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第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
教学设计
一、教学目标
1.通过学习，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法，培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想，积累基本解题经验，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的层次.
2.能够利用一元二次不等式解决一切实际问题，提升数学建模的能力，达到数学建模和数学运算核心素养水平一的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
能借助一元二次函数求解一元二次不等试.
2.教学难点
理解三个“二次”之间的关系.
三、教学过程
（一）探究一：一元二次不等式
一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，.
探究二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的关系
一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点.
教师提问：求一般的一元二次不等式和的解集.
因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.
对于一元二次方程，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次函数的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此，分三种情况来讨论对应的一元二次不等式和的解集.如下表.
总结求解一元二次不等式的过程.
探究三：一元二次不等式的应用
例1.一个小型服装厂生产某种风衣，月产量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为，生产x件的成本元.
（1）该厂的月产量为多少时，每月获得的利润不少于1300元？
（2）当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
答案：（1）设该厂的月获利为y元，依题意得.
令，即，
，解得.
当月产量在20件至45件（包括20件和45件）之间时，月获利不少于1300元.
（2）由（1）知
.
为正整数，当或时，y取得最大值1612，
当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.
例2.
你能用一根长为100
m的绳子围成一个面积大于600
m2的矩形吗？
答案：设围成的矩形一边的长为m，则另一边的长为m，且
由题意，得围成矩形的面积，即，解得
所以，当矩形一边的长在的范围内取值时，能围成一个面积大于600
m2的矩形
例3.
某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元的价格销售，每月能卖400件，为获得更大的利润，商品准备提高销售价格，经实验发现，在每件销售价格的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件，价格提高多少时，才能获得最大利润？每月最大利润是多少？
答案：设每件商品提价x元，则每件商品的价格为元，
每件商品的利润为元，此时每月少售出商品件，
故每月可售出商品件，
设每月的利润为y元，则
，
所以当时，y有最大值4500.
故每件价格提高5元时，才能获得最大利润，每月的最大利润是4500元.
（二）课堂练习
1.关于x的方程有两个不等的实根,则m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.且
答案：D
解析：由且,得且,故选D.
2.若关于x的不等式的解集为，且，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：解法一：可化为.
且解集为，,，，解得.
解法二：由条件知为方程的两个根，则,，故,结合得.故选A.
3.已知二次函数的图像如图所示，则的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题图知的解集为.把的图像向右平移1个单位长度即得的图像，所以的解集为
.故选B.
4.已知二次不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：因为二次不等式的解集为或,
所以二次方程的根为,,
则所以,，
所以不等式即为,解得.
所以不等式的解集为.故选D.
（三）小结作业
小结：
一元二次不等式的定义；
二次函数与一元二次方程、不等式的解的关系；
一元二次不等式的应用.
作业：
四、板书设计
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
1.
一元二次不等式的定义；
2.
解一元二次不等式；
3.
一元二次不等式的应用.

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