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2.2
基本不等式十种题型分析
常用结论
1、若，则
(当且仅当时取“=”）
2、若，则
(当且仅当时取“=”）
3、若（或同号），则
(当且仅当时取“=”）
4、若（或异号），则
(当且仅当时取“=”）
证明：∵
∴，故
∴（当且仅当时，等号成立），即
∴
典例分析
题型一：凑系数
考法：计算形如（）的最大值
方法：变形为求解（验证等号成立条件）
例1（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求的最大值。
题型二：加项变换
考法：计算形如的最小值
方法：变形为（验证等号成立条件）
例2
已知，求的最小值。
题型三：拆项变换
考法：计算形如的最小值
方法：变形为（验证等号成立条件）
例3
求的最小值。
题型四：整体代换
考法：计算形如或的最小值。
方法：①整体代换，将作为整体；②分离参数。
例4
已知，求函数的最小值。
题型五：数字代换
方法：将数字替换成代数式，通常变换成数字“1”。
例5
（1）已知，求的最小值。
（2）设都是正数，且，求的最小值。
题型六：型
方法：分子分母同除以，即，进而利用基本不等式求解。
例6
已知，求函数的最大值。
题型七：消元（化二元为一元）
考法：已知两个变量间的等量关系，求某个代数式的值。
方法：①对已知的等量关系变形，有一个变量表示另一个变量；
②将表示的变量代入所求代数式，得到一个单变量函数；
③利用函数单调性求最值。
说明：此方法适用范围有限，现阶段只适用于能化为二次函数的题型。
例7
已知，求的最大值。
题型八：拆、拼、凑
思想（目的）：从问题反推，通过拆、拼、凑，使已知和所求的单变量代数式一致。
解法：对所求代数式不能直接使用基本不等式，需结合已知的等量关系和问题的代数形式对已知变形，得到问题中两个变量的代数形式，使其积或和为定值，从而利用基本不等式求解。
例8
（1）已知为正实数，且，求的最小值；
（2）如上述例7的方法二；
（3）已知，，求的最小值。
题型九：直接使用基本不等式
例9
（1）若正实数满足，求的最小值；
（2）已知正实数满足，求的最小值。
题型十：整体思想在均值不等式中的应用
例10
已知均为正数，，求函数的最小值。
典例分析答案
例1
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求的最大值。
【分析】凑系数，使两项之和为定值，第一题提出3，第二题凑。
【解析】（1）∵
∴
∴（当且仅当时，等号成立）
∴的最大值为12
（2）∵
∴
∴（当且仅当时，等号成立）
∴的最大值为8
例2
已知，求的最小值。
【分析】由题知定值，因此整式项可以添加一个常数，使之乘积为定值。
【解析】∵
∴
∴
（当且仅当时，等号成立）
∴的最小值为8
例3
求的最小值。
【分析】拆项，将拆成，然后利用基本不等式求解。
【解析】
（当且仅当即时，等号成立）
例4
已知，求函数的最小值。
【解析】∵时，
∴
当且仅当即时，等号成立
例5
（1）已知，求的最小值。
【解析】∵
∴，
∴
当且仅当即时，等号成立
补充：如何计算等号成立时的值？
由和解得
（2）设都是正数，且，求的最小值。
【解析】∵
∴
∴
当且仅当，即时等号成立
∴的最小值为
例6
已知，求函数的最大值。
【解析】由题得
∵
∴，故（当且仅当时，等号成立）
∴，故，则，即
∴函数的最大值为1.
例7
已知，求的最大值。
【分析】本题有两种方法，其一是消元，根据“”得到值，代入成为关于的二次函数，从而求最值；方法二是对“”进行配凑，出现和.
【解析】法一：消元法
∵
∴，故
∵
∴，得，故
∴，故，，则
∴的最大值为25.
法二：配凑+基本不等式
∵
∴
（解读：之所将变形为，是根据所求得到）
由题得，所以由基本不等式可得：
（当且仅当时，等号成立）
∴的最大值为25.
例8
（1）已知为正实数，且，求的最小值；
（2）如上述例7的方法二；
（3）已知，，求的最小值。
【解析】（1）∵
∴，故
由题得，则由基本不等式得
当且仅当，即时，等号成立
∴的最小值为
（3）说明：以下过程是分节过程，不是解答过程。
已知是“”和“”，问题是“”和“”，我们从问题反推如何对已知拆、拼、凑，，出现“”和“”，接下来对已知拆、拼、凑将变形为，从而得到，本题迎刃而解。
当且仅当，即时，等号成立
例9
（1）若正实数满足，求的最小值；
（2）已知正实数满足，求的最小值。
【解析】（1）∵
∴化简得
∴
当且仅当时，等号成立
（2）
当且仅当，即时，等号成立
例10
已知均为正数，，求函数的最小值。
【解析】整体思想+均值不等式
∵
∴
∵
∴，即
令（），则，即，解得
∴，故
∴
当且仅当，即时，等号成立。

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