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5　一元二次方程的根与系数的关系
知识点 1　利用根与系数的关系求代数式的值
1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是(　　)
A．－10 B．10 C．－16 D．16
2．2017·怀化若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1·x2的值是(　　)
A．2 B．－2 C．4 D．－3
3．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
4．若方程x2－3x－4＝0的两根分别为x1和x2，则＋的值是(　　)
A．1 B．2 C．－ D．－
5．若x1，x2是一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：
(1)(x1－3)(x2－3)；
(2)(x1＋1)2＋(x2＋1)2.
知识点 2　利用根与系数的关系求方程的根及待定字母的值
6．教材习题2.8第3题变式题若关于x的方程x2－2x＋m＝0的一个根为－1，则另一个根为(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是(　　)
A．－10 B．10 C．－6 D．2
8．2017·呼和浩特已知关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为(　　)
A．2 B．0
C．1 D．2或0
9．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝________．
10．若方程3x2－8x＋m＝0的两根之比为3∶2，求m的值．
11．一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－3x＋3＝0的所有实数根的和等于(　　)
A．－3 B．－6 C．6 D．3
12．若关于x的一元二次方程的两个实数根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是(　　)
A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0
C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝0
13．2017·仙桃若α，β为方程2x2－5x－1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为(　　)
A．－13 B．12 C．14 D．15
14．已知实数a，b满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是________．
15．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，求(m＋2)(n＋2)的最小值．
16．已知关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两实数根分别为x1和x2，且x12＋x22＝11，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.
(1)求k的取值范围；
(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)k为何值时，x1与x2互为倒数？
19．已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
20.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．

1．A　2.D
3．C　4．C　
5．解：根据题意，得x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－3×＋9＝2.
(2)(x1＋1)2＋(x2＋1)2＝x12＋2x1＋1＋x22＋2x2＋1＝x12＋x22＋2(x1＋x2)＋2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋2(x1＋x2)＋2＝()2－2×＋2×＋2＝12.
6．D　
7．A　
8．B　
9．－1　
10．解：设方程的两根分别为3n，2n，
∴5n＝，6n2＝，∴n＝，
∴m＝18n2＝18×()2＝.
D
12．B　．
13．B　.
14．7　
15．解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2－2tx＋t2－2t＋4＝0的两实数根，
∴m＋n＝2t，mn＝t2－2t＋4，
∴(m＋2)(n＋2)＝mn＋2(m＋n)＋4＝t2－2t＋4＋2×2t＋4＝t2＋2t＋8＝(t＋1)2＋7.
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝(－2t)2－4(t2－2t＋4)＝8t－16≥0，
∴t≥2，
∴(t＋1)2＋7≥(2＋1)2＋7＝16.
即(m＋2)(n＋2)的最小值是16.
16．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋3x－m＝0有实数根，
∴Δ＝32＋4m≥0，
解得m≥－.
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－m，
而x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11，
∴(－3)2＋2m＝11，
解得m＝1.
17．解：(1)∵方程有实数根，
∴b2－4ac＝22－4(k＋1)≥0，
解得k≤0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1，则x1＋x2－x1x2＝－2－(k＋1)．
由已知，得－2－(k＋1)＜－1，
解得k＞－2.
又由(1)得k≤0，
∴－2＜k≤0.
∵k为整数，
∴k的值为－1或0.
18．解：(1)依题意，得(2k－1)2－4k2>0，且k≠0，
解得k<且k≠0.
(2)由x1·x2＝＝1，得k＝±1，而k<且k≠0，所以k＝－1.
19 (1)证明：一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0中，
∵a＝1，b＝－(m－3)＝3－m，c＝－m2，
∴b2－4ac＝(3－m)2－4×1×(－m2)＝5m2－6m＋9＝5(m－)2＋＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)由根与系数的关系，得x1·x2＝＝－m2≤0，x1＋x2＝m－3.
∵|x1|＝|x2|－2，
∴|x1|－|x2|＝－2.
若x1≥0，x2≤0，上式化简得x1＋x2＝－2，
∴m－3＝－2，即m＝1，
方程化为x2＋2x－1＝0，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－；
若x1≤0，x2≥0，上式化简得－(x1＋x2)＝－2，
∴x1＋x2＝m－3＝2，即m＝5，
方程化为x2－2x－25＝0，
解得x1＝1－，x2＝1＋.
20．解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，
解得m＝－4或m＝6.
当m＝－4时，原方程无解，
∴m＝6.
(2)①当7为底边长时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，
解得m＝2，
∴方程变为x2－6x＋9＝0，
解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．
②当7为腰长时，设x1＝7，
代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得m＝10或m＝4.
当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，
解得x＝7或x＝15.
∵7＋7＜15，
∴不能构成三角形；
当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，
解得x＝3或x＝7.
∵3＋7>7，
∴能构成三角形．
此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
即这个三角形的周长为17.

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