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21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为(　　)
A.-4
B.2
C.4
D.-3
2.已知x1,x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根,则x1＋x2－x1x2的值是
(
)
A.3
B.1
C.－1
D.－3
3.若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0,则这个方程的另一个根是
(
)
A.
B.－
C.1
D.－1
4.已知关于x的一元二次方程x2＋cx＋6＝0,它的两根之和为－2,则c的值是
(
)
A.4
B.2
C.－2
D.－4
5.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0,它的两根之积为－4,则k的值为
(
)
A.4
B.－3
C.－4
D.－5
6.设m,n分别为一元二次方程4x2＋2x－1＝0的两个实数根,则m＋n＋mn的值为
(
)
A.－
B.－
C.
D.
7.设a,b是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个根,则a2＋2a－3b的值为
(
)
A.－18
B.－12
C.12
D.18
8.已知α,β是方程x2＋2020x＋1＝0的两个根,则(1＋2022α＋α2)(1＋2022β＋β2)的值为
(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　　)
A.2
B.0
C.1
D.2或0
10.设a,b是方程x2-8x+4=0的两个根,则的值为(　　)
A.18
B.
C.2
D.±3
11.关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是(　　)
A.-2
B.2
C.-5
D.5
12.若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数,则a的值为
(
)
A.2
B.0
C.1
D.2或0
13.(2019·包头)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
14.(中考·贵港)若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是(　　)
A．3
B．－3
C．5
D．－5
二、填空题
15.方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当______________时，方程有实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝________，x1x2＝________．
运用根与系数的关系解决问题的前提是方程有实数根，即____________．
16.已知－5是一元二次方程x2＋mx－10＝0的一个根,则方程的另一个根是　　.?
17.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根,且满足x1＋x2＝m2,则m的值是　　.?
18.对于任意实数a,b,定义:a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m,n,则m2＋n2＝　　.?
19.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为　　.?
20.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是　　.?
三、解答题
21.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－5＝0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.
22.若x1,x2是方程x2＋2x－2021＝0的两个根,不解方程,试求下列各式的值:
(1)x1＋x2;
(2)x1x2;
(3);
(4).
23.已知(x≠y),求的值.
24.已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋m2－2m＝0的两实数根为x1,x2,且＝10,求m的值.
25.已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.
26.已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
27．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长是5.
(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
28.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?
29.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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参考答案
一、选择题
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为(　A　)
A.-4
B.2
C.4
D.-3
2.已知x1,x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根,则x1＋x2－x1x2的值是
(A)
A.3
B.1
C.－1
D.－3
3.若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0,则这个方程的另一个根是
(B)
A.
B.－
C.1
D.－1
4.已知关于x的一元二次方程x2＋cx＋6＝0,它的两根之和为－2,则c的值是
(B)
A.4
B.2
C.－2
D.－4
5.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0,它的两根之积为－4,则k的值为
(D)
A.4
B.－3
C.－4
D.－5
6.设m,n分别为一元二次方程4x2＋2x－1＝0的两个实数根,则m＋n＋mn的值为
(A)
A.－
B.－
C.
D.
7.设a,b是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个根,则a2＋2a－3b的值为
(D)
A.－18
B.－12
C.12
D.18
8.已知α,β是方程x2＋2020x＋1＝0的两个根,则(1＋2022α＋α2)(1＋2022β＋β2)的值为
(D)
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(　B　)
A.2
B.0
C.1
D.2或0
10.设a,b是方程x2-8x+4=0的两个根,则的值为(　C　)
A.18
B.
C.2
D.±3
11.关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是(　D　)
A.-2
B.2
C.-5
D.5
12.若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数,则a的值为
(B)
A.2
B.0
C.1
D.2或0
13.(2019·包头)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，则m的值是(　　)
A．34
B．30
C．30或34
D．30或36
【点拨】情况一：当a＝4时，b<8.
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴4＋b＝12.
∴b＝8，不符合题意．
情况二：当b＝4时，a<8.
∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，
∴4＋a＝12.
∴a＝8，不符合题意．
情况三：当a＝b时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－12x＋m＋2＝0的两根，∴a＋b＝12.
∴a＝b＝6.
∴m＋2＝36.
∴m＝34.
【答案】A
14.(中考·贵港)若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则＋的值是(　　)
A．3
B．－3
C．5
D．－5
【点拨】∵a，b为方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根，∴a＋b＝3，ab＝p.
∵a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝32－3p＝18，∴p＝－3.
∴＋＝＝＝－2＝－2＝－5.
【答案】D
二、填空题
15.方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当___
b2－4ac≥0___________时，方程有实数根x1，x2.这两个根与系数的关系是：x1＋x2＝_－_______，x1x2＝________．
运用根与系数的关系解决问题的前提是方程有实数根，即___b2－4ac≥0_________．
16.已知－5是一元二次方程x2＋mx－10＝0的一个根,则方程的另一个根是　2　.?
17.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根,且满足x1＋x2＝m2,则m的值是　3　.?
18.对于任意实数a,b,定义:a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m,n,则m2＋n2＝　6　.?
19.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为　1　.?
20.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是　4　.?
三、解答题
21.已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－5＝0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.
解:将x＝1代入方程得,1＋a＋a－5＝0,
解得a＝2.
由根与系数的关系可知,该方程的另一个根为－3.
22.若x1,x2是方程x2＋2x－2021＝0的两个根,不解方程,试求下列各式的值:
(1)x1＋x2;
解:x1＋x2＝－2.
(2)x1x2;
解:x1x2＝－2021.
(3);
解:＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4046.
(4).
解:.
23.已知(x≠y),求的值.
解:∵(x≠y),
∴x,y可看作方程t2+3t-4=0的两个根,
∴x+y=-3,xy=-4,∴=-.
24.已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋m2－2m＝0的两实数根为x1,x2,且＝10,求m的值.
解:由题意可知Δ＝(2m－2)2－4(m2－2m)＝4>0,
∴无论m取任何值,方程有两个不相等的实数根.
∵x1＋x2＝2m－2,x1x2＝m2－2m,
∴＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10,
∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10,
∴m2－2m－3＝0,
∴m＝－1或m＝3.
25.已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋2mx＋m－3＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.
解:(1)由题意得Δ＝(2m)2－4(m＋1)(m－3)＝8m＋12,要使方程有两个不相等的实数根,需要Δ>0,即8m＋12>0,解得m>－且m≠－1.
(2)由题意得两根之和为－.
∵方程有一个根为零,∴m－3＝0,解得m＝3,
∴另一个根为x＝－.
26.已知关于x的方程(k－1)x2＋(2k－3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围.
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,
即(2k－3)2－4(k－1)(k＋1)>0,解得k<.
又∵此方程为一元二次方程,∴k－1≠0,即k≠1,
∴k的取值范围是k<且k≠1.
(2)不存在.
理由:若存在,由根与系数关系有x1＋x2＝－＝0,
解得k＝,
故不存在实数k,使方程的两实根互为相反数.
27．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长是5.
(1)k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
解：∵Δ＝[－(2k＋3)]2－4(k2＋3k＋2)＝1＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根．
设方程的两根(即AB，AC的长)为x1，x2.
根据题意，得x1＋x2＝2k＋3，x1
x2＝k2＋3k＋2.
又∵x＋x＝25，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k＋3)2－2(k2＋3k＋2)＝25，
解得k1＝2，k2＝－5.
当k＝－5时，方程的两根均为负数，不符合题意，舍去．
∴k＝2.
(2)k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
解：由(1)知方程有两个不相等的实数根，
∴BC＝5一定是腰长，即方程有一根为5.
将x＝5代入方程，得25－5(2k＋3)＋k2＋3k＋2＝0，
解得k＝3或k＝4.
故当k的值为3或4时，△ABC是等腰三角形．
当k＝3时，x1＋x2＝2k＋3＝9，△ABC的周长为9＋5＝14；
当k＝4时，x1＋x2＝2k＋3＝11，△ABC的周长为11＋5＝16.
28.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?
解:(1)由题意得Δ>0,
∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0,解得k<－.
(2)令方程的两根分别为x1,x2,
∴x1＋x2＝1－2k,x1x2＝k2＋3.
∵此方程的两个根分别是直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5,
∴＝52,∴(x1＋x2)2－2x1x2＝25,
∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25,即k2－2k－15＝0,
解得k1＝5,k2＝－3.∵k<－,∴k＝－3.
把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0,
解得x1＝3,x2＝4,
∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.
29.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
解:(1)不是.
理由:解方程x2+x-12=0,得x1=3,x2=-4.
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5.
∵3.5不是整数,∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.
(2)存在.
理由:∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是“偶系二次方程”,∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,-27=36m+n.
∵x2=0是“偶系二次方程”,∴n=0,∴m=-,
∴c=-b2.
∵x2+3x-=0是“偶系二次方程”,
当b=3时,c=-×32=-.∴可设c=-b2.
对于任意一个整数b,c=-b2时,Δ=b2-4ac=4b2.
x=,∴x1=-b,x2=b,∴|x1|+|x2|=2|b|,
∵b是整数,
∴对于任何一个整数b,当c=-b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”.

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