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《二次函数的图像和性质》专题提升练习
选择题（每小题4分，共24分）
1.
已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是
(　　)
A.y1>0>y2　
B.y2>0>y1
C.y1>y2>0　
D.y2>y1>0
2.
如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(-1,1)和B(2,4)两点,则当y1(　
　)
A.x<-1　　　
B.x>2　
C.-1D.x<-1或x>2
3.
若抛物线y=ax2-1(a≠0)经过点(a,7),则a的值是
(　
　)
A.-2　
B.1　
C.2　
D.3
4.
如图,A,B分别为y=x2上的两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则△OAB的面积
是　(　　)
A.27
B.54
C.3
D.6
5.将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是
(　　
)
A.向左平移1个单位　
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位　
D.向下平移1个单位
6.
已知抛物线y=a(x+3)2+c上有两点(x1,y1)和(x2,y2),若|x1+3|>|x2+3|,则下列结论一定成立的是
(　　
)
A.y1+y2>0
B.y1-y2>0
C.a(y1-y2)>0
D.a(y1+y2)>0
二、填空题（每小题4分，共24分）
1.
写出一个y关于x的二次函数的关系式,且它的图象的顶点在y轴上:________.
2.已知二次函数y=-x2+4,当-2≤x≤3时,函数的最小值是__
__,最大值是__
__.?
3.
直线y=x+a与抛物线y=x2的一个交点坐标为(-1,b),则另一个交点的坐标是________.
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为__
__.?
5.
如图所示,点A是抛物线y=-x2上一点,AB⊥x轴于B,若B点坐标为(-2,0),则A点纵坐标为________,S△AOB=________.　
6.
如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论:
①abc<0;②b2-4ac>0;③4b+c<0;④若B,C为函数图象上的两点,则y1>y2;⑤当-3≤x≤1时,y≥0.
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)________.
三、解答题（共52分）
1.
如图,直线l经过A(-2,0)和B(0,2)两点,它与抛物线y=x2在第二象限内相交于点P,求△AOP的面积.
（6分）
2.如图,抛物线y=-x2+3与x轴交于A,B两点,与直线y=-x+b相交于B,C两点,连接A,C两点.
(1)写出直线BC的表达式.
（4分）
(2)求△ABC的面积.
（6分）
3.
已知二次函数y=x2-4x+3,求解下列问题:
（每小题2分，共16分）
(1)开口方向.
(2)顶点坐标,对称轴.
(3)最值.
(4)抛物线和x轴、y轴的交点坐标.
(5)作出函数图象.
(6)当x取何值时,y>0,y<0?
(7)当x取何值时,y随x的增大而增大,y随x的增大而减小?
(8)怎样由y=x2-4x+3的图象得到y=x2的图象?
4.
一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图1所示),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),请根据所给的数据求出抛物线的表达式.
（6分）
(2)求支柱MN的长度.
（6分）
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽1
m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
（8分）
《二次函数的图像和性质》专题提升练习（答案版）
一.选择题.
1.
已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是
(　C　)
A.y1>0>y2　
B.y2>0>y1
C.y1>y2>0　
D.y2>y1>0
解:∵抛物线y=ax2(a>0),
∴A(-2,y1)关于y轴对称点的坐标为(2,y1).
又∵a>0,0<1<2,∴y22.
如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(-1,1)和B(2,4)两点,则当y1(　D　)
A.x<-1　　　
B.x>2　
C.-1D.x<-1或x>2
解:∵一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2交于A(-1,1)和B(2,4)两点,
从图象上看出,
当x>2时,y1的图象在y2的图象的下方,即y1当x<-1时,y1的图象在y2的图象的下方,即y1∴当x<-1或x>2时,y13.
若抛物线y=ax2-1(a≠0)经过点(a,7),则a的值是
(　C　)
A.-2　
B.1　
C.2　
D.3
解:∵抛物线y=ax2-1(a≠0)经过点(a,7),
∴7=a3-1,解得:a=2.
4.
如图,A,B分别为y=x2上的两点,且线段AB⊥y轴,若AB=6,则△OAB的面积
是　(　　)
A.27
B.54
C.3
D.6
【解析】选A.∵A,B分别为y=x2上的两点,且线段AB⊥y轴,∴A,B关于y轴对称,
∵AB=6,∴B点横坐标为3,把x=3代入y=x2,得y=9,
∴△OAB的面积=AB×9=×6×9=27.
5.将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是
(　D　
)
A.向左平移1个单位　
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位　
D.向下平移1个单位
解:
选项
知识点
A
得到函数y=(x+1)2,其图象经过点(1,4).
B
得到函数y=(x-3)2,其图象经过点(1,4).
C
得到函数y=x2+3,其图象经过点(1,4).
D
得到函数y=x2-1,其图象不经过点(1,4).
6.
已知抛物线y=a(x+3)2+c上有两点(x1,y1)和(x2,y2),若|x1+3|>|x2+3|,则下列结论一定成立的是
(　C　)
A.y1+y2>0
B.y1-y2>0
C.a(y1-y2)>0
D.a(y1+y2)>0
解:①a>0时,二次函数图象开口向上,
∵|x1+3|>|x2+3|,∴y1>y2,
无法确定y1+y2的正负情况,a(y1-y2)>0,
②a<0时,二次函数图象开口向下,
∵|x1+3|>|x2+3|,∴y1无法确定y1+y2的正负情况,a(y1-y2)>0,
综上所述,正确的是a(y1-y2)>0.
二.填空题.
1.
写出一个y关于x的二次函数的关系式,且它的图象的顶点在y轴上:________.
【解析】由题意可得:y=x2(答案不唯一)
答案:y=x2(答案不唯一)
2.已知二次函数y=-x2+4,当-2≤x≤3时,函数的最小值是__-5__,最大值是__4__.?
解:∵y=-x2+4,
∴抛物线开口向下,对称轴为y轴,
∴当-2≤x≤0时,y随x的增大而增大,
∴当x=-2时,y有最小值0,
当x=0时,y有最大值4,
当0≤x≤3时,y随x的增大而减小,
∴当x=0时,y有最大值4,
当x=3时,y有最小值-5,
综上可知,当-2≤x≤3时,函数的最小值是-5,最大值是4.
3.
直线y=x+a与抛物线y=x2的一个交点坐标为(-1,b),则另一个交点的坐标是__(2,4)__.
【解析】把x=-1,y=b代入y=x2,得b=1,∴这个交点坐标为(-1,1),把x=-1,y=1代入y=x+a,得a=2,∴由得或
∴另一个交点的坐标是(2,4).
答案:(2,4)
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为__6__.?
解:由题意知,A的坐标为(0,3),
∴直线BC可记为y=3,
当y=3时,x2=3,∴x=±3,
∴B(-3,3),C(3,3),∴BC=6.
5.
如图所示,点A是抛物线y=-x2上一点,AB⊥x轴于B,若B点坐标为(-2,0),则A点纵坐标为___-4___,S△AOB=___-4___.　
【解析】∵AB⊥x轴,
∴A点横坐标为-2,
把x=-2代入y=-x2,得y=-4.
S△AOB=OB·AB=×2×4=4.
答案:-4　4
6.
如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出以下结论:
①abc<0;②b2-4ac>0;③4b+c<0;④若B,C为函数图象上的两点,则y1>y2;⑤当-3≤x≤1时,y≥0.
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)________.
【解析】由题干中图象可知,a<0,b<0,c>0,
∴abc>0,故①错误.
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,故②正确.∵抛物线对称轴为x=-1,与x轴交于A(-3,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0),
∴a+b+c=0,-=-1,
∴b=2a,c=-3a,
∴4b+c=8a-3a=5a<0,故③正确.
∵B,C为函数图象上的两点,
又点C离对称轴近,
∴y1由题干中图象可知,-3≤x≤1时,y≥0,故⑤正确.
∴②③⑤正确.
答案:②③⑤
三.解答题.
1.
如图,直线l经过A(-2,0)和B(0,2)两点,它与抛物线y=x2在第二象限内相交于点P,求△AOP的面积.
【解析】设直线l的关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0),则有:解得∴y=x+2,由题意,得解得或
∵点P在第二象限,∴点P的坐标是(-1,1),
∴S△AOP=OA·1=×2×1=1.
2.如图,抛物线y=-x2+3与x轴交于A,B两点,与直线y=-x+b相交于B,C两点,连接A,C两点.
(1)写出直线BC的表达式.
(2)求△ABC的面积.
解:(1)令y=0,则-x2+3=0,
解得x=±2,
所以,点B的坐标为(2,0),
代入y=-x+b得,-×2+b=0,
解得b=,
所以,直线BC的表达式为y=-x+.
(2)联立
解得
所以,点C的坐标为,
∵AB=2-(-2)=2+2=4,
∴△ABC的面积=×4×=.
3.
已知二次函数y=x2-4x+3,求解下列问题:
(1)开口方向.
(2)顶点坐标,对称轴.
(3)最值.
(4)抛物线和x轴、y轴的交点坐标.
(5)作出函数图象.
(6)当x取何值时,y>0,y<0?
(7)当x取何值时,y随x的增大而增大,y随x的增大而减小?
(8)怎样由y=x2-4x+3的图象得到y=x2的图象?
【解析】(1)∵a=1>0,∴开口向上.
(2)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1
=(x-2)2-1,
∴顶点坐标为(2,-1),对称轴为x=2.
(3)∵抛物线开口向上,函数有最小值,其值为-1.
(4)若x=0,则y=3,∴抛物线与y轴交点为(0,3),
若y=0,则x2-4x+3=0,∴x1=1,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点为(1,0)和(3,0).
(5)图象如下:
(6)由图象知,当x<1或x>3时y>0,
当1(7)当x>2时,y随x的增大而增大,
当x<2时,y随x的增大而减小.
(8)将抛物线y=x2-4x+3的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到y=x2的图象.
4.
一座拱桥的轮廓是抛物线形(如图1所示),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),请根据所给的数据求出抛物线的表达式.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽1
m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
解:(1)根据题目条件,A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6).
将B,C的坐标代入y=ax2+c,得
解得:a=-,c=6.
所以抛物线的表达式是y=-x2+6(-10≤x≤10).
(2)可设N(5,yN),于是yN=-×52+6=4.5.
从而支柱MN的长度是8-4.5=3.5米.
(3)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车最内侧与最外侧的宽度和,
则G点坐标是,
过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则yH=-×+6=3.465>3,根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

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