资源简介

平面向量的运算
【第一课时】
向量的加法运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
平面向量加法的几何意义
理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义
数学抽象、直观想象
平行四边形法则
和三角形法则
掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，
会用它们解决实际问题
数学抽象、直观想象
平面向量加法的运算律
掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
2．向量加法的运算律有哪两个？
二、新知探究
探究点1：
平面向量的加法及其几何意义
例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．
解：法一：可先作a＋c，再作（a＋c）＋b，即a＋b＋c．如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，
则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，
则向量＝a＋b＋c为所求．
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
（2）作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
（3）再作向量＝c；
（4）作平行四边形CODE，
则＝＋c＝a＋b＋c．即为所求．
规律方法：
（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
（2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
探究点2：
平面向量的加法运算
例2：化简：
（1）＋；
（2）＋＋；
（3）＋＋＋＋．
解：（1）＋＝＋＝．
（2）＋＋
＝＋＋
＝（＋）＋
＝＋＝0．
（3）＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0．
规律方法：
向量加法运算中化简的两种方法
（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
探究点3：
向量加法的实际应用
例3：某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解：如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作?OACB，则此人的实际速度为＋＝．
由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
规律方法：
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
三、课堂总结
1．向量加法的定义及运算法则
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
法则
三角形法则
前提
已知非零向量a，b
作法
在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量
结论
向量叫做a与b的和，记作a＋b，
即a＋b＝＋＝
图形
法则
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量a，b
作法
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作?OACB
结论
对角线就是a与b的和
图形
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋00a＝a
2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
3．向量加法的运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
四、课堂检测
1．化简＋＋＋的结果等于（
）
A．
B．
C．
D．
解析：选B．＋＋＋＝＋0＝．
2．在四边形ABCD中，＝＋，则一定有（
）
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
解析：选D．由＝＋得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．
答案：13
4．已知?ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点（靠近D点），求作：
（1）＋；
（2）＋．
解：（1）延长AC，在延长线上截取CF＝AO，
则向量为所求．
（2）在AB上取点G，使AG＝AB，
则向量为所求．
【第二课时】
向量的减法运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
相反向量
理解相反向量的概念
数学抽象
向量的减法
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
数学抽象、直观想象
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？
2．向量减法的几何意义是什么？
二、新知探究
探究点1：
向量的减法运算
例1：化简下列各式：
（1）（＋）＋（－－）；
（2）－－．
解：（1）法一：原式＝＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝．
法二：原式＝＋＋＋
＝＋（＋）＋＝＋＋＝＋0
＝．
（2）法一：原式＝－＝．
法二：原式＝－（＋）＝－＝．
规律方法：
向量减法运算的常用方法
探究点2：
向量的减法及其几何意义
例2：如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．
解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC，
则＝b－c．
过点A作AD綊BC，连接OD，
则＝b－c，
所以＝＋＝a＋b－c．
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
连接OB，则＝a＋b，再作＝c，连接CB，
则＝a＋b－c．
法三：如图③，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，连接OB，
则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c．
规律方法：
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可．
（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
探究点3：
用已知向量表示其他向量
例3：如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，．
解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c．
规律方法：
用已知向量表示其他向量的三个关注点
（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
（2）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0．
三、课堂总结
1．相反向量
（1）定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．
（2）结论
①－（－a）＝a，a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
2．向量的减法
（1）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．
（2）作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量＝a－b，如图所示．
（3）几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
四、课堂检测
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于（
）
A．
B．
C．
D．
解析：选C．在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝．
2．化简：－＋－＋＝________．
解析：原式＝＋＋＋＝＋＋＝0＋＝．
答案：
3．已知＝10，||＝7，则||的取值范围为______．
解析：因为＝－，
所以||＝|－|．
又≤|－|≤||＋||，
3≤|－|≤17，
所以3≤||≤17．
答案：[3，17]
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：因为－＋－＝＋，－＝＝－．
又|－|＝|－＋－|，
所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
【第三课时】
向量的数乘运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
向量数乘运算的定义及运算律
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律
数学抽象、直观想象
向量共线定理
掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线
逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
二、新知探究
探究点1：
向量的线性运算
例1：（1）计算：
①4（a＋b）－3（a－b）－8a；
②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；
③．
（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋（2b－a）．
解：（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a
＝－7a＋7b．
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c
＝－a－c．
③原式＝
＝
＝a－b．
（2）原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－（3i＋2j）＋（2i－j）
＝i＋j
＝－i－5j．
规律方法：
向量线性运算的基本方法
（1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
探究点2：
向量共线定理及其应用
例2：已知非零向量e1，e2不共线．
（1）如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3（e1－e2），求证：A、B、D三点共线；
（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解：（1）证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2）＝5．
所以，共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
（2）因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），
则（k－λ）e1＝（λk－1）e2，
由于e1与e2不共线，只能有
所以k＝±1．
规律方法：
向量共线定理的应用
（1）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
（2）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
探究点3：
用已知向量表示其他向量
例3：如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
（1）＝________；
（2）＝________．
解析：因为∥，||＝2||，
所以＝2，＝．
（1）＝＋＝e2＋e1．
（2）＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2．
答案：（1）e2＋e1
（2）e1－e2
互动探究
变条件：在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量．
解：因为＝＋＋，
＝＋＋，
所以2＝（＋）＋＋＋（＋）．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以＋＝0，＋＝0．
所以2＝＋，
所以＝（－－）＝－e2－e1．
规律方法：
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
三、课堂总结
1．向量的数乘的定义
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
（1）λ（μa）＝（λμ）a．
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa．
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．
3．向量的线性运算及向量共线定理
（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b．
（2）向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
四、课堂检测
1．等于（
）
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：选B．原式＝（2a＋8b）－（4a－2b）＝a＋b－a＋b＝－a＋2b．
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝（
）
A．
B．
C．
D．
解析：选A．＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1．
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．
证明：因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
所以＝－＝e1－4e2．
又＝2e1－8e2＝2（e1－4e2），所以＝2，所以与共线．
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
【第四课时】
向量的数量积
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
向量的夹角
理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角
直观想象、数学运算
向量数量积的含义
理解平面向量数量积的含义并会计算
数学抽象、数学运算
投影向量
理解a在b上的投影向量的概念
数学抽象
向量数量积的性质和运算律
掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用
数学运算、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？
2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？
4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？
二、新知探究
探究点1：
平面向量的数量积运算
例1：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b）·（a＋3b）．
（2）如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
①·；②·．
解：（1）（a＋2b）·（a＋3b）
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．
（2）①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos0°＝3×3×1＝9．
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos120°
＝4×3×＝－6．
互动探究：
变问法：若本例（2）的条件不变，求·．
解：因为＝＋，＝－，
所以·＝（＋）·（－）
＝2－2＝9－16＝－7．
规律方法：
向量数量积的求法
（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
探究点2：
向量模的有关计算
例2：（1）已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝（
）
A．
B．2
C．4
D．12
（2）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝（
）
A．
B．
C．
D．
解析：（1）|a＋2b|＝＝
＝
＝＝2．
（2）由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝，即1＋|b|2－|b|＝，解得|b|＝．
答案：（1）B
（2）B
规律方法：
求向量的模的常见思路及方法
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
探究点3：
向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________；
（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为______．
解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2
＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72，
所以24cosθ＝36＋72－96＝12，
所以cosθ＝．
又因为θ∈，所以θ＝．
（2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθ＝．又因为|a|＝2|b|，
所以cosθ＝＝．
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．
答案：（1）
（2）
命题角度二：证明两向量垂直
例4：已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋tb）．
证明：因为|a＋tb|＝＝＝，
所以当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．
此时b·（a＋tb）＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2
＝a·b－a·b＝0．所以b⊥（a＋tb）．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
例5：（1）已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为（
）
A．－
B．
C．±
D．1
（2）已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．
解析：（1）因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以（3a＋2b）·（ka－b）＝0，
所以3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0．
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
所以12k－18＝0，k＝．
（2）由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb），
即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a2＝b2＝c2＝1，
则49＝9＋λ2＋6λcos，
即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5．
答案：（1）B
（2）－8或5
规律方法：
求向量a与b夹角的思路
（1）求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
（2）在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cosθ的值．
三、课堂总结
1．两向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．
（2）特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
③当θ＝π时，向量a与b反向．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．
规定零向量与任一向量的数量积为0．
3．投影向量
如图（1），设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影（project），叫做向量a在向量b上的投影向量．
如图（2），在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
（2）若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cosθe．
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
（1）a·e＝e·a＝|a|cosθ．
（2）a⊥b?a·b＝0．
（3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
（4）|a·b|≤|a||b|．
5．向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a（交换律）．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．
四、课堂检测
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为（
）
A．
B．
C．
D．
解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝．又0≤θ≤π，所以θ＝．
2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为（
）
A．－6
B．6
C．3
D．－3
解析：选B．因为c·d＝0，所以（2a＋3b）·（ka－4b）＝0，
所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
所以2k＝12，所以k＝6．
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
解析：设a与b的夹角θ，则
cosθ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝3×e
＝－e．
答案：－e
4．已知|a|＝1，|b|＝．
（1）若a∥b，求a·b；
（2）若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
（3）若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ．
（1）当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－．
（2）|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋，|a＋b|＝．
（3）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，cosθ＝＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．
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