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第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.3 简单复合函数的导数
教学设计
一、教学目标
1. 了解复合函数的概念；
2. 理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数.
二、教学重难点
1. 教学重点
复合函数的概念及求导法则.
2. 教学难点
求简单复合函数的导数.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：导数的四则运算法则.
对于两个函数和，有如下法则：
；
；
；
.
问题1 如何求函数的导数？
解：，
.
问题2 若求函数的导数呢？
问题3 如何求函数的导数？
下面以为例，研究其导数的求法.
（二）探索新知
先来分析函数的结构特点.
若设，则.从而可以看成是由和
经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数.
如果把与的关系记作，与的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为.
复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
那么如何求复合函数的导数呢？以为例来研究.
以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数.
可以发现，.
复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
例1 求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有.
（2）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有.
（3）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有.
例2 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系为.求函数在时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
.
当时，.
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为.
（三）课堂练习
1.若函数，则等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意得，
.故选B.
2.函数的导数为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：.故选B.
3.已知函数，曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：.
由题意得，即，
解得，.故选C.
4.若，则____________.
答案：
解析：，
.
5.求下列函数的导数：
（1）；
（2）；
（3）.
答案：（1）.
（2）
.
（3）.
（四）小结作业
小结：复合函数的概念及求导法则.
作业：
四、板书设计
5.2.3 简单复合函数的导数
1. 复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
2. 复合函数的求导法则：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.

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