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平面直角坐标系必考难题大全
知识梳理：
平面直角坐标系定义
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).
（一）坐标轴上点的坐标特征
1．轴上的点的纵坐标为0，记做（，0）；
2．y 轴上的点的横坐标为0，记做（0，y）；
3．原点的坐标是（0，0）
（二）各象限内点的坐标特征
已知点P的坐标为（x，y）
1．若点P在第一象限内，则；
2．若点P在第二象限内，则；
3．若点P在第三象限内，则；
4．若点P在第四象限内，则；
（三）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
平行于x轴的一条直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴的一条直线上的点的横坐标相等。
（四）象限角平分线上的点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点的横坐标和纵坐标相等，第二、四象限角平分线上的点的横坐标和纵坐标互
为相反数。
（五）点P（a, b）到坐标轴的距离
1.到x轴的距离：|b|
2.到y轴的距离：|a|
（六）坐标的平移
1．点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）（或x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）（或x，y－b）。
2．图形的平移：在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
（七）常见的对称点问题
1．点A（a,b）关于轴的对称点的点的坐标为A1(a,-b);
2．点A（a,b）关于轴的对称点的点的坐标为A2(-a,b);
3．点A（a,b）关于原点的对称点的点的坐标为A3(-a,-b);
提高训练
一．规律型：点的坐标（共2小题）
1．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，﹣1），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，0），第二次向右跳动至A2（2，0），第三次向左跳动至A3（﹣2，1），第四次向右跳动至A4（3，1）…依照此规律跳动下去，点A第9次跳动至A9的坐标（　　）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，3） C．（6，4） D．（6，3）
2．如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为　 　．
二．坐标与图形性质（共6小题）
3．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　）
A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5
4．如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为　 　．
5．已知点M（3a﹣8，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标．
（1）点M在x轴上；
（2）点M在第二、四象限的角平分线上；
（3）点N坐标为（1，6），并且直线MN∥y轴．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
7．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
（3）当S＝12时，求点P的坐标；
（4）△OPA的面积能大于24吗？为什么？
8．平面直角坐标系中，点A（0，5），点B（﹣5，3），点C为x轴负半轴上一点，且∠BAC＝45°，则点C的横坐标为　 　．
三．坐标与图形变化-平移（共2小题）
9．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为　 　．
10．已知A（0，a），B（﹣b，﹣1），C（b，0）且满足+|b+2|+＝0．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1所示，CD∥AB，∠DCO的角平分线与∠BAO的补角的角平分线交于点E，求出∠E的度数；
（3）如图2，把直线AB以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点（0，﹣5）．
参考答案与试题解析
一．规律型：点的坐标（共2小题）
1．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，﹣1），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，0），第二次向右跳动至A2（2，0），第三次向左跳动至A3（﹣2，1），第四次向右跳动至A4（3，1）…依照此规律跳动下去，点A第9次跳动至A9的坐标（　　）
A．（﹣5，4） B．（﹣5，3） C．（6，4） D．（6，3）
【解答】解：通过坐标可以发现A1、A3、A5、A7都位于y轴左侧，
由题干发现：第一次跳动A1（﹣1，0）即（﹣，），
第三次跳动A3（﹣2，1）即（﹣，），
第五次跳动A5（﹣3，2）即（﹣，），
……
第九次跳动A9（﹣，）即（﹣5，4），
故选：A．
2．如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为　　．
【解答】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C2＝CD＝OC＝，
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2020C2021的长分别为1，，，，…，，
OC2021＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2020C2021＝1++++…+＝，
∴等边△A2021C2020C2021顶点A2021的横坐标＝﹣×＝，
∴等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为（+）×＝．
故答案为：．
二．坐标与图形性质（共6小题）
3．已知两点A（a，5），B（﹣1，b）且直线AB∥x轴，则（　　）
A．a可取任意实数，b＝5 B．a＝﹣1，b可取任意实数
C．a≠﹣1，b＝5 D．a＝﹣1，b≠5
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴b＝5，a≠﹣1，
故选：C．
4．如图，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，0），点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为　（3，0）或（9，0）　．
【解答】解：如图，设P点坐标为（x，0），
根据题意得 4 |6﹣x|＝6，
解得x＝3或9，
所以P点坐标为（3，0）或（9，0）．
故答案为：（3，0）或（9，0）．
5．已知点M（3a﹣8，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标．
（1）点M在x轴上；
（2）点M在第二、四象限的角平分线上；
（3）点N坐标为（1，6），并且直线MN∥y轴．
【解答】解：（1）∵点M在x轴上，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1，
3a﹣8＝3﹣8＝﹣5，a﹣1＝0，
∴点M的坐标是（﹣5，0）；
（2）∵点M在第二、四象限的角平分线上，
∴3a﹣8+a﹣1＝0，
解得a＝，
∴a﹣1＝﹣1＝，
∴点M的坐标为（﹣，）；
（3）∵直线MN∥y轴，
∴3a﹣8＝1，
解得a＝3，
∴a﹣1＝3﹣1＝2，
点M（1，2）．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a＝+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b＝3，
a＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴点C（0，2），D（4，2）；
∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∴S四边形ABDC＝4×2＝8；
（2）∵S△PAB＝S四边形ABDC，
∴×4 OP＝8，
解得OP＝4，
∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；
（3）＝1，比值不变．
理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，
如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，
∴＝1，比值不变．
7．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，写出x的取值范围；
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
（3）当S＝12时，求点P的坐标；
（4）△OPA的面积能大于24吗？为什么？
【解答】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴S＝×6×y＝3y．
∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x．
∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x．
∴用含x的式子表示S为：S＝﹣3x+24．
∵S＝﹣3x+24＞0，
∴x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
综上可得，x的范围为0＜x＜8；
（2）当x＝5时，S＝﹣3×5+24＝﹣15+24＝9；
（3）当S＝12时，﹣3x+24＝12，
解得x＝4．
∵x+y＝8，
∴y＝8﹣4＝4，
即P（4，4）；
（4）不能．
假设△OPA的面积能大于24，则﹣3x+24＞24，
解得x＜0，
∵0＜x＜8，
∴△OPA的面积不能大于24．
8．平面直角坐标系中，点A（0，5），点B（﹣5，3），点C为x轴负半轴上一点，且∠BAC＝45°，则点C的横坐标为　（，0）　．
【解答】解如图，过B作AB的垂线与AC的延长线交于E点，
过A、E点作x轴平行线，过B作y轴平行线，分别交于点G、H，
则∠ABE＝90°，
又∠BAC＝45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∵∠GAB+∠GBA＝∠HBE+∠GBA＝90°，
∴∠GAB＝∠HBE，
△ABG与△BEH中，
，
∴△ABG≌△BEH（AAS），
∴BH＝AG＝5，HE＝GB＝2，
∴E为（﹣3，﹣2），
又A为（0，5），
∴直线AE的解析式为：
，
令y＝0，得，
∴C为（，0）．
故答案为：（，0）．
三．坐标与图形变化-平移（共2小题）
9．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为　（3，0）　．
【解答】解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5，
∵B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
∴C点坐标为（5，﹣3），
∵C向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，
∴所的对应点坐标为（5﹣2，﹣3+3），
即（3，0），
故答案为：（3，0）．
10．已知A（0，a），B（﹣b，﹣1），C（b，0）且满足+|b+2|+＝0．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1所示，CD∥AB，∠DCO的角平分线与∠BAO的补角的角平分线交于点E，求出∠E的度数；
（3）如图2，把直线AB以每秒1个单位的速度向左平移，问经过多少秒后，该直线与y轴交于点（0，﹣5）．
【解答】解：（1）∵+|b+2|+＝0．
又∵≥0，|b+2|≥0，≥0，
∴a＝7，b＝﹣2，
∴A（0，7）B（2，﹣1）C（﹣2，0）
（2）延长EA交CD的延长线于H．设∠ECO＝∠ECH＝x，∠EAB＝∠EAP＝y，设AB交x轴于F．
∵AB∥CH，
∴∠EAB＝∠H＝y，∠HCO+∠AFC＝180°，
∵∠PAB＝90°+∠AFC，
∴2y＝90°+（180°﹣2x），
∴x+y＝135°，
在△EHC中，∠E＝180°﹣x﹣y＝45°．
（3）如图，观察图像可知，直线AB向左平移3个单位，经过G（0，﹣5），
解法二：过点B作BC∥y轴交直线A′B′于C，设BB′＝AA′＝x．
∵S平行四边形ABB′A′＝S平行四边形BCGA，
∴8x＝12×2，
∴x＝3，
所以x＝3．
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