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第一章过关与测试
(时间:120分钟　满分:150分)
题　号
一
二
三
总　分
得　分
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共15小题,每小题3分,共45分.每小题只有一个正确选项)
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　)
A.对角线相等且互相平分 B.对角线相等且互相垂直平分
C.对角线互相平分 D.四条边相等,四个角相等
2.下列对正方形的描述错误的是(　　)
A.正方形的四个角都是直角
B.正方形的对角线互相垂直
C.邻边相等的矩形是正方形
D.对角线相等的平行四边形是正方形
3.已知四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,对角线AC,BD相交于点O.下列结论一定成立的是(　　)
A.AC⊥BD B.AC=BD
C.∠ABC=90° D.∠ABC=∠BAC
4.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是(　　)
A.8 B.42 C.82 D.16
5.如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为(　　)
A.24 B.18 C.12 D.9
第5题图
第6题图
第7题图
6.如图,矩形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上,且a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
7.如图,在矩形AOBC中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为(　　)
A.-12 B.12 C.-2 D.2
8.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被一块湿地隔开,若测得BM的长为12 km,则M,C两点间的距离为(　　)
A.5 km
B.6 km
C.9 km
D.12 km
9.如图,正方形ABCD中,∠BCE=35°,CE=FG,则∠AGF的度数是(　　)
A.50° B.55° C.60° D.65°
第9题图
第10题图
10.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB的中点是坐标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推,使点D落在y轴正半轴上点D'处,则点C的对应点C'的坐标为(　　)
A.(3,1) B.(2,1)
C.(1,3) D.(2,3)
11.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线AC的长是(　　)
A.1 B.3 C.2 D.23
第11题图
第12题图
12.如图,在矩形ABCD中,ABA.10 B.15 C.20 D.40
13.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
第13题图
第14题图
第15题图
14.如图,正方形ABCD的面积为16,且其对角线相交于点O,点O是正方形A'B'C'O的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠(阴影)部分的面积为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
15.如图,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(　　)
A.1 B.1.5
C.2 D.2.5
二、填空题(本大题共5小题,每题5分,共25分)
16.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是　　　　.?
17.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;
②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;
③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;
④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形.
其中,正确的有　　　　.(选填序号)?
第17题图
第18题图
18.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=　　　　°.?
19.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,∠AOC=60°,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°,得到四边形OA'B'C',则点B的对应点B'的坐标为　　　　.?
第19题图
第20题图
20.如图,在平面直角坐标系中,△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形,AC=2,点C与点E关于x轴对称,则点D的坐标是　　　　.?
三、解答题(本大题共7小题,共80分)
21.(8分)如图,四边形ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.
22.(8分)已知:如图,在?ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)求证:四边形AECF是矩形.
23.(10分)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°.
(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F.(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接BF,求∠DBF的度数.
24.(12分)如图,两张宽为1 cm的矩形纸条交叉叠放,其中重叠部分是四边形ABCD.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)若∠BAD=30°,求重叠部分的面积.
25.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若AB=5,BD=2,求OE的长.
26.(14分)如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE.
(2)若E为AD中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.
27.(16分)△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B,C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB,AC于点F,G,连接BE.
(1)如图1,当点D在线段BC上时.
①求证:△AEB≌△ADC.
②求证:四边形BCGE是平行四边形.
(2)如图2所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立.
(3)在(2)的情况下,当C为BD中点时,试判断四边形BCGE是什么特殊的四边形?并说明理由.
图1
图2
第一章过关与测试
1.C　2.D　3.A　4.A　5.A　6.C　7.A　8.D　9.B　10.D　11.D
12.C　13.B　14.B　15.C
16.菱形　17.①②③　18.22.5　19.(6,-6)　20.33,0
21.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°.
∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°.
∵∠DAG+∠BAF=90°,∴∠ADG=∠BAF.
在△BAF和△ADG中,∠AFB=∠AGD,∠BAF=∠ADG,AB=AD,
∴△BAF≌△ADG(AAS),∴BF=AG,AF=DG.
∵AG=AF+FG,∴BF=AG=DG+FG,∴BF-DG=FG.
22.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC.
∵AE⊥BC,CF⊥AD,∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°.
在△ABE和△CDF中,∠AEB=∠CFD,∠B=∠D,AB=CD,∴△ABE≌△CDF(AAS).
(2)∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=90°,
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形AECF是矩形.
23.
解:(1)如图所示,直线EF即为所求.
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=75°,∴∠ABC=150°,∵AB∥CD,∠A=∠C,
∴∠ABC+∠C=180°,∴∠C=30°=∠A.∵EF垂直平分AB,∴AF=BF,∴∠FBE=∠A=30°,∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=75°-30°=45°.
24.
图1
解:(1)四边形ABCD是菱形,理由是:如图1所示.∵依题意可知AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
分别作CD,BC边上的高为AE,AF,
∵两纸条宽相同,∴AE=AF.
∵平行四边形的面积为AE·CD=BC·AF,∴CD=BC,∴平行四边形ABCD为菱形.
图2
(2)如图2所示,过B,D两点分别作BE⊥AD,DF⊥AB,垂足分别为E,F.
∵宽为1 cm,∴BE=DF=1 cm.
∵∠BAD=30°,∴AB=2 cm,
∴重叠部分的面积为
DF·AB=1×2=2(cm2).
25.(1)证明:∵AB∥CD,∴ ∠OAB=∠DCA.
∵AC平分∠BAD,
∴∠OAB=∠OAD,即∠OAD=∠DCA,∴CD=AD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,BD⊥AC.
∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC.∵BD=2,∴OB=12BD=1.
在Rt△AOB中,AB=5,OB=1,∴OA=AB2-OB2=2,
∴OE=OA=2.
26.(1)证明:∵四边形EFGH是矩形,∴EH=FG,EH∥FG,
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠GBF=∠EDH,
∴△BGF≌△DEH(AAS),∴BG=DE.
(2)解:如图,连接EG,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC.
∵E为AD中点,∴AE=ED.
∵BG=DE,∴AE=BG,AE∥BG,
∴四边形ABGE是平行四边形,∴AB=EG.
∵EG=FH=2,∴AB=2,
∴菱形ABCD的周长为8.
27.
(1)证明:①∵△ABC与△ADE都是等边三角形,∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=60°,即∠1=∠3.∴△AEB≌△ADC.
②由①可得△AEB≌△ADC,△ABC是等边三角形,∴∠4=∠5=∠BAC=60°,∴BE∥CG.∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.
(2)(1)中的两个结论都成立.
(3)解:四边形BCGE是菱形.理由:
由(1)同理可得△AEB≌△ADC,
∴∠ABE=∠6=180°-∠7=180°-60°=120°,BE=CD,∴∠ABE+∠BAC=120°+60°=180°,∴BE∥AG,
∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.
∵C为BD中点,∴CD=BC,∴BE=BC,
∴四边形BCGE是菱形.

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