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功与功率
限时：45分钟
一、单项选择题
1．以一定的速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气的阻力大小恒为f，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　C　)
A．0
B．－fh
C．－2fh
D．－4fh
解析：从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都为恒力，且总是跟小球运动的方向相反，所以空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，即W＝W上＋W下＝(－fh)＋(－fh)＝－2fh.空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做的功时，不可简单地套用功的计算公式W＝Fxcos
α，得出W＝0的错误结论．从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程中小球路程的乘积．故选C.
2．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是(　D　)
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
解析：在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对人做正功，故D正确．
3．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为时，汽车的瞬时加速度的大小为(　C　)
A.
B.
C.
D.
解析：汽车受到的阻力Ff＝，当速度为时，汽车的牵引力为F＝，根据牛顿第二定律得a＝.
4．一辆小车在水平面上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受牵引力和阻力随时间变化的规律如下图所示，则作用在小车上的牵引力F的功率随时间变化的规律是下图中的
(　D　)
解析：车所受的牵引力和阻力恒定，所以车做匀加速直线运动，牵引力的功率P＝Fv＝F(v0＋at)，故选项D正确．
5.如图所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相同．在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则(　B　)
A．WA>WB
B．WA＝WB
C．WAD．无法确定
解析：设斜面AD、斜面BD与水平面CD所成夹角分别为α、θ，根据功的公式，得WA＝μmgcos
α·lAD＝μmglCD，WB＝μmgcos
θ·lBD＝μmglCD，所以选B.
6．一质量为m的物体，从倾角为θ的光滑斜面顶端由静止下滑，下滑时离地面的高度为h，如图所示，当物体滑到斜面底端时，重力的瞬时功率为(　B　)
A．mg
B．mgsin
θ
C．mgcosθ
D．mgsin
2
θ
解析：首先计算物体滑至斜面底端时的速度v.因为斜面是光滑的，因此物体在斜面上下滑的加速度a＝gsinθ，所以物体滑到斜面底端的速度为v＝＝＝，重力的瞬时功率为：P＝Fvsinθ＝mg·sinθ.
二、多项选择题
7．如图所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体的做功情况可能是(　ACD　)
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
解析：设传送带速度大小为v1，物体刚滑上传送带时的速度大小为v2.分以下三种情况讨论：①当v1＝v2时，物体随传送带一起匀速运动，传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功，A选项正确．②当v1v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动直到速度达到v1再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功，C选项正确．
8．质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度—时间图像如图所示．从t1时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则(　BC　)
A．0～t1时间内，汽车的牵引力等于m
B．t1～t2时间内，汽车的功率等于(m＋Ff)v1
C．汽车运动的最大速度v2＝v1
D．t1～t2时间内，汽车的平均速度小于
解析：0～t1时间内，汽车的加速度a＝，
由牛顿第二定律得：F－Ff＝ma，
所以汽车的牵引力F＝Ff＋m，A错；
t1时刻汽车达恒定功率P，
所以P＝Fv1＝v1，B对；
汽车运动的最大速度v2＝＝v1，C对；
由图像知t1～t2时间内，汽车的平均速度大于，D错．
9．如图所示，在外力作用下某质点运动的v－t图像为正弦曲线．从图中可以判断(　AD　)
A．在0～t1时间内，外力做正功
B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大
C．在t2时刻，外力的功率最大
D．在t1～t3时间内，外力做的总功为零
解析：由v－t图像可知：在0～t1时间内外力做正功．由P＝Fv可知：在F变小，v变大情况下，无法判定P如何变化．t2时刻v＝0，故外力瞬时功率为0.t1～t3时间内，位移为0，故外力做的总功为0.
三、非选择题
10．如图所示，足够长水平传送带以2
m/s的速度匀速运行，将一质量为2
kg的工件沿竖直向下的方向轻轻放在传送带上(设传送带的速度不变)，如工件与传送带之间的动摩擦因数为0.2，则放手后工件在5
s内的位移是多少？摩擦力对工件做功为多少？(g取10
m/s2)
答案：9
m　4
J
解析：工件放在传送带上瞬间，工件所受合外力为工件所受到的摩擦力，所以工件的加速度为：a＝μg＝0.2×10
m/s2＝2
m/s2，经过t＝＝1
s工件的速度与传送带速度相同，以后工件就随传送带一起做匀速直线运动，所以工件在5
s内的位移是l＝×2×1
m＋2×4
m＝1
m＋8
m＝9
m，工件在1
s内的位移s1＝at2＝1
m，Wf＝μmgs1＝0.2×2×10×1
J＝4
J.
11．跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0
s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50
kg.不计空气阻力，取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，g＝10
m/s2.求：
(1)运动员从O点飞出的速度大小；
(2)运动员离斜坡距离最远时重力的瞬时功率．
答案：(1)20
m/s　(2)7
500
W
解析：(1)根据平抛运动规律，有
竖直高度：h＝gt2＝×10×32
m＝45
m
水平距离：x＝＝
m＝60
m
根据x＝v0t，解得v0＝20
m/s
(2)运动员离斜坡距离最远时，速度平行于斜面，则此时竖直分速度：
vy＝v0tan37°＝20×
m/s＝15
m/s
此时重力的瞬时功率：
PG＝mgvy＝50×10×15
W＝7
500
W
12．2019年动力冲浪板中国公开赛(世界杯中国站)暨黄石首届水上嘉年华于6月21日在黄石拉开帷幕．滑板运动是一项非常刺激的水上运动，研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力FN垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54
kg/m，人和滑板的总质量为108
kg，试求(重力加速度g取10
m/s2，sin37°取，忽略空气阻力)：
(1)水平牵引力的大小；
(2)滑板的速率；
(3)水平牵引力的功率．
答案：(1)810
N　(2)5
m/s　(3)4
050
W
解析：(1)以滑板和运动员为研究对象，其受力如图所示．
由共点力平衡条件可得
FNcosθ＝mg，　①
FNsinθ＝F，　②
由①、②联立，得F＝810
N.
(2)FN＝mg/cosθ，FN＝kv2，得v＝＝5
m/s.
(3)水平牵引力的功率P＝Fv＝4
050
W.
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7重力势能
限时：45分钟
一、单项选择题
1．如图所示，演员正在进行杂技表演．由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于(　A　)
A．0.3
J
B．3
J
C．30
J
D．300
J
解析：根据生活常识，20个鸡蛋大约1
kg，表演者抛出的高度按0.5
m计算，则抛出过程中对鸡蛋做的功为W＝mgh＝×10×0.5
J＝0.25
J，选项A正确．
2．利用潮汐可以发电，某海湾围海面积S，涨潮与落潮水位差为h，海水密度为ρ，每次潮汐可以发电的海水势能为(　D　)
A．ρSh2
B.
C．ρSh2g
D.
解析：海水势能中的Δh为，即Ep＝mgΔh＝.
3．物体从某高度处做自由落体运动，以地面为重力势能零点，下列所示图像中，能正确描述物体的重力势能与下落高度的关系的是(　B　)
解析：设物体开始下落时的重力势能为Ep0，物体下落高度h过程中重力势能减少量ΔEp＝mgh，故物体下落高度h时的重力势能Ep＝Ep0－ΔEp＝Ep0－mgh，即Ep－h图像为倾斜直线，B正确．
4．一实心铁球和一实心木球质量相等，将它们放在同一水平面上(设该水平面处势能为零)，下列结论正确的是(　C　)
A．铁球的重力势能大于木球的重力势能
B．铁球的重力势能等于木球的重力势能
C．铁球的重力势能小于木球的重力势能
D．上述三种情况都有可能
解析：由于铁球的密度比木球的密度大，所以质量相等的木球的体积较大，放在同一水平面上时，木球的重心高，因此，木球的重力势能大于铁球的重力势能，故C选项正确．
二、多项选择题
5．关于重力势能与重力做功，下列说法中正确的是(　AB　)
A．物体克服重力做的功等于重力势能的增加量
B．重力势能增加了2
J，其重力一定做了－2
J的功
C．零势能面选取不同，重力势能及重力势能的变化都会发生变化
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力做的功与物体重力势能增量之和
解析：根据WG＝Ep1－Ep2知，物体克服重力做的功等于重力势能增加量，A项正确；重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，B项正确；重力势能的变化与物体受到的重力及初末位置的高度差有关，与零势能面的选取无关，C项错误；用手托住物体匀速上升时，手的支持力等于物体的重力，手的支持力做的功等于物体克服重力做的功，也等于物体重力势能的增加量，D项错误．
6．竖直上抛一个小球，从抛出到落回原抛出点的过程中，它的速度、重力势能、位移、加速度随时间变化的函数图像(如图所示)中正确的是(不计空气阻力，以竖直向下为正方向，图中曲线为抛物线，抛出点为零势能点)
(　ABC　)
解析：以竖直向下为正方向，则初速度为负值最大，重力加速度为正，小球匀减速运动到最高点速度为零，然后反向加速运动，因而A正确；因为抛出点为零势能点，所以重力势能最初为零，上升过程重力势能增大，下落过程则减小，回到原点变为零，因而B正确；因为位移始终在抛出点上方，所以一直为负值，C选项也正确；加速度竖直向下，为正值，因而D错误．
7．质量为m的物体，由静止开始下落，由于空气阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是(　ACD　)
A．物体重力做的功为mgh
B．物体所受阻力做功为
C．物体重力势能减少了mgh
D．物体克服阻力所做的功为
解析：因物体的加速度为g，由牛顿第二定律可知，mg－Ff＝ma解得空气阻力Ff＝mg.重力做功WG＝mgh，阻力做功Wf＝－，A、D对，B错；重力做功与重力势能变化的关系WG＝－ΔEp，重力做正功，故重力势能减小mgh，C正确．
三、非选择题
8．如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能减少了多少？重力做功为多少？
答案：mgl　mgl
解析：从A点运动到C点，小球下落h＝l，
故重力做功WG＝mgh＝mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl
负号表示小球的重力势能减少了．
9．某海湾共占面积1.0×107
m2，涨潮时水深20
m，此时关上水坝闸门，可使水位保持20
m不变；退潮时，坝外水位降至18
m也保持不变，假如利用此水坝建水电站，且重力势能转变为电能的效率是10%，每天有两次涨潮，问该电站一天最多能发出多少电能？(g取10
m/s2，假设只有退潮时发电)
答案：4×1010
J
解析：关上水坝闸门，退潮后，坝内水位比坝外高出2
m，如下图所示，发电时高出部分的水通过发电机流向坝外，最终水位从20
m降至18
m，减少的重力势能的一部分转化为电能．由ΔEp＝mgΔh可以算出减少的重力势能．从而就能算出所发电能．
设海湾面积为S，则打开闸门流过发电站的水的体积最多为hS，h为水面高度差，水的质量为m＝ρV＝ρhS，重力势能的减少量为ΔEp＝mg·＝ρSh2g.
一天最多发出电能为E＝2×ΔEp×10%＝0.2×ρSh2g＝0.2××1.0×103×1.0×107×22×10
J＝4×1010
J.
10．质量是100
g的球从1.8
m的高处落到水平板上，又弹回到1.25
m的高度，在整个过程中重力对球所做的功为多少？球的重力势能变化了多少？
答案：0.539
J　重力势能减少了0.539
J
解析：由重力做功的特点可知，此时重力所做的功为
WG＝mgH＝mg(h1－h2)＝0.1×9.8×(1.8－1.25)
J＝0.539
J.
由重力做功与重力势能的变化之间的关系可知，此时重力做正功，重力势能应减少，且减少量ΔEp＝WG＝0.539
J.
11．如图所示，杆中点有一转轴O，两端分别固定质量为2m、m的小球a和b，当杆从水平位置转到竖直位置时，小球a和b构成的系统的重力势能如何变化，变化了多少？
答案：小球a和b构成的系统重力势能减少，且减少了mgL
解析：重力对小球a做的功为W1＝2m·g·L，
重力对小球b做的功为W2＝－mgL，
则重力对由a、b组成的系统所做的总功为
WG＝W1＋W2＝2mgL＋(－mgL)＝mgL.
因为WG>0，所以系统的重力势能减少，且减少了mgL.
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5动能和动能定理
限时：45分钟
一、单项选择题
1．关于动能的概念，下列说法中正确的是(　A　)
A．物体由于运动具有的能，叫做动能
B．运动物体具有的能，叫做动能
C．运动物体的质量越大，其动能一定越大
D．速度较大的物体，具有的动能一定较大
解析：动能是指物体由于运动而能够做功具有的能量，而运动物体具有的能量并不一定都是动能，例如，空中飞行的飞机，这个运动中的飞机所具有的能不能都叫做动能，在高空中它还具有重力势能，故A是正确的，B是错误的；影响动能多少的因素有质量和速度，物体的质量越大，速度越大，动能就越大．一切运动的物体都具有动能，但不能说一切有质量的物体都具有动能，所以C选项是错误的；子弹比飞机飞得快，但动能不比飞机大，是因为质量太小，故D选项也是错误的．动能是由物体的质量和速度共同决定的，但物体具有的能量不仅仅是动能．在推导动能定理时用到了牛顿第二定律，而牛顿第二定律只适用于惯性参考系，所以动能定理也只适用于惯性参考系．
2．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是
(　C　)
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
解析：物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A错；速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C对，B、D错．
3．某人把质量为0.1
kg的一块小石头，从距地面为5
m的高处以60°角斜向上抛出，抛出时的初速度大小为10
m/s，则当石头着地时，其速度大小约为(g取10
m/s2，不计空气阻力)(　A　)
A．14
m/s
B．12
m/s
C．28
m/s
D．20
m/s
解析：由动能定理，重力对物体所做的功等于物体动能的变化，则mgh＝mv－mv，v2＝＝10
m/s，A对．
4．如图所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为(　D　)
A.μmgR
B.mgR
C．－mgR
D．(1－μ)mgR
解析：物体从A运动到B所受的弹力要发生变化，摩擦力大小也要随之变化，所以克服摩擦力所做的功，不能直接由做功的公式求得．而在BC段克服摩擦力所做的功，可直接求得．对从A到C全过程运用动能定理即可求出物体在AB段克服摩擦力所做的功．设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理，有mgR－WAB－μmgR＝0.
所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.
二、多项选择题
5．质量为m的物体A，放在质量M的斜劈B上，劈的倾角为θ，放在光滑水平面上．用水平恒力F拉B，使A、B由静止开始一起向右运动一段位移L，如图所示，运动中A相对于B始终静止不动，则(　ABD
　)
A．恒力F做的功为FL
B．物体B对物体A做的功为L
C．物体A所受支持力做的功为0
D．物体A受到的静摩擦力所做的功大于mgLsinθ·cosθ
解析：根据恒力功的计算公式可知，恒力F做的功为FL，选项A正确；对整体由动能定理得：
FL＝(M＋m)v2；对A由动能定理得W＝mv2，联立解得W＝，选项B正确；物体A所受支持力与位移的夹角大于90°，可知支持力做负功，选项C错误；物体A随斜劈向右一起加速运动，则物体A与斜面的静摩擦力f>mgsinθ，则物体A受到的静摩擦力所做的功Wf＝fLcosθ>mgLsinθ·cosθ，选项D正确．
6．如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s，若木块对子弹的阻力F视为恒定，则下列关系式中正确的是(　ACD　)
A．FL＝Mv2
B．Fs＝mv2
C．Fs＝mv－(M＋m)v2
D．F(L＋s)＝mv－mv2
解析：根据动能定理，对子弹：－F(L＋s)＝mv2－mv知，选项D正确；对木块：FL＝Mv2，故A正确；由以上二式相加后整理可得Fs＝mv－(M＋m)v2，C正确．在应用动能定理列式计算时，一定要注意功与动能变化的对应关系，不能张冠李戴，同时功的公式中的位移必须是对地位移．如对子弹用动能定理时，求功的公式中的位移必须是子弹的对地位移L＋s，对应的是子弹动能的变化；而对木块用动能定理时，位移应是木块对地位移L，对应的是木块动能的变化．
7．如图甲所示，为测定物体冲上粗糙斜面能达到的最大位移x与斜面倾角θ的关系，将某一物体每次以不变的初速度v0沿足够长的斜面向上推出，调节斜面与水平方向的夹角θ，实验测得x与斜面倾角θ的关系如图乙所示，g取10
m/s2，根据图像可求出(　BC　)
A．物体的初速率v0＝3
m/s
B．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.75
C．取不同的倾角θ，物体在斜面上能达到的最大位移x的最小值xmin＝1.44
m
D．当某次θ＝30°时，物体达到最大位移后将沿斜面下滑
解析：由题图乙可知，当倾角θ＝0°时，位移为2.40
m；而当倾角为90°时，位移为1.80
m，则由竖直上抛运动规律可得v＝2gh，解得v0＝＝
m/s＝6
m/s，故A错误；当倾角为0°时，由动能定理可得μmgx＝mv，解得μ＝＝0.75，故B正确；由动能定理得－mgxsinθ－μmgxcosθ＝0－mv，解得x＝＝
m＝
m，当θ＋α＝90°时，sin(θ＋α)＝1，此时位移最小，x＝1.44
m，故C正确；若θ＝30°时，物体受到的重力沿斜面方向的分力为mgsin30°＝mg，摩擦力f＝μmgcos30°＝0.75×mg×＝mg，一般认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，故物体达到最高点后不会下滑，故D错误．
三、非选择题
8．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点衔接，导轨半径为R，一个质量为m的物块以某一速度向右运动，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，而后向上运动恰能完成半圆周运动到C点，求物块从B到C点克服阻力所做的功？
答案：mgR
解析：物块运动到B点，
由于其对导轨的压力为其重力的7倍，
故有：7mg－mg＝m，
B点物体的动能为EkB＝mv＝3mgR，
物块恰好过C点有：mg＝m，
C点的动能EkC＝mgR.
设物块克服阻力做功为Wf，物块从B点到C点运用动能定理有：－mg·2R－Wf＝EkC－EkB＝－mgR，
故物块从B点到C点克服阻力所做的功Wf＝mgR.
9．完全由我国自行设计、建造的国产新型航空母舰已完成多次海试，并取得成功．航母上的舰载机采用滑跃式起飞，故甲板是由水平甲板和上翘甲板两部分构成，如图1所示．为了便于研究舰载机的起飞过程，假设上翘甲板BC是与水平甲板AB相切的一段圆弧，示意如图2，AB长L1＝150
m，BC水平投影L2＝63
m，图中C点切线方向与水平方向的夹角θ＝12°(sin
12°≈0.21)．若舰载机从A点由静止开始做匀加速直线运动，经t＝6
s到达B点进入BC.已知飞行员的质量m＝60
kg，g＝10
m/s2，求：
图1
　
图2
(1)舰载机水平运动的过程中，飞行员受到的水平力所做功W；
(2)舰载机刚进入BC时，飞行员受到竖直向上的压力FN多大．
答案：(1)7.5×104
J　(2)1.1×103
N
解析：(1)舰载机由静止开始做匀加速直线运动，设其刚进入上翘甲板时的速度为v，则有＝①
根据动能定理，有
W＝mv2－0②
联立①②式，代入数据，得
W＝7.5×104
J．③
(2)设上翘甲板所对应的圆弧半径为R，根据几何关系，有
L2＝Rsin
θ④
由牛顿第二定律，有
FN－mg＝m⑤
联立①④⑤式，代入数据，得
FN≈1.1×103
N．⑥
10．如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中
AB
是长为R的水平直轨道，BCD
是圆心为O、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，一小球从A点在水平外力
F作用下开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度大小为g，求：
(1)小球在
C
点的速度大小；
(2)小球在
B
点对轨道的压力大小；
(3)F
的大小．
答案：(1)　(2)6mg　(3)2.5mg
解析：(1)小滑块恰好通过最高点，则有：mg＝
解得：
vC＝
(2)从B到C的过程中运用动能定理得：
mv＋mg·2R＝mv
解得：
vB＝
在B点，则有：FB－mg＝m
由牛顿第三定律得：球在B点对轨道的压力
FN＝FB
由以上式子解得：
FN＝6mg
(3)从A运动到B，根据位移速度公式得：2aR＝v
解得：a＝g
则F＝ma＝2.5mg.
11．如图所示，水平地面的B点右侧有一圆形挡板．圆的半径R＝4
m，B为圆心，BC连线与竖直方向夹角为37°.滑块静止在水平地面上的A点，AB间距L＝4.5
m．现用水平拉力F＝18
N沿AB方向拉滑块，持续作用一段距离后撤去，滑块恰好落在圆形挡板的C点，已知滑块质量m＝2
kg，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，取g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos37°＝0.8.求拉力F作用的距离．
答案：2.5
m
解析：滑块离开B点后做平抛运动，设其速度为v2
水平方向：v2t＝Rsin37°
竖直方向：gt2＝Rcos37°
设在水平面拉力F作用的距离为x，根据动能定理有
Fx－μmgL＝mv－0
带入数据计算得x＝2.5
m.
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7机械能守恒定律
限时：45分钟
一、单项选择题
1．一个人站在阳台上，以相同的速率v0分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出．不计空气阻力，则三球落地时的速度(　D　)
A．上抛球最大
B．下抛球最大
C．平抛球最大
D．三球一样大
解析：在物体做抛体运动的过程中机械能守恒，得mv＋mgh＝mv，得v1＝，所以三球落地时的速度大小相同，D选项正确．
2．如图所示，B物体的质量是A物体质量的，在不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高处由静止开始下落．以地面为参考平面，当物体A的动能与其重力势能相等时，物体A距地面的高度为(　B　)
A.H
B.H
C.H
D.H
解析：设物体A的动能等于其重力势能时，A离地面的高度为h，A和B的共同速率为v，A的质量mA＝2m，B的质量mB＝m.在运动过程中，A、B系统的机械能守恒，有2mg(H－h)＝×2mv2＋mv2，又×2mv2＝2mgh，联立解得h＝H.故选项B正确．
3．如图，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块(　C　)
A．最大速度相同
B．最大加速度相同
C．上升的最大高度不同
D．重力势能的变化量不同
解析：当加速度等于零时，物块速度最大，由kx＝mgsinθ得，两物块质量不同，速度最大的位置不同，最大速度也不同，所以A错误；弹簧刚释放时，加速度最大，由牛顿第二定律kx－mgsinθ＝ma可得，加速度不同，B错误；由能量守恒可知，弹簧的弹性势能转化为物块上升到最高点的重力势能，所以，重力势能的变化量相同，D错误；而物块的质量不同，由ΔEp＝mgh可得，上升的最大高度不同，C正确．
4．如图所示是半径为r的竖直光滑圆形轨道，将一玩具小车放到与轨道圆心O处于同一水平面的A点，并给小车一竖直向下的初速度，使小车沿轨道内侧做圆周运动．要使小车不脱离轨道，则在A处使小车获得竖直向下的最小初速度应为(　C　)
A.
B.
C.
D.
解析：小车恰好不脱离轨道的条件是在最高点满足mg＝m.小车沿轨道内侧做圆周运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒．设小车在A处获得的最小初速度为vA，由机械能守恒定律得mv＝mgr＋mv2，解得vA＝.故选项C正确．
5．有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止．由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为(　D　)
A.
B.
C.
D.
解析：由运动的合成与分解可知滑块A和B在绳长方向的速度大小相等，有vAsin60°＝vBcos
60°，解得vA＝v，将滑块AB看成一系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝mv＋mv，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为L＝2h＝，故选项D正确．
6.从地面竖直向上抛出一物体，物体在运动过程中除受到重力外，还受到一大小不变、方向始终与运动方向相反的外力作用．距地面高度h在3
m以内时，物体上升、下落过程中动能Ek随h的变化如图所示．重力加速度取10
m/s2.该物体的质量为(　C　)
A．2
kg
B．1.5
kg
C．1
kg
D．0.5
kg
解析：画出运动示意图，设阻力为f，据动能定理知
A→B(上升过程)：EkB－EkA＝－(mg＋f)h
C→D(下落过程)：EkD－EkC＝(mg－f)h
整理以上两式得：mgh＝30
J，解得物体的质量m＝1
kg.
选项C正确．
二、多项选择题
7．在下列几个实例中，机械能守恒的是(　BC　)
A．在平衡力作用下运动的物体
B．在光滑水平面上被细线拴住做匀速圆周运动的小球
C．如图甲所示物体沿固定光滑圆弧面下滑
D．如图乙所示，在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球
解析：在平衡力作用下物体的运动是匀速运动，动能保持不变，但如果物体的势能发生变化，则机械能变化，A错；在光滑水平面上做匀速圆周运动的小球，其动能不变，势能也不变，总的机械能不变，B正确；物体沿固定光滑曲面下滑，在下滑过程中，只有重力做功，所以物体机械能守恒，C正确；在小球压缩弹簧的过程中，小球动能减少、势能不变，所以机械能不守恒(但球和弹簧组成的系统机械能守恒)，D错．
8．从高台上分别以大小相同的初速度竖直向上和沿水平方向抛出两个质量相同的小球，不计空气阻力，那么(　BCD　)
A．两球落地时速度相同
B．两球落地时动能相同
C．两球落地时机械能相同
D．两球落地时速率相同
解析：由题意知，两球开始运动时的机械能相同，且运动过程中机械能守恒，因此落地时机械能相同，动能相同，速度大小相同，但速度方向不同．故选项B、C、D正确．
三、非选择题
9．如图所示，一粗细均匀的U形管内装有同种液体竖直放置，右管口用盖板A密闭一部分气体，左管口开口，两液面高度差为h，U形管中液柱总长为4h，现拿去盖板，液柱开始流动，当两侧液面恰好相齐时右侧液面下降的速度大小为　　.
解析：两液面相平时，相当于右边管中高的液柱被转移到了左管液面上方，设单位长度液柱的质量为ρ，由机械能守恒得ρ·g＝ρ·4hv2，即v＝.
10．如图所示，物体A质量为2m，物体B质量为m，通过轻绳跨过定滑轮相连．斜面光滑，且与水平面成θ＝30°，不计绳子和滑轮之间的摩擦．开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，A、B两物体均静止．撤去手后，求：
(1)A物体将要落地时的速度多大；
(2)A物落地后，B物由于惯性将继续沿斜面上升，则B物在斜面上的最远点离地的高度多大．
答案：(1)　(2)h
解析：(1)由题知，物体A质量为2m，物体B质量为m，A、B两物体构成的整体(系统)只有重力做功，故整体的机械能守恒，得：
mAgh－mBghsinθ＝(mA＋mB)v2
将mA＝2m，mB＝m代入解得：v＝.(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松了，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地高度为H，
根据机械能守恒定律得：mBv2＝mBg(H－hsinθ)
整理得：H＝h.
11．如图所示，质量为m＝2
kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处．将弹簧拉至水平面位置A处，且弹簧处于自然状态，由静止释放，小球到达距O点下方h＝0.5
m处的B点时速度为v＝2
m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧的弹力做的功．(g取10
m/s2)
答案：－6
J
解析：小球在由A至B的过程中，只受重力和弹力作用，故系统的机械能守恒．以B点为重力势能的参考平面，则在初状态A，系统的动能Ek1＝0，
重力势能Ep1＝mgh，
机械能E1＝Ek1＋Ep1＝mgh，
在末状态B，系统的动能Ek2＝，
设(弹性)势能为Ep2，机械能为
E2＝Ek2＋Ep2＝＋Ep2，
对系统在运动过程的初、末状态，由机械能守恒定律有
mgh＝＋Ep2，
所以Ep2＝mgh－＝2×10×0.5
J－
J＝6
J.
因为弹性势能增加，弹簧的弹力做负功，故弹簧的弹力做的功为－6
J.
12．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求小物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求小物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．
答案：R≤h≤5R
解析：设小物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得mgh＝2mgR＋mv2①
小物块在最高点受到的重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋FN＝m，②
小物块能通过最高点的条件是FN≥0，③
由②③式得v≥，④
由①④式得h≥R，⑤
按题目要求，FN≤5mg，由②式得v≤，⑥
由①⑥式得h≤5R，
所以高度h的取值范围是R≤h≤5R.
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7实验：验证机械能守恒定律
限时：45分钟
一、单项选择题
1．利用如图所示装置进行验证机械能守恒定律的实验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h，某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案，其中最合理的是(　D　)
A．用刻度尺测出物体下落高度h，并测出下落时间t，通过v＝gt计算出瞬时速度v
B．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v＝计算出瞬时速度
C．根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度，并通过h＝计算出高度h
D．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度，等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v
解析：选项A、B、C中用匀变速直线运动公式求v及h，这样得到的v、h不是实验直接测量数据，不能达到验证机械能守恒定律的目的．
2．在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列说法正确的是(　D　)
A．实验中不需要天平和刻度尺
B．实验时应先放开纸带，再接通电源
C．打点计时器应接在电压为4～6
V的直流电源上
D．测量下落高度时，选取的各点应距起始点适当远一些
解析：实验中不需要测量物体的质量，因此不需要天平，但需要测量纸带上计数点之间的距离，因此需要刻度尺，选项A错误；实验时应先接通电源，后放开纸带，选项B错误；打点计时器应接在交流电源上，选项C错误；为减小偶然误差，选取的各点应距起始点适当远一些，选项D正确．
3．在研究重物自由下落过程中机械能守恒的实验中，得到如图所示的一条纸带，该纸带上最初打出的几个点不清楚，纸带上留下的是后面的一些点．算出打下B、C两点时重物的速度分别是vB、vC，测得B、C两点间的距离为h，那么验证机械能守恒的表达式可写为(　B　)
A．gh＝v－v
B．gh＝v－v
C．vC＝vB＋gT
D．v＋v＝2gh
解析：从B运动到C的过程中，重力势能的减少量为ΔEp＝mgh，动能的增加量为ΔEk＝mv－mv，所以验证机械能守恒的表达式为mgh＝mv－mv，即gh＝v－v，选项B正确．
4．在利用打点计时器和重物做“验证机械能守恒定律”的实验时，下列说法正确的是(　C　)
A．重物的质量必须测出才能完成验证实验
B．选取纸带时必须挑选第一、二两点间距离接近2
mm的纸带
C．处理数据时可以避开纸带上初始时较密集的几点，选择后面合适的两点进行测算与验证
D．利用图像法处理实验数据时，应在坐标系中画出v－h图像
解析：由“验证机械能守恒定律”的实验原理及数据处理方法可知，选项C正确．
5．在做“验证机械能守恒定律”的实验时，发现重物减少的重力势能总是略大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是(　C　)
A．选用的重物质量过大
B．选用的重物质量过小
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力
D．实验时操作不规范，实验数据测量不准确
解析：造成题中所述误差的主要原因是来自于各方面的阻力，选项C正确．
二、多项选择题
6．在“验证机械能守恒定律”的实验中，有关重物的质量，下列说法中正确的是(　AC　)
A．应选用质量较大的重物，使重物和纸带所受的重力远大于它们所受的阻力
B．应选用质量较小的重物，使重物的惯性小一些，下落时更接近于自由落体运动
C．不需要称量重物的质量
D．必须称量重物的质量，而且要估读到0.01
g
解析：本实验的原理是利用重物自由下落验证机械能守恒定律，因此重物的质量应取得大一些，使重物和纸带所受的阻力与重物所受的重力相比可以忽略不计，从而保证重物和纸带做自由落体运动，选项A正确，B错误；重物下落过程中机械能守恒，设重物的质量为m，下落距离h时的速度为v，则有mv2＝mgh，故有v2＝2gh，分别计算对应的v2和2gh，即可验证机械能守恒定律是否成立，不需要测量重物的质量，故选项C正确，D错误．
7．用自由落体运动“验证机械能守恒定律”，就是看mv是否等于mghn，计数点的编号为0、1、2、…、n.下列说法中正确的是(　AB　)
A．打点计时器打第一个点0时，物体的速度应为零
B．hn是计数点n到计数点0的距离
C．m为重物的质量，需用天平称量
D．用vn＝gtn计算vn时，tn＝nT(T为打点周期)
解析：本实验的原理就是利用重物做自由落体运动来验证机械能守恒定律，因此打点计时器所打的第一个点，对应的速度应为零，选项A正确；hn与vn分别表示打第n点时重物下落的高度和对应的瞬时速度，选项B正确；本实验中，不需要测量重物的质量，因为mgh＝mv2中等号两边都有m，可约去，故只要gh＝成立，机械能守恒定律就被验证了，选项C错误；计算速度时不能用v＝gt或v＝，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒定律的错误，选项D错误．
8．某研究性学习小组做完教材中规定的实验后，又根据所测得的数据用数据处理软件Excel拟合出各种图像．假设该小组一切操作均很规范，则下列图像中可能正确的是(其中h表示物体下落的高度，H表示物体离地面的高度)(　ABD　)
解析：当物体下落高度为h时，动能为mv2＝mgh，得v2∝h，故选项A正确；设物体开始下落时离地面的高度为H0，当物体下落高度为h时有mv2＝mgh＝mg(H0－H)，得v2＝2gH0－2gH，故选项B正确；由于阻力的存在，实验中机械能随着下落高度的增加应略有减小，因此gH＋＝也随着下落高度的增加而略有减小，选项C错误，D正确．
三、非选择题
9．我国舰载飞机在“辽宁舰”上成功着舰后，某课外活动小组对舰载飞机利用阻拦索着舰的力学问题很感兴趣．他们找来了木板、钢球、铁钉、橡皮条以及墨水，制作了如图所示的装置，准备定量研究钢球在橡皮条阻拦下前进的距离与被阻拦前速率的关系．要达到实验目的，需直接测量的物理量是钢球由静止释放时的__高度(距水平木板的高度)__和在橡皮条阻拦下前进的距离，还必须增加的一种实验器材是__刻度尺__．忽略钢球所受的摩擦力和空气阻力，重力加速度已知，根据__机械能守恒(动能)__定律(定理)，可得到钢球被阻拦前的速率．
解析：本题用实验情景考查机械能守恒定律．
设钢球释放点距水平木板的高度为h，由机械能守恒定律(或动能定理)得
mgh＝mv2　v＝
要求钢球被阻拦前的速度v，只要知道h，因此需再加的实验器材是刻度尺，用以测量h.
10．某实验小组利用如图所示的实验装置来验证钩码和滑块所组成的系统机械能守恒．
(1)实验前需要调整气垫导轨底座使之水平，利用现有器材如何判断导轨是否水平？__气源工作后，滑块不挂钩码，静止放在气垫导轨上，如果能处于静止状态说明气垫导轨水平__．
(2)测得遮光条的宽度d＝0.50
cm.实验时将滑块从图示位置由静止释放，由数字计时器读出遮光条通过光电门的时间Δt＝2.0×10－2
s，则滑块经过光电门时的瞬时速度为__0.25__m/s.在本次实验中还需要测量的物理量有：钩码的质量m、__滑块质量M__和__滑块到光电门的距离L__(文字说明并用相应的字母表示)．
(3)本实验通过比较__mgL__和　(m＋M)()2　在实验误差允许的范围内相等，从而验证了系统的机械能守恒(用测量的物理量符号表示)．
解析：(1)气源工作后，滑块不挂钩码，静止放在气垫导轨上，如果能处于静止状态说明气垫导轨水平．
(2)滑块通过光电门的瞬时速度v＝＝m/s＝0.25
m/s.
本次实验中还需测量的物理量有钩码的质量m、滑块的质量M、滑块到光电门的距离L.
(3)如果系统重力势能的减少量mgL与系统动能的增加量(m＋M)v2＝(m＋M)()2在误差允许的范围内相等，则验证了系统的机械能守恒．
11．用如图所示的实验装置验证质量分别为m1、m2的物体组成的系统机械能守恒．物体m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量来验证机械能是否守恒．如图所示是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点未画出，计数点间的距离如图所示．已知m1＝50
g，m2＝150
g．(g取10
m/s2，结果保留两位有效数字)
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件
B．将打点计时器接到直流电源上
C．先释放m2，再接通电源打出一条纸带
D．测量纸带上某些点间的距离
E．根据测量的结果，分别计算系统减少的重力势能和增加的动能
其中操作不当的步骤是：__BC__(填选项对应的字母)．
(2)在纸带上打下计数点5时的速度v＝__2.4__m/s.
(3)在打点0～5过程中系统动能的增量ΔEk＝__0.58__J，系统重力势能的减少量ΔEp＝__0.60__J，由此得出的结论是__在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统机械能守恒__．
(4)若某同学作出v2－h图像如图所示，写出计算当地重力加速度g的表达式：　g＝v2　，并计算出当地的实际重力加速度g＝__9.7__m/s2.
解析：(1)实验过程中，应将打点计时器接到交流电源上，B错误；应先接通电源，待打点计时器工作稳定后再释放m2，C错误．
(2)在纸带上打下计数点5时的速度为
v＝×10－2
m/s＝2.4
m/s.
(3)ΔEk＝(m1＋m2)v2≈0.58
J，系统重力势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh＝0.60
J，因此可得出：在误差允许的范围内，m1、m2组成的系统机械能守恒．
(4)因为(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh，整理得g＝v2，整理也可得到v2＝h，所以v2－h图像的斜率为＝g，即＝
m/s2，解得g＝9.7
m/s2.
12．利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图所示．
(1)实验步骤：
①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1
m，将导轨调至水平．
②用游标卡尺测量挡光条的宽度l，结果如图所示，由此读出l＝__9.30__mm.
③由导轨标尺读出两光电门中心之间的距离s＝__60.00(59.96～60.04之间均可)__cm.
④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2.
⑤从数字计时器(实验装置图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2.
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m.
(2)用表示直接测量量的字母写出下列所求物理量的表达式：
①滑块通过光电门1和光电门2时瞬时速度分别为v1＝　　和v2＝　　.
②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝　(M＋m)2　和Ek2＝
　(M＋m)2　.
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统重力势能的减少量ΔEp＝__mgs__(重力加速度为g)．
(3)如果ΔEp≈__Ek2－Ek1__，则可认为验证了机械能守恒定律．
解析：(1)从游标卡尺和导轨标尺上可直接读出挡光条的宽度和两光电门中心之间的距离．
(2)由于挡光条宽度很小，因此可以将挡光条通过光电门时的平均速度当作瞬时速度，即由v＝可求出滑块通过光电门时的瞬时速度，而后根据动能的表达式、重力做功的表达式表示即可．
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