资源简介

小数除法
第
2
节
商的近似数、循环小数和用计算器探索规律
【知识梳理】
求商的近似数的方法：先看要保留纪委小数，然后除到比需要保留的小数位多一位，再将最后一位“四舍五入”。
计算19.4÷12（取商的近似数）
①保留一位小数。
19.4÷12≈1.6
②保留两位小数。
19.4÷12≈1.62
商的近似数末尾有0的处理方法
用竖式计算45.5÷38≈1.20（得数保留两位小数）
归纳总结：求近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0不能去掉。
循环小数的意义
（1）分别用竖式计算
28÷18＝1.555…
78.6÷11＝7.14545…
（2）观察特点
小数
5.333…
1.555…
7.14545…
特点
从小数部分的第一位起，不断地重复出现数字3。
从小数部分的第一位起，不断地重复出现数字5。
从小数部分的第二位起，不断地重复出现数字45。
从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现。
意义：像5.333…，1.555…，7.14545…，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
循环节的意义
循环小数的简便记法
（6）纯循环小数和混循环小数
①循环节从小数部分十分位开始的小数叫做纯循环小数，如，1.555……。
②循环节不是从小数部分十分位开始的小数叫做混循环小数，如7.14545……。
有限小数和无限小数
分别用竖式计算
15÷16＝0.9375
1.5÷7＝0.2142857142857…
归纳总结　
．有限小数：小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。
②．无限小数：小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。
小数的分类：
纯小数（整数部分是0的小数，如0.324，）
按整数部分分
带小数（整数部分不是0的小数，如13.6，）
小数
有限小数
纯循环小数（）
循环小数
按小数位数分
无限小数
混循环小数（）
计算器探索计算规律，应用规律进行计算
观察算式及商的特点
归纳总结：用计算器探索规律的方法：用计算器计算→观察发现规律→用规律
【诊断自测】
认真思考，然后完成下列填空题
（1）把5.4936保留整数约是（
），省略十分位后面的尾数约是（
），精确到百分位约是（
），精确到0.001约是（
）。
（2）求商的近似数时，计算到比保留的小数位数多（
）位，再将最后一位“（
）”
（3）按“四舍五入”法写出商的近似值。
12.3÷6.1
34÷27
0.67÷0.34
保留整数
保留一位小数
保留两位小数
用简便形式写出下面的循环小数
（1）3.33……
写作：
（2）4.32727……
写作：
（3）0.538538……
写作：
（4）6.416416……
写作：
用计算器计算每小题的前三题，找出规律，直接写出后三题的得数。
3×4=
3.3×3.4=
3.33×33.4=
3.333×333.4=
3.3333×3333.4=
3.33333×33333.4=
【考点突破】
类型一：用“四舍五入”法解决求商的近似数的问题
例1.按“四舍五入”法写出商的近似数
保留整数
保留一位小数
保留两位小数
12÷6.1
32÷27
0.67÷3.4
答案：
保留整数
保留一位小数
保留两位小数
12÷6.1
2
2.0
1.97
32÷27
1
1.2
1.19
0.67÷3.4
0
0.2
0.20
解析：先列竖式求出每个算式的商，因为每个算式的商最多保留两位小数，所以计算时可以除到商的小数部分第三位，再按照“四舍五入”法按要求取商的近似值。
[提示：运用“四舍五入”法求商的近似值通常要比需保留的位数多一位]
类型二：根据“四舍五入”的规律解决根据近似数确定原数的最大值与最小值的问题。
例2.a÷0.6=b，b是一个三位数，保留一位小数是2.0。a最大是多少？最小是多少？（稍难）
答案：最大2.049×0.6=1.2294
最小1.950×0.6=1.17
解析：根据乘、除法的互逆关系可得a=b×0.6，由此可以看出：a的大小由b决定。
B是一个三位小数，保留一位小数是2.0,2.0可能是“四舍”得到的，也可能是“五入”得到的。
用“四舍法”保留一位小数，b≈2.0，b的前两位是2,0；百分位上可能是1,2,3或4，其中最大是4；千分位上可能是0至9中的任意一个数字，其中最大是9.因此，b的最大值是2.049
用“五入法”保留一位小数，b≈2.0，b的前两位是1,9；百分位上可能是5,6,7,8或9，其中最小是5；千分位上可能是0至9中的任意一个数字，其中最小是0.因此，b的最小值是1.950
类型三：运用观察法和归纳法解决探索规律的问题
例3.从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：
（1）1+3+4=22
（2）1+3+5=9=33
（3）1+3+5+7=16=42
（4）1+3+5+7+9=25=52
按照上面的规律直接写出下面算式的结果。
（5）1+3+5+7+9+……+19=（
）2
（6）1+3+5+7+9+……+99=（
）2
答案：10
50
解析：先观察已知的4个算式的特点，发现：（1）中2个奇数相加，和是22，（2）中3个奇数相加，和是32，（3）中4个奇数相加，和是42，（4）中5个奇数相加，和是52.
得出规律：算式中有几个奇数相加，和就是几的平方。（5）中10个奇数相加；（6）中50个奇数相加
类型四：根据周期问题的解题规律求循环小数指定数位上的数字。
例4.2÷13，商的小数点后面第1000位上的数字是几？
答案：2÷13=
1000÷6=166（个）……4（个）
数字是8.
解析：2÷13=，商是一个循环小数，循环节由6个数字组成，把一个循环节看作一个周期，则一个周期有6个数字。要想知道商的小数点后面第1000位上的数字是几，就要看1000里面有几个这样的周期，再根据余数来确定。如果周期正好是整数且没有余数，那么第1000位上的数字就是循环节的最后一个数字6；如果有余数，余数是几，所求数字就是循环节中从前往后数的第几个数字。
例5.循环小数0.314314…的小数部分的第100个数字是多少？它的小数部分中前100个数字的和是多少？
答案：100÷3＝33(组)……1(个)　第100个数字是3。
3＋1＋4＝8　　　　　　8×33＋3
＝264＋3
＝267
解析：0.314314…的循环节是314，小数部分中“3、1、4”这3个数字不断重复出现，循环周期为3。算出小数部分中前100个数字里有几组这样的数字：100÷3＝33(组)……1(个)，有33组“3、1、4”还多1个数字，因此第100个数字是第34组中的第1个数字，即3。每组循环数字(即一个循环节的数字)的和是3＋1＋4＝8，求出33组数字和再加3就是这个小数的小数部分中前100个数字的和。
【易错精选】
计算7.51÷4（得数保留一位小数）
错误解答：
7.51÷4=1.9
错解改正：7.51÷4≈1.9
错解分析：从竖式中可知，把商保留一位小数应该是1.9，错误的原因是在写横式结果时，用“=”连接了。
2、计算5.713÷3（得数保留两位小数）
错误答案：
5.713÷3≈1.9
错解改正：5.713÷3≈1.90
错解分析：此题错在所取的近似数与要保留的小数位数不一致。
3、5.7÷9≈0.6333……
错解分析：商0.6333……虽然是循环小数，但是它是一个准确值，不能用“≈”连接。
错解改正：5.7÷9=0.6333……
判断98989898.9898是循环小数
（√）
错解分析：题中所给的数虽然是由9和8两个数字重复组成的，但是这两个数字在小数部分只重复出现了两次，小数部分是四位小数，这是一个有限小数。
错解改正：
×
【精华提炼】
四舍五入要小心，记得往后找一位。
小数分类还蛮多，有限无限加循环。
【本节训练】
训练【1】列竖式计算，按要求取商的近似数。
得数保留一位小数。
10.05÷32≈
4.035÷2.4≈
得数保留两位小数
40.91÷51≈
32÷32.3≈
动物名称
游行速度
蓝鲸
36.69千米/时
企鹅
8.6千米/时
旗鱼
100千米/时
训练【2】
（1）蓝鲸的游行速度大约是企鹅的几倍？（得数保留整数）
（2）你还能提出其他数学问题么？
训练【3】
一个数的（
）部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断（
）出现，这样的小数叫做循环小数。
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的（
）。
在0.3232、5.2325、4.99…、0.18、3.14159…、
等数中
是有限小数的有（
）
是无限小数的有（
）
训练【4】计算下面各题，除不尽的先用循环小数表示，再保留两位小数写出它的近似数。
3÷1.1
3.38÷1.8
13.32÷15
3÷40
训练【5】比大小，填上“＞”“＜”“＝”
0.22
3.37
7÷3
训练【6】甲、乙两港口相距280千米，一艘轮船从甲港口航行到乙港口用了7.3小时，这艘轮船平均每小时航行多少千米？（保留一位小数）
训练【7】用计算器计算下面各题
1÷37=（
）
2÷37=（
）
3÷37=（
）
4÷37=（
）
5÷37=（
）
6÷37=（
）
7÷37=（
）
你发现了什么？
基础巩固
填空
(1)4.7856保留整数约是(　　　)，保留一位小数约是(　　　)，精确到千分位约是
(　　　)。
(2)163.2÷35的商保留整数约是(　　　)，保留一位小数约是(　　　)。
(3)买100个鸡蛋共花了42.5元，平均每个鸡蛋约(　　　)元。
(4)买3枝铅笔花了1元钱，每枝铅笔多少钱？列式为(　　　)÷(　　　)，计算结果的过程中，余数重复地出现(　　　)，继续除下去，商就不断重复地出现(　　　)，始终除不尽，所以1÷3＝(　　　)。
(5)写出下面各小数的近似数。(保留两位小数)
9．35858…≈(　　　　　　)
6．103103…≈(　　　　　　)
选择
(1)15.8÷2.5的商保留一位小数约是(　　)。
A．6.2
B．6.3
C．6.4
(2)32.5÷0.5(　　)32.5。
A．>
B．＝
C．<
(3)近似数是6的最小一位小数是(　　)。
A．6.4
B．5.9
C．5.5
(4)当商要求保留两位小数时，必须除到(　　)位。
A．十分
B．百分
C．千分
(5)一个三位小数保留两位小数约是7.51，这个三位小数最大是(　　)。
A．7.514
B．7.515
C．7.509
(6)下面各数中，(　　)是循环小数。
A．0.3333
B．4.5413…
　
C．0.5454…
(7)循环小数都是(　　)。
A．有限小数
　　　
B．无限小数
(8)下面各数中，(　　)最大。
A．4.55…
B．4.555
　
C．4.499…
判断
(1)循环小数都是纯小数。(　　)
(2)除不尽时，得到的商一定是循环小数。(　　)
(3)3.34646的循环节是46。(　　)
(4)2÷6的商是循环小数。(　　)
循环小数都小于1。(　　)
计算
得数保留两位小数
2.71÷0.7
　　
6.32÷0.55
2.47÷3.5
　　
37.2÷42
5.713÷3　　　　　　
32.27÷2.7
（2）商是循环小数的要简写
3.8÷0.9
1.5÷2.5
34.5÷11
1.24÷3.6
5．用计算器计算前四题，再根据发现的规律，将后两题补充完整。
(1)1.08÷0.9÷0.1＝________
(2)1.107÷0.9÷0.01＝________
(3)1.1106÷0.9÷0.001＝________
(4)1.11105÷0.9÷0.0001＝________
(5)________÷0.9÷________＝________
(6)________÷0.9÷________＝________
6．找出规律，直接填空。
(1)1.5，3.5，5.5，________，9.5，________。
(2)0.4，0.8，1.6，________，6.4，________。
(3)100，25，________，1.5625，________。
7.应用题
（1）小李电脑E盘的存储空间为15000兆，小李准备从网上下载一个大约为127兆的文件存入E盘，一共可以存多少个这样的文件？（保留整数）
（2）洗车场采用节水措施后，一年共节约用水125.8吨，平均每月节约用水多少吨？（保留一位小数）
（3）世界最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上，树干一周的长度达54.95米。多少个身高1.7米的成年人伸开双臂才能围住这棵大树？（保留整数）
（4）甲、乙两个港口相距630千米，一艘轮船从甲港口航行到乙港口用了7.3小时，这艘轮船平均每小时航行多少千米？（保留整数）
（5）爸爸的体重是75千克，约是小丽体重的3.3倍，小丽的体重约是多少千克？（结果用循环小数表示）
（6）一个城市一天产生200吨生活垃圾。如果1辆垃圾清运车一次可以运送垃圾1.5吨，一次运完这些垃圾需要多少辆垃圾清运车？（保留整数）
巅峰突破
用4，6，9，0和小数点按要求组成小数。(1)其中哪些小数“四舍五入”后的近似值为4？(2)哪些小数“四舍五入”后的近似值小于1？
一个数除以1.8，商是一个两位小数，商保留一位小数是3.2.被除数最大是多少？
3.一个循环小数请你猜一猜，这个循环小数小数点后的第101位上的数字是多少？
4.先计算题中的前三道小题，找出规律，然后再根据规律把其他算式补充完整。
(1)0.9×0.9＋0.69＝________
9．8×0.9＋1.68＝________
98．7×0.9＋11.67＝________
________×0.9＋________＝________
________×0.9＋________＝________
________×0.9＋________＝________
(2)0.1×0.9－0.01＝________
1．2×0.9－0.01＝________
12．3×0.9－0.01＝________
________×0.9－________＝________
________×0.9－________＝________
________×0.9－________＝________
参考答案
【诊断自测】
（1）5
5.5
5.50
5.496
（2）一
四舍五入
（3）2
2.0
2.02；1
1.3
1.26；2
2.0
1.97
，，，
12
11.22
111.222
1111.2222
11111.22222
111111.222222
【本节训练】
训练【1】
（1）0.3
1.7
（2）0.80
0.99
训练【2】
（1）36.69÷8.6≈4
旗鱼的游行速度大约是蓝鲸的几倍？
100÷36.69≈3（答案不唯一）
训练【3】
小数
重复；（2）循环节
有限小数：0.3232、5.2325、0.18
无限小数：4.99…、3.14159…、
训练【4】
3÷1.1=≈2.73
3.38÷1.8=≈1.88
13.32÷15=0.888
3÷40=0.075
训练【5】
＜
＞
＞
＝
训练【6】
280÷7.3≈38.4（千米）
训练【7】
，，，，，，
发现十分位和百分位组成的数是27的倍数
基础巩固
(1)5　4.8　4.786　(2)5　4.7　(3)0.43
(4)1　3　1　3　0.333…
(5)9.36　6.10
(1)B　(2)A　(3)C　(4)C　(5)A
(6)C　(7)B　(8)A
(1)
×　(2)
×　(3)
×　(4)√　(5)
×
（1）3.87
11.49
0.71
0.89
1.90
11.95
（2）
0.6
，
5.(1)12　(2)123　(3)1234　(4)12345
(5)1.111104　0.00001　123456
(6)1.1111103　0.000001　1234567
(1)7.5　11.5　(2)3.2　12.8　(3)6.25
0.390625
（1）15000÷127≈118(个)
（2）125.8÷12≈10.5(吨)
（3）54.95÷1.7≈33(个)
（4）630÷7.3≈86(千米)
（5）75÷3.3＝22.72(千克)
（6）200÷1.5≈134(辆)
巅峰突破
(1)4.069　4.096　(2)0.469　0.496
5.832
解析：两位小数四舍五入后是3.2，那么这个两位小数最大是3.24
所以3.24×1.8=5.832
3
解析：循环节为5，所以101÷5=20……1，那么循环节的第一个数是3
(1)1.5　10.5　100.5　987.6　111.66　1000.5　9876.5　1111.65　10000.5　98765.4　11111.64　100000.5　
(2)0.08
1.07　11.06　123.4　0.01　111.05　1234.5　0.01　1111.04　12345.6
0.01　11111.03

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