资源简介

第四章
数列
4.3.1等比数列的概念
教学设计
一、教学目标
1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.
3.体会等比数列与指数函数的关系.
4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质，能够运用等比数列的性质解决有关问题.
二、教学重难点
1、教学重点
等比中项、等比数列的通项公式、等比数列的性质及应用.
2、教学难点
等比数列的运算、等比数列的性质及应用.
三、教学过程
1、新课导入
前面我们学习了等差数列的相关知识，那么还有什么数列是值得研究的呢？类比等差数列的研究思路和方法，这节课就来学习一下等比数列的相关知识.
2、探索新知
一、等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
二、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
此时，.
三、等比数列的通项公式
设一个等比数列的公比为q，根据等比数列的定义，可得.
所以，，，……
由此可得，又，这就是说，当时上式也成立.
因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
四、等比数列与指数函数的关系
由可知，当且时，等比数列的第n项是指数函数当时的函数值，即，如图所示.
反之，任给指数函数（k，a为常数，，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为.
例1
若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.
解法1：由，，得，
②的两边分别除以①的两边，得，解得.
把代入①，得.此时，
把代入①，得.此时.
因此，的第5项是24或-24.
解法2：因为是与的等比中项，所以.
所以.
因此，的第5项是24或-24.
例2
已知等比数列的公比为，试用的第项表示.
解：由题意得①，②，
②的两边分别除以①的两边，得，
所以.
例3
数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.
求这个数列.
解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，.
于是得，
解方程组，得或.
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例4
用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a，，，…构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，公比，
所以.
所以12个月后的利息为（元）.
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列，
则也是一个等比数列，首项，公比为1+r.
于是.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元.
解不等式，得.
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5
已知数列的首项.
(1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
(2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.
证明：（1）由，，得的通项公式为.
设，则.
又，
所以是以27为首项，9为公比的等比数列.
(2)由，，得.
两边取以3为底的对数，得.
所以.
又，
所以是首项为1，公差为-2的等差数列.
例6
某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产．以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，是等差数列，由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.
由题意知，，
，其中，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
，
由计算工具计算（精确到0.1）并列表如下.
n
1
2
3
4
5
6
7
105.0
105.8
106.5
107.0
107.2
107.2
106.9
n
8
9
10
11
12
13
14
106.4
105.5
104.2
102.6
100.6
98.1
95.0
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可.
由，得，
所以当时，递减.
又，所以当时，.
所以生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.
应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤
（1）构建等比数列模型；
（2）明确，，，等基本量；
（3）利用求解；
（4）还原为实际问题.
3、课堂练习
1.实数数列1，a，16为等比数列，则(
)
A.
B.4
C.2
D.或4
答案：D
解析：由等比中项性质得，所以.故选D.
2.已知等比数列满足，，则(
)
A.21
B.42
C.63
D.84
答案：B
解析：设等比数列的公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B.
3.在等差数列中，，如果是与的等比中项，那么____________.
答案：9
解析：设等差数列的公差为d，由题意得，，又是与的等比中项，，即，，解得或（舍去）.
4.已知数列满足，，数列满足，则数列的通项公式为___________.
答案：
解析：，，即，，且，，则，又，数列是首项为，公比为3的等比数列，.
4、小结作业
小结：本节课学习了等比数列的概念、等比中项、等比数列的通项公式、等比数列的性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.3.1等比数列的概念
1.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（显然）.
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
此时，.
3.等比数列的通项公式：首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.

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