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平方根、立方根、实数难题综合大全
知识梳理
要点一：平方根和立方根性质
类型项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；
重要结论
要点二：实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分： 按正负性分：
实数 实数
要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.2020020002…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数的三个非负性及性质：
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
3.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
4.实数的大小的比较：
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，一般情况下，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
巩固练习
一．算术平方根（共2小题）
1．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝　 　；y＝　 　；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈　 　；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝　 　；
（3）拓展：已知，若，则z＝　 　．
2．已知实数a，b，c满足：b＝+4，c的平方根等于它本身．求的值．
二．立方根（共2小题）
3．若与互为相反数，求的值．
已知M＝是m+3的算术平方根，N＝是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
三．实数（共1小题）
5．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是　 　；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
四．实数与数轴（共3小题）
6．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离　 　．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　 　．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　 　．
7．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是　 　．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　 　．
③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝　 　．
④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围是　 　．
⑤若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x+1|有最　 　值　 　，此时x＝　 　．
8．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是　 　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　．
（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　 　．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+5|有最小值吗？若有，请求出最小值．若没有，说出理由．
五．实数大小比较（共1小题）
9．先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝　 　，y＝　 　；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈　 　；
②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝　 　；
（3）试比较与a的大小．
六．估算无理数的大小（共1小题）
10．已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，的整数部分是c，求3a﹣b+c的值．
七．实数的运算（共4小题）
11．对于任意两个正数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，按照此法则计算3※4＝　 　．
12．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z） z﹣（﹣4★z）的值为　 　．
13．定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；
②对于任意的实数a，均有a*a＝0；
③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．
（1）填空：1*（1*1）＝　 　，2*（2*2）＝　 　，3*0＝　 　；
（2）猜想a*0＝　 　，并说明理由；
（3）a*b＝　 　（用含a、b的式子直接表示）．
14．已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根．
参考答案与试题解析
一．算术平方根（共2小题）
1．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝　0.1　；y＝　10　；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈　31.6　；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝　32400　；
（3）拓展：已知，若，则z＝　0.012　．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
2．已知实数a，b，c满足：b＝+4，c的平方根等于它本身．求的值．
【解答】解：∵﹣（a﹣3）2≥0，
∴a＝3
把a代入b＝+4得：
∴b＝4
∵c的平方根等于它本身，
∴c＝0
∴＝．
二．立方根（共2小题）
3．若与互为相反数，求的值．
【解答】解：∵与互为相反数，
∴+＝0，
∴1﹣2x+3y﹣2＝0，
1+2x＝3y，
∴＝＝3．
4．已知M＝是m+3的算术平方根，N＝是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．
【解答】解：∵M＝是m+3的算术平方根，N＝是n﹣2的立方根，
∴n﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝12，n＝6，
∴M＝＝，N＝＝，
∴M﹣N＝﹣．
三．实数（共1小题）
5．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是　（0，﹣4）　；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”，
∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”，
∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”，
故答案为：（0，﹣4）；
（2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4
解得，x＝
答：x＝；
（3）不存在．
若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4，
若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4，
若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在．
四．实数与数轴（共3小题）
6．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，
例如：数轴上表示﹣1与﹣2的两点间的距离＝|﹣1﹣（﹣2）|＝﹣1+2＝1；
而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|表示x与﹣2两点间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和5两点之间的距离　7　．
（2）若数轴上表示点x的数满足|x﹣1|＝3，那么x＝　﹣2或4　．
（3）若数轴上表示点x的数满足﹣4＜x＜2，则|x﹣2|+|x+4|＝　6　．
【解答】解：（1）根据题意知数轴上表示﹣2和5两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7，
故答案为：7；
（2）∵|x﹣1|＝3，即在数轴上到表示1和x的点的距离为3，
∴x＝﹣2或x＝4，
故答案为：﹣2或4；
（3）∵|x﹣2|+|x+4|表示在数轴上表示x的点到﹣4和2的点的距离之和，且x位于﹣4到2之间，
∴|x﹣2|+|x+4|＝2﹣x+x+4＝6，
故答案为：6．
7．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是　3　．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　|x+2|　．
③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　．
④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围是　x＞1或x＜﹣3　．
⑤若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x+1|有最　小　值　5　，此时x＝　﹣1　．
【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离＝5﹣2＝3；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|；
③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝﹣x+1+x+3＝4．
④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围是x＞1或x＜﹣3．
⑤若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x+1|有最小值5，此时x＝﹣1．
故答案为：3；|x+2|；4；x＞1或x＜﹣3；小，5，﹣1．
8．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是　3　，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　4　．
（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　|x+2|　．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+5|有最小值吗？若有，请求出最小值．若没有，说出理由．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4．
（2）数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|．
（3）有最小值7，
理由：|x﹣2|表示数轴上x和2两点之间的距离
|x+5|表示数轴上x和﹣5两点之间的距离
当且仅当﹣5≤x≤2时，两距离之和最小为7．
故答案为：3，4；|x+2|．
五．实数大小比较（共1小题）
9．先填写表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝　0.1　，y＝　10　；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈　31.6　；
②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝　10000m　；
（3）试比较与a的大小．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10；
（2）①根据题意得：≈31.6；
②根据题意得：b＝10000m；
（3）当a＝0或1时，＝a；
当0＜a＜1时，＞a；
当a＞1时，＜a，
故答案为：（1）0.1；10；（2）①31.6；②10000m
六．估算无理数的大小（共1小题）
10．已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，的整数部分是c，求3a﹣b+c的值．
【解答】解：∵2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴2a+4＝8，3a+b﹣1＝16，
∴a＝2，b＝11，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴3a﹣b+c＝3×2﹣11+3＝﹣2
七．实数的运算（共4小题）
11．对于任意两个正数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，按照此法则计算3※4＝　　．
【解答】解：根据题中的新定义得：3※4＝＝．
故答案为：
12．在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z） z﹣（﹣4★z）的值为　﹣7　．
【解答】解：根据题中的新定义得：当z＝﹣3时，原式＝（﹣2）★（﹣3）×（﹣3）﹣（﹣4）★（﹣3）＝9﹣16＝﹣7，
故答案为：﹣7
13．定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；
②对于任意的实数a，均有a*a＝0；
③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．
（1）填空：1*（1*1）＝　1　，2*（2*2）＝　2　，3*0＝　3　；
（2）猜想a*0＝　a　，并说明理由；
（3）a*b＝　a﹣b　（用含a、b的式子直接表示）．
【解答】解：（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1，
2*（2*2）＝2*2+2＝2，
3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3
故答案为：1，2，3；
（2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a，
故答案为a；
（3）a*（b*b）＝a*b+b，即a*0＝a*b+b，
而a*0＝a，
故a*b＝a﹣b．
14．已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根．
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2
∴＝＝5，
则5的平方根为：±．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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