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第三章
函数的概念与性质
3.1.1
函数的概念
教学设计
一、教学目标
1.通过具体教学实例，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用集合思想与对应的语言刻画函数概念，促进学生数学抽象核心素养的发展，达到水平二的要求.
2.能够指出现实情境问题中函数的定义域和值域，达到数学计算核心素养水平一的要求.
3.给出一个函数解析式，能够举出它所对应的问题情境，达到数学建模核心素养水平一的要求.
二、教学重难点
1.教学重点
函数的概念.
简单现实情境问题的定义域和值域.
2.教学难点
给定函数解析式，如何给出所对应的现实情境.
三、教学过程
（一）探究一：函数的概念
定义：一般地，设A
,
B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
常见函数的三要素：
一次函数：的定义域是R，值域也是R.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数.
二次函数：的定义域是R，值域是B.当a>0时，；当a<0时，.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.
反比例函数：的定义域为，对应关系为“倒数的k倍”，值域为.反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集中的任意一个x值，按照对应关系f：“倒数倍”，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么此时f：就是集合A到集合B的一个函数，记作
探究二：函数的应用
例1
函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.
例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).
如果对x的取值范围作出限制，例如,那么可以构建如下情境：
长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么y=x(10-x).
其中，x的取值范围是，y的取值范围是.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积x(10-x).
探究：构建其他可用解析式y=x(10-x)描述其中变量关系的问题情境.
答案：设两个实数的和为10，其中一个数为x，这两个数的积为y，则y=x(10-x)，其
中x的取值范围为A=R，y的取值范围为.对应关系f把A中任一x值对应B中唯一确定的x(10-x).
探究三：区间
定义：研究函数时常会用到区间的概念.设a，b是两个实数，而且a(1)
满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)
满足不等式a(3)
满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，外别表示为[a，b)，(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
这些区间的几何表示如下表所示.在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
实数集R可以用区间表示为,“”读作“无穷大”，“
”读作“负无穷大”，“
”读作“正无穷大”.
如下表，我们可以把满足的实数x的集合，用区间分别表示为
[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).
表示区间应注意的问题：
(1)关注“开”与“闭”，“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.
(2)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示.并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0,1,2}就不能用区间表示.
(3)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a称为区间(a,b)或[a,b]的长度.
(4)用“-∞”或“+∞”作为区间端点时，需用开区间符号.
探究四：函数的定义域
例1.已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求,的值.
答案：（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是，所以函数的定义域是.
（2）.
.
总结：
(1)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各式子都有意义的公共部分的集合.
求函数定义域的步骤：
①列不等式(组)：根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式(组)
②解不等式(组)：解出所列不等式或不等式组中每个不等式的解集后在求交集
③得定义域：把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式
(2)已知函数解析式求函数值，可将自变量的值代入解析式求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解.
探究五：相同函数
函数相同的条件：对应关系相同；定义域相同.
例1.判断下列各组中的两个函数是不是相同的函数.
（1）,;
（2）,.
答案：（1）的定义域为,而的定义域为两个函数的定义域不同，所以不是相同的函数.
（2）的定义域为,而的定义域为,两个函数的定义域不同，所以两个函数不是相同的函数.
（二）课堂练习
1.下列各图中，可表示函数的图象的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个变量x，都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中，当时，有两个y与x对应；B中，当时，有两个y与x对应；C中，当时，有两个y与x对应；D中，对任意x都只有唯一确定的y与之对应.故选D.
2.不等式的解集用区间表示为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由得，用区间表示为.故选D.
3.若周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为，由得，故这个函数的定义域是.故选D.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.函数的定义
3.函数三要素
4.区间
5.相同函数
作业：
四、板书设计
3.1.1函数的概念
1.函数的定义
2.函数三要素：定义域，对应关系，值域.
3.区间
4.相同函数：定义域，对应关系相同

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