小题10分，共20分)
24．（2020·北京市回民学校初三期中）
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．
（1）若CA=CB，CE=CD
①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若CA=8,CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算的值．
【答案】（1）①BE=AD，BE⊥AD；②见解析；（2）125．
【解析】
试题分析：根据三角形全等的判定与性质得出BE=AD，BE⊥AD；设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，根据∠ACB=∠ECD=90°得出∠ACD=∠BCE，然后结合AC=BC，CD=CE得出△ACD≌△BCE，则AD=BE，∠CAD=∠CBF，根据∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°得出∠AFG+∠CAD=90°，从而说明垂直；首先根据题意得出△ACD∽△BCE，然后说明∠AGE=∠BGD=90°，最后根据直角三角形的勾股定理将所求的线段转化成已知的线段得出答案．
试题解析：（1）①解：BE=AD，BE⊥AD
②BE=AD，BE⊥AD仍然成立
证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠BCE
∵AC=BC
CD=CE
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE
∠CAD=∠CBF
∵∠BFC=∠AFG
∠BFC+∠CBE=90°
∴∠AFG+∠CAD=90°
∴∠AGF=90°
∴BE⊥AD
（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠BCE
∵AC=8，BC=6，CE=3，CD=4
∴△ACD∽△BCE
∴∠CAD=∠CBE
∵∠BFC=∠AFG
∠BFC+∠CBE=90°
∴∠AFG+∠CAD=90°
∴∠AGF=90°
∴BE⊥AD
∴∠AGE=∠BGD=90°
∴，．∴．
∵，，
∴
考点：三角形全等与相似、勾股定理．
25．（2020·河北初二期末）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；
（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-α；
（2）△ABE为等边三角形．
证明：
连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠DBC=60°．
又∵∠ABE=60°，
∴且△BCD为等边三角形．
在△ABD与△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴．
∵∠BCE=150°，
∴．
∴．
在△ABD和△EBC中，
∵，，BC=BD，
∴△ABD≌△EBC（AAS）．
∴AB=BE．
∴△ABE为等边三角形．
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴．
又∵∠DEC=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形．
∴DC=CE=BC．
∵∠BCE=150°，
∴．
而．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

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