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2.8直角三角形全等的判定
学案
课题
2.8直角三角形全等的判定
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
掌握直角三角形全等的判定定理HL定理；2.理解并掌握角平分线的性质定理的逆定理．
重点
直角三角形全等的判定的方法“HL”
难点
直角三角形判定方法的说理过程.
教学过程
导入新课
【引入思考】
三角形全等的判定定义：______________________________________________基本事实：____________________________________________方法探究请添加另外两个条件，使这两个直角三角形全等。_________________________________________________________________________________________________________________________________思考：添加条件：斜边和一条直角边对应相等???方法探究命题：斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。用什么方法验证呢？
下面我们给出证明.已知:如图，在△ACB和△A′C′B′中，∠C=∠C′=Rt∠,AB=A′B′,AC=A′C′
求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
新知讲解
提炼概念总结：“斜边、直角边”判定方法文字语言：__________________________________________________________________几何语言：____________________________________________________________________________________________________________思考：“有两条边相等的两个直角三角形全等”是真命题吗？典例精讲
例
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.角平分线性质定理的逆定理：________________________________________________几何语言：____________________________________________________________________________________________________________定理应用在△ABC的内部，你能找出一个点，使它到△ABC三边的距离都相等吗？
课堂练习
巩固训练1.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
（　
　）
A．三角形三条中线的交点B．三角形三边的垂直平分线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条高所在直线的交点2.已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a，斜边AB=c.3.AD∥BC，∠A＝90°，
E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
(1)△ADE与△BEC全等吗？请说明理由；
(2)若AD＝3，AB＝7，请求出△DEC的
面积．4.在△ABC中，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线交于点D.
求证：点D在∠A的平分线上．答案引入思考
已知Rt△ABC和Rt△A?B?C?中，AC’=AC’,AB=A’B’.证明Rt△ABC≌
Rt△A?B?C?证明一∵
Rt△ABC和Rt△A?B?C?∴
BC2=AB2
-
AC2
B?C?2=A?B?2
-
A?C?2又∵
AC=AC,AB=AB.∴BC=B?C?在△ABC和△A?B?C?中A
B=A?B?A
C=A?C?
BC=
B?C?∴△ABC≌△A?B?C?(
SSS
)证明二∵
∠ACB=∠A’B’C’=90
°∴
B，C，B’在同一直线上，
AC
⊥BB’∵
AB=A'B'∴
BC=B'C'（等腰三角形三线合一）∵
AC=A'C'（公共边）∴
RtΔABC
≌
RtΔA'B'C'（SSS）
提炼概念直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写：“斜边、直角边”或“HL”典例精讲
证明：作射线OP∵
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴
∠PDO=∠PEO=Rt∠又∵
OP=OP（公共边），PD=PE（已知）∴Rt△PDO≌Rt△PEO(
HL
)∴
∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。∵
PD⊥OA，
PE⊥OB
，PD=PE∴OP平分∠AOB
（或∠1=
∠2）（角平分线的性质）巩固训练1.C．2.画法：1.画∠MCN=90
°.2.在射线CM上取CB=a.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.4.连结AB
.△ABC就是所要画的直角三角形.3.解：(1)△ADE≌△BEC.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AD＝BE，∴△ADE≌△BEC.
(2)∵△ADE≌△BEC，
∴AD＝BE＝3，AE＝BC，∠ADE＝∠BEC.
∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝BC＝4.
∴DE＝EC＝5.
又∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°.∴∠DEC＝90°.4.解：如答图，过D作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F，
作DG⊥AC，交AC延长线于G，
∵BD是∠CBF的角平分线，
DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
同理可得DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴点D在∠A的平分线上．
课堂小结
知识：1、尺规作图
———
已知斜边和一直角边作直角三角形；2、“斜边、直角边定理（HL）”；3、角平分线性质的逆定理。方法：实验——猜想——验证——推理
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2.8直角三角形全等的判定
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
三角形全等的判定
定义：
基本事实：
AAS
证得
复习回顾
能够重合的两个三角形是全等三角形
SSS
SAS
ASA
合作学习
有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？
不全等。理由如下：
如果这个角是直角呢?
如图△ABC与△ABD中，
AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；
证明你的结论
已知Rt△ABC和Rt△A?B?C?中，AC’=AC’,AB=A’B’.
证明Rt△ABC≌
Rt△A?B?C?
∵
Rt△ABC和Rt△A?B?C?
∴
BC2=AB2
-
AC2
B?C?2=A?B?2
-
A?C?2
又∵
AC=AC,AB=AB.
∴BC=B?C?
在△ABC和△A?B?C?中
A
B=A?B?
A
C=A?C?
BC=
B?C?
证明一
∴△ABC≌△A?B?C?(
SSS
)
A
B
C
A’
B’
C’
证明二
∵
∠ACB=∠A’B’C’=90
°
∴
B，C，B’在同一直线上，
AC
⊥BB’
∵
AB=A'B'
∴
BC=B'C'（等腰三角形三线合一）
∵
AC=A'C'（公共边）
∴
RtΔABC
≌
RtΔA'B'C'（SSS）
提炼概念
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
“斜边、直角边”判定方法
A
B
C
A'
B'
C'
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△
A′B′C′
中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
AB=A′B′,
BC=B′C′,
思考：“有两条边相等的两个直角三角形全等”是真命题吗？
“斜边、直角边”判定方法
A
B
C
A'
B'
C'
典例精讲
新知讲解
例
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明
如图，作射线OP.
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
又∵OP=OP(公共边)，PD=PE(已知)，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠1=∠2，
即点P在∠AOB的平分线上(角平分线的定义).
几何语言：
∵DP⊥OA，PE⊥OB，且DP=EP
∴OP平分∠AOB
角平分线性质定理：
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
定理应用
在△ABC的内部，你能找出一个点，使它到△ABC三边的距离都相等吗？
归纳概念
1.直角三角形全等的判定定理（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
2.角平分线的性质定理的逆定理：
课堂练习
1.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
（　　）
A．三角形三条中线的交点
B．三角形三边的垂直平分线的交点
C．三角形三条角平分线的交点
D．三角形三条高所在直线的交点
∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．
C
2.已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a，斜边AB=c.
a
c
画法：1.画∠MCN=90
°.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB
.
△ABC就是所要画的直角三角形.
2.在射线CM上取CB=a.
M
C
N
a
B
c
A
3.AD∥BC，∠A＝90°，
E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
(1)△ADE与△BEC全等吗？请说明理由；
(2)若AD＝3，AB＝7，请求出△DEC的
面积．
【解析】
根据已知先说明△ADE与△BEC都是直角三角形，然后用“HL”定理证明即可．
解：(1)△ADE≌△BEC.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AD＝BE，∴△ADE≌△BEC.
(2)∵△ADE≌△BEC，
∴AD＝BE＝3，AE＝BC，∠ADE＝∠BEC.
∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝BC＝4.
∴DE＝EC＝5.
又∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠BEC＋∠AED＝90°.
∴∠DEC＝90°.
【点悟】　“HL”定理是判定两个直角三角形全等的特有的定理，判定一般三角形全等的四种方法对直角三角形也适用．
4.在△ABC中，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线交于点D.
求证：点D在∠A的平分线上．
解：如答图，过D作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F，
作DG⊥AC，交AC延长线于G，
∵BD是∠CBF的角平分线，
DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
同理可得DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴点D在∠A的平分线上．
课堂总结
知识：
1、尺规作图
———
已知斜边和一直角边作直角三角形；
2、“斜边、直角边定理（HL）”；
3、角平分线性质的逆定理。
方法：实验——猜想——验证——推理
本节课你学到了什么？
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2.8直角三角形全等的判定
教案
课题
2.8直角三角形全等的判定
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
掌握直角三角形全等的判定定理HL定理；2.理解并掌握角平分线的性质定理的逆定理．
重点
直角三角形全等的判定的方法“HL”
难点
直角三角形判定方法的说理过程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题三角形全等的判定定理有哪些?SSS:三组对应边分别相等的两个三角形全等SAS:有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等ASA:有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等AAS:”有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？不全等。理由如下：如图△ABC与△ABD中，AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，
但△ABC与△ABD不全等；如果这个角是直角呢?全等证明你的结论已知Rt△ABC和Rt△A?B?C?中，AC’=AC’,AB=A’B’.证明Rt△ABC≌
Rt△A?B?C?证明一∵
Rt△ABC和Rt△A?B?C?∴
BC2=AB2
-
AC2
B?C?2=A?B?2
-
A?C?2又∵
AC=AC,AB=AB.∴BC=B?C?在△ABC和△A?B?C?中A
B=A?B?A
C=A?C?
BC=
B?C?∴△ABC≌△A?B?C?(
SSS
)证明二∵
∠ACB=∠A’B’C’=90
°∴
B，C，B’在同一直线上，
AC
⊥BB’∵
AB=A'B'∴
BC=B'C'（等腰三角形三线合一）∵
AC=A'C'（公共边）∴
RtΔABC
≌
RtΔA'B'C'（SSS）直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写：“斜边、直角边”或“HL”几何语言：在Rt△ABC与Rt△
A?B?C?中
A
B=A?B?
A
C=A?C?（
或BC=
B?C?）
思考自议“HL”定理是判定两个直角三角形全等的特有的定理，判定一般三角形全等的四种方法对直角三角形也适用．
讲授新课
提炼概念三、典例精讲例
如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明：作射线OP∵
PD⊥OA，
PE⊥OB（已知）
∴
∠PDO=∠PEO=Rt∠又∵
OP=OP（公共边），PD=PE（已知）∴Rt△PDO≌Rt△PEO(
HL
)∴
∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上角平分线的性质定理的逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。∵
PD⊥OA，
PE⊥OB
，PD=PE∴OP平分∠AOB
（或∠1=
∠2）（角平分线的性质）
课堂检测
四、巩固训练
1.现要在一块三角形草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在
（　
　）
A．三角形三条中线的交点B．三角形三边的垂直平分线的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条高所在直线的交点∵三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴亭的位置应选在三角形三条角平分线的交点上．
故选C．2.已知线段a、c(a﹤c)，用直尺和圆规画一个Rt△ABC,使∠C=90°
，一直角边CB=a，斜边AB=c.画法：1.画∠MCN=90
°.2.在射线CM上取CB=a.3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.4.连结AB
.△ABC就是所要画的直角三角形.3.AD∥BC，∠A＝90°，
E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2.
(1)△ADE与△BEC全等吗？请说明理由；
(2)若AD＝3，AB＝7，请求出△DEC的
面积．解：(1)△ADE≌△BEC.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴DE＝EC.
∵AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AD＝BE，∴△ADE≌△BEC.
(2)∵△ADE≌△BEC，
∴AD＝BE＝3，AE＝BC，∠ADE＝∠BEC.
∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝BC＝4.
∴DE＝EC＝5.
又∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°.∴∠DEC＝90°.4.在△ABC中，∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线交于点D.
求证：点D在∠A的平分线上．解：如答图，过D作DE⊥BC于E，
作DF⊥AB，交AB延长线于F，
作DG⊥AC，交AC延长线于G，
∵BD是∠CBF的角平分线，
DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
同理可得DE＝DG，
∴DF＝DG，
又∵DF⊥AB，DG⊥AC，
∴点D在∠A的平分线上．
课堂小结
知识：1、尺规作图
———
已知斜边和一直角边作直角三角形；2、“斜边、直角边定理（HL）”；3、角平分线性质的逆定理。方法：实验——猜想——验证——推理
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精品试卷·第
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