资源简介 菱形的判定 数学华师大版 八年级下 新知导入 取两根长度不等的细纸条,将两根纸条的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出纸条四个端点的连线,则这四条线段组成一个什么图形,若转动其中一根纸条,使两根纸条之间的夹角等于 90° ,请猜想这时图形的形状是什么图形? 新知讲解 1.定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的定义作为我们判定菱形的基本方法,接下来我们从边上来研究菱形的判定方法. ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD. ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言 新知讲解 四条边相等的四边形是菱形. 菱形的四条边相等. 逆命题 这个逆命题成立吗? 新知讲解 作一个四条边都相等的四边形. 步骤: 1.画两条相等的线段AB、CD; 2.分别以点B和点D为圆心,AB长为半径画弧,两弧相交于点C; 3.连结BC、CD,即得一个四条边都相等的四边形ABCD. 这个四边形是菱形吗? 新知讲解 命题:四条边相等的四边形是菱形. 已知:在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形. 定理:四条边相等的四边形是菱形. 菱形判定定理1 新知讲解 有三条边相等的四边形是菱形吗?请同学动手画一画,你发现什么结论? 结论:有三条边相等的四边形不是菱形. 新知讲解 数学语言: 在四边形ABCD中, ∵ AB=BC=CD=DA, ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的判定1: 四条边都相等的四边形是菱形. 新知讲解 例4 如图,在矩形ABCD中,点E、F、G、H分别是四条边的中点,试问四边形EFGH是什么图形?并说明理由. 解:∵H点为AD的中点,∴AH=HD, ∵E点为AB的中点,AE= AB, G点为DC的中点,DG= CD , 又∵AB=DC,∴AE=DG. ∵∠HAE=∠HDG,∴△EAH≌△GDH , ∴HE=HG , 同理EF=FG=HG=HE , ∴四边形EFGH是菱形. 新知讲解 若四边形ABCD的对角线AC⊥BD,则四边形ABCD是不是菱形? 结论:对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形. 对角线互相垂直的平形四边形是菱形吗? 新知讲解 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 步骤: 1.作两条互相垂直的直线m,n,记交点为点O; 2.以点O为圆心,适当长为半径画弧,在直线m上截取相等的两条线段OA、OC; 3.以点O为圆心,另一适当长为半径画弧,在直线n上截取相等的两条线段OB、OD; 4.顺次连结所行的四点,即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD,显然,它是一个对角线互相垂直的平行四边形. 这个平行四边形是菱形吗? 新知讲解 命题:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:在平行四边形ABCD中,AC⊥BD . 求证:平行四边形ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BA=BC, ∴ 平行四边形ABCD是菱形.(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新知讲解 数学语言:∵在□ABCD中,AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. 菱形的判定2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 平行四边形ABCD AC⊥BD 菱形ABCD 新知讲解 取两根长度不等的细纸条,将两根纸条的中点重合并固定在一起,用笔和直尺画出纸条四个端点的连线,则这四条线段组成一个什么图形,若转动其中一根纸条,使两根纸条之间的夹角等于 90° ,请猜想这时图形的形状是什么图形? 这四条线段组成平行四边形, 理由:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 当两根纸条之间的夹角等于 90° 时,这时图形是菱形, 理由:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新知讲解 例5 如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F. 求证:四边形AFCE是菱形. 分析:要证四边形AFCE是菱形,由已知条件可知EF⊥AC,所以只需证明四边形AFCE是平行四边形,又知EF垂直平分AC,所以只需证明OE=OF. 新知讲解 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC, ∴ ∠1=∠2, ∵EF平分AC, ∴OA=OC. 又∵ ∠AOE=∠COF=90°, ∴ △AOE≌△COF. ∴ 四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 1. 判断题 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形( ) (2)一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形( ) (3)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形( ) (4)对角线相等的四边形是菱形( ) (5)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形( ) (6)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形( ) 课堂练习 × √ × × √ √ 课堂练习 2. □ABCD的对角线AC与BD相交于点O, (1)若AB=AD,则□ABCD是 形; (2)若AC=BD,则□ABCD是 形; (3)若∠ABC是直角,则□ABCD是 形; (4)若∠BAO=∠DAO,则□ABCD是 形. 菱 矩 矩 菱 课堂练习 3. 下列命题中正确的是( ) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 4. 对角线互相垂直且平分的四边形是( ) A.矩形 B.一般的平行四边形 C.菱形 D.以上都不对 5. 下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是( ) A.AC⊥BD,AC与BD互相平分 B.AB=BC,AD=CD,且AC⊥BD C.AB=BC=CD=DA D.AB=CD,AD=BC,AC⊥BD C C B 课堂练习 6、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,且AE∥CD,CE∥AB. 证明:四边形ADCE是菱形. 证明:∵∠ACB=90°,D为AB的中点, ∴AD=CD=BD. ∵AE∥CD,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形且AD=CD, ∴四边形ADCE是菱形. 拓展提高 7、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)过点D作DE⊥BD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长. 拓展提高 (1)证明:∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD, ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, ∴AD=AB, ∵BA=BC, ∴AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵BA=BC, ∴四边形ABCD是菱形; (2)解:∵DE⊥BD,∴∠BDE=90°, ∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°, ∵CB=CD,∴∠DBC=∠BDC, ∴∠CDE=∠E, ∴CD=CE=BC, ∴BE=2BC=10, ∵BD=8, ∴DE= =6, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=AB=BC=5, ∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26. 中考链接 【2018?四川】如图,在?ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:四边形AECF是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD//BC, ∵DE=BF, ∴AE=CF,∵AE//CF, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形AECF是菱形. 课堂总结 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 有四条边相等的四边形是菱形. + 邻边相等 = +对角线线互相垂直 = 四条边相等 + = 菱形的判定方法 板书设计 菱形的判定方法: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有四条边相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 例4 例5 作业布置 教材118页,第2题、第3题、第4题. 展开更多...... 收起↑ 资源预览