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椭圆、双曲线、抛物线
一、椭圆
(一)椭圆的基本定义和方程
1、椭圆的定义：设、是定点，为动点，则满足(为定值且)的动点的轨迹称为椭圆，符号表示：()。
注意：当时为线段，当时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质
定义方程
标准方程 () ()
一般方程 (，，)
推导方程 () ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)
顶点 、、、 、、、
轴 长轴的长为：(为长半轴) 短轴的长为：(为短半轴)
离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，，越大越扁，越小越圆 焦距：
3、椭圆()的图像中线段的几何特征(如图)：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，。
例1-1．判断：
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 (×)
(2)在椭圆定义中，将“大于”改为“等于”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段。 (√)
(3)到两定点和的距离之和为的点的轨迹为椭圆。 (×)
例1-2．椭圆的焦点在 轴上，焦距为 ；椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标为 。
例1-3．已知椭圆的一个焦点为，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
例1-4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 。
(二)椭圆中的焦点三角形：若、是椭圆()的两个焦点，为椭圆上一动点，则称为椭圆的焦点三角形，其周长为。
1、相关性质：
(1)当点从点逆时针运动时，由锐角逐渐增大，到达点时达到最大，过了轴之后又逐渐减小。
(2)设，则。(当且仅当动点为短轴端点时取等号)
(3)设，则焦点三角形的面积。
(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。
(5)，最大值与最小值之差一定是。
2、解与焦点三角形(为椭圆上的点)有关的计算问题
(1)与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
(2)将有关线段、、，有关角()结合起来，建立和之间的关系。
例1-5．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
例1-6．椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，则( )。
A、 B、 C、 D、
例1-7．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是 。
(三)直线与椭圆
1、由方程组，消去导成()，判断。
方程组有两解 两个交点 相交
方程组有一解 一个交点 相切
方程组无解 无交点 相离
2、过椭圆上点切线问题：
若在椭圆()上，则过的椭圆的切线方程是。
3、弦长公式：若直线与椭圆()的交点为、，则叫做弦长。
(韦达定理)。
说明：与分别是直线与曲线方程联立方程组消去后的根的判别式及项的系数。
4、焦点弦公式：椭圆方程为()，半焦距为，焦点、，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于两点、，求弦长。
5、椭圆的斜率公式：
(1)过椭圆上()上一点的切线斜率为。
(2)直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，中点为，则。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，中点为，则有。
(3)若、是椭圆()上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。
(4)若、、、是椭圆()上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、、、的任意一点，则，。
(5)椭圆()与斜率为的直线相交于、两点，的中点为，则有。
例1-8．已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是( )。
A、 B、 C、 D、
例1-9．过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程。
例1-10．已知椭圆的焦点和，长轴长，设直线交椭圆于、两点，求线段的中点坐标。
二、双曲线
(一)双曲线的基本定义和方程
1、双曲线的定义：把平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、曲线的标准方程：
定义方程
标准方程 (，) (，)
一般方程 ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为双曲线的中心)
顶点 、、、 、、、
实轴长(为实半轴)，虚轴长(为虚半轴)，焦距，
渐近线 (或) (或)
离心率 双曲线的焦距与长轴长度的比：，，越大开口越大
例2-1．已知点的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点的轨迹是什么图形？
(1)；
(2)。
例2-2．已知双曲线，点、为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 。
例2-3．过双曲线的左焦点有一条弦交左支于、两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长为 。
例2-4．已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为 。
例2-5．若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 。
例2-6．双曲线：(，)的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距为( )。
A、 B、 C、 D、
(二)双曲线焦点三角形的几个性质
设若双曲线方程为(，)，、分别为它的左右焦点，为双曲线上任意一点，则有：
性质1、若，则；特别地，当时，有。
证明：设，，由余弦定理得，
，由双曲线定义得，带入得，
，。
性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与相切于实轴顶点；且当点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边、、于点、、，双曲线的两个顶点为、，则，∵，
∴，∴在双曲线上，又在上，∴在双曲线与轴的交点，即点、。
性质3、双曲线离心率为，其焦点的旁心为，线段的延长线交的延长线于点，则。
证明：由角平分线性质(三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)得。
性质4、双曲线的焦点中，，，当点在双曲线右支上时，有；当点在双曲线左支上时，有。
证明：由正弦定理知，∴，
∴，
分子分母同除以，得，得。
例2-7．设、分别为双曲线(，)的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
例2-8．已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
(三)双曲线中点弦的斜率公式
性质1、直线(不平行于轴)过双曲线(，)上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆(，)上两点、，中点为，则。
证明：设、，则有，上式减下式得，∴，
∴，∴。
性质2、若、是双曲线(，)上关于原点对称的两点，是双曲线上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。
证明：连结，取中点，连结，则，∴有，
由椭圆中点弦斜率公式得：，∴。
性质3、若、是双曲线(，)上的左、右顶点，是双曲线上除了、的任意一点，则。
(四)双曲线的弦长公式
1、双曲线的焦点弦长公式：设双曲线(，)其中两焦点坐标为、，过的直线的倾斜角为，交双曲线于两点、。则弦长为：
焦点在轴上的焦点弦长：，
焦点在轴上的焦点弦长：，
其中为实半轴，为虚半轴，为半焦距，为的倾斜角。
2、双曲线的普通弦长公式：设直线：与双曲线(，)交于、，且斜率为()，则：
(韦达定理)。
说明：与分别是直线与曲线方程联立方程组消去后的根的判别式及项的系数。
例2-9．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程。
例2-10．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使交双曲线于、两点且点是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由。
三、抛物线
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、抛物线的图形和性质：
(1)顶点是焦点向准线所作垂线段的中点；
(2)焦准距：；
(3)通径：过焦点垂直于轴的弦长为；
(4)顶点平分焦点到准线的垂线段：。
3、抛物线标准方程的四种形式：，，，。
特点：焦点在一次项的轴上，开口与“”方向同向。
4、抛物线的图像和性质：
(1)焦点坐标是：； (2)准线方程是：； (3)焦半径公式：；
(4)抛物线上的动点可设为或。
5、一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
时开口向右 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向左
时开口向上 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向下
6、焦点弦的相关公式：直线经过抛物线()的焦点，且与抛物线相交于、两点，其中、。
(1)焦点弦长公式：过焦点弦长。
证明：；
(2)以为直径的圆必与抛物线的准线相切。
证法：设抛物线方程为()，则焦点，准线：，
设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，
、、在准线上的射影分别是、、，
则，又，
∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，∴命题成立。
(3)，的值。
证法一：设直线的方程为，与抛物线方程()联立可得：，
则，化简得，则，
又，且，则。
证法二：设直线的方程为，与抛物线方程()联立可得：，
则，化简得，则，
又。
(4)直线与直线必经过原点。
证法一：设：，代入，得，
由韦达定理，得，即，
∵轴，且在准线上，∴，
则，故直线经过原点。
证法二：如图，记准线与轴的交点为，过作，垂足为，则，
连结交于点，则，，
∵，，∴，
即是的中点，从而点与点重合，故直线经过原点。
(5)，即。
证明：，，∵、、三点共线，
∴，∴，
∴，∴，即。
(6)。
证明：、，，则，，
则
，
∴。
(7)。
证明：
。
例3-1．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，求线段的长。
例3-2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长。
例3-3．已知、是抛物线()上的两点，满足(为坐标原点)。求证：
(1)、两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
(2)直线经过一个定点。
例3-4．定长为的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离。
例3-5．已知抛物线()，点，为焦点，若抛物线上的动点到、的距离之和的最小值为，求抛物线方程。
例3-6．已知抛物线与直线相交于、两点。
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求的值。
参考答案：
一、椭圆
(一)椭圆的基本定义和方程
1、椭圆的定义：设、是定点，为动点，则满足(为定值且)的动点的轨迹称为椭圆，符号表示：()。
注意：当时为线段，当时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质
定义方程
标准方程 () ()
一般方程 (，，)
推导方程 () ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)
顶点 、、、 、、、
轴 长轴的长为：(为长半轴) 短轴的长为：(为短半轴)
离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，，越大越扁，越小越圆 焦距：
3、椭圆()的图像中线段的几何特征(如图)：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，。
例1-1．判断：
(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 (×)
(2)在椭圆定义中，将“大于”改为“等于”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段。 (√)
(3)到两定点和的距离之和为的点的轨迹为椭圆。 (×)
例1-2．椭圆的焦点在 轴上，焦距为 ；椭圆的焦点在 轴上，焦点坐标为 。
【答案】 和
【解析】由可判断椭圆的焦点在轴上，
由，可得，故其焦距为，
由，可判断椭圆的焦点在轴上，
，焦点坐标为和。
例1-3．已知椭圆的一个焦点为，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】方程变形为，∵焦点在轴上，∴，解得，
又，∴，解得则，故选D。
例1-4．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】，，，解得。
(二)椭圆中的焦点三角形：若、是椭圆()的两个焦点，为椭圆上一动点，则称为椭圆的焦点三角形，其周长为。
1、相关性质：
(1)当点从点逆时针运动时，由锐角逐渐增大，到达点时达到最大，过了轴之后又逐渐减小。
(2)设，则。(当且仅当动点为短轴端点时取等号)
(3)设，则焦点三角形的面积。
证明：设，，由余弦定理得，
由椭圆定义得，带入得，
(最大值为)。
(4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。
(5)，最大值与最小值之差一定是。
证明：的坐标为，的坐标为，
根据椭圆方程得，
，
当时取最小值为，当时取最大值为。
2、解与焦点三角形(为椭圆上的点)有关的计算问题
(1)与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
(2)将有关线段、、，有关角()结合起来，建立和之间的关系。
例1-5．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，
∴，即，∴，即，又，∴，故选B。
例1-6．椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，则( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由余弦定理：，又，
代入化简得，∴，故选C。
例1-7．椭圆上一点满足到左焦点的距离为，则的面积是 。
【答案】
【解析】由椭圆的定义得，∴，
，
∴，则。
(三)直线与椭圆
1、由方程组，消去导成()，判断。
方程组有两解 两个交点 相交
方程组有一解 一个交点 相切
方程组无解 无交点 相离
2、过椭圆上点切线问题：
若在椭圆()上，则过的椭圆的切线方程是。
3、弦长公式：若直线与椭圆()的交点为、，则叫做弦长。
(韦达定理)。
说明：与分别是直线与曲线方程联立方程组消去后的根的判别式及项的系数。
4、焦点弦公式：椭圆方程为()，半焦距为，焦点、，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于两点、，求弦长。
解：连结、，设、，由椭圆定义得、，
由余弦定理得，整理可得，
同理可求，则；
同理可求焦点在轴上的过焦点弦长为(为长半轴，为短半轴，为半焦距)。
结论：椭圆过焦点弦长公式：。
5、椭圆的斜率公式：
(1)过椭圆上()上一点的切线斜率为。
(2)直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，中点为，则。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
(3)若、是椭圆()上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。
证明：如图：连结，取中点，连结，
则，∴有，
由椭圆中点弦斜率公式得：，∴。
(4)若、、、是椭圆()上的左、右、上、下顶点，是椭圆上除了、、、的任意一点，则，。
(5)椭圆()与斜率为的直线相交于、两点，的中点为，则有。
例1-8．已知椭圆()的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】且，根据定理有，即，故选C。
例1-9．过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程。
【解析】设弦所在的直线为，根据椭圆中点弦的斜率公式知，显然，
∴，故所求的直线方程为，即。
例1-10．已知椭圆的焦点和，长轴长，设直线交椭圆于、两点，求线段的中点坐标。
【解析】由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，。
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为。
二、双曲线
(一)双曲线的基本定义和方程
1、双曲线的定义：把平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、曲线的标准方程：
定义方程
标准方程 (，) (，)
一般方程 ()
范围 ， ，
图形
焦点坐标 焦点在轴上， 焦点在轴上，
对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点(这个对称中心称为双曲线的中心)
顶点 、、、 、、、
实轴长(为实半轴)，虚轴长(为虚半轴)，焦距，
渐近线 (或) (或)
离心率 双曲线的焦距与长轴长度的比：，，越大开口越大
例2-1．已知点的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点的轨迹是什么图形？
(1)；
(2)。
【解析】(1)∵表示点到
两定点、的距离之差的绝对值，
，∴，故点的轨迹是双曲线。
(2)∵表示点到两定点、的距离之差，
，∴，故点的轨迹是双曲线的右支。
例2-2．已知双曲线，点、为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 。
【答案】
【解析】，，，，
，，
，，，，，，。
例2-3．过双曲线的左焦点有一条弦交左支于、两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长为 。
【答案】
【解析】∵，，，
∴。
例2-4．已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为 。
【答案】
【解析】焦点坐标，渐近线方程，则点到直线距离。
或利用双曲线渐近线性质：焦点到渐近线距离为。
例2-5．若双曲线以椭圆的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 。
【答案】
【解析】椭圆的焦点在轴上，且，，，∴焦点为，顶点为，
于是双曲线经过点，焦点为，则，，∴，
∴双曲线的标准方程为。
例2-6．双曲线：(，)的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∴，取，即，则，，
∵焦点到渐近线的距离为，∴，
即，解得，则焦距为，故选C。
(二)双曲线焦点三角形的几个性质
设若双曲线方程为(，)，、分别为它的左右焦点，为双曲线上任意一点，则有：
性质1、若，则；特别地，当时，有。
证明：设，，由余弦定理得，
，由双曲线定义得，带入得，
，。
性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与相切于实轴顶点；且当点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边、、于点、、，双曲线的两个顶点为、，则，∵，
∴，∴在双曲线上，又在上，∴在双曲线与轴的交点，即点、。
性质3、双曲线离心率为，其焦点的旁心为，线段的延长线交的延长线于点，则。
证明：由角平分线性质(三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)得。
性质4、双曲线的焦点中，，，当点在双曲线右支上时，有；当点在双曲线左支上时，有。
证明：由正弦定理知，∴，
∴，
分子分母同除以，得，得。
例2-7．设、分别为双曲线(，)的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则双曲线的离心率为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由于双曲线有对称性，则可设点在双曲线右支上，则，而，
两式左右平方后相减得，得，
∴该双曲线的离心率，故选B。
例2-8．已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】，，∴，，， ，设点，
，
∴，，
则，，
∴，∴，故选C。
(三)双曲线中点弦的斜率公式
性质1、直线(不平行于轴)过双曲线(，)上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆(，)上两点、，中点为，则。
证明：设、，则有，上式减下式得，∴，
∴，∴。
性质2、若、是双曲线(，)上关于原点对称的两点，是双曲线上任意一点，当、的斜率和都存在时，有。
证明：连结，取中点，连结，则，∴有，
由椭圆中点弦斜率公式得：，∴。
性质3、若、是双曲线(，)上的左、右顶点，是双曲线上除了、的任意一点，则。
(四)双曲线的弦长公式
1、双曲线的焦点弦长公式：设双曲线(，)其中两焦点坐标为、，过的直线的倾斜角为，交双曲线于两点、。则弦长为：
焦点在轴上的焦点弦长：，
焦点在轴上的焦点弦长：，
其中为实半轴，为虚半轴，为半焦距，为的倾斜角。
2、双曲线的普通弦长公式：设直线：与双曲线(，)交于、，且斜率为()，则：
(韦达定理)。
说明：与分别是直线与曲线方程联立方程组消去后的根的判别式及项的系数。
例2-9．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程。
【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，，
设、则有：，，
两式作差得：，又的斜率是，
∴，代入得，，，∴双曲线标准方程是。
例2-10．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使交双曲线于、两点且点是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由。
【解析】若存在这样的直线的斜率为，则，由双曲线中点弦的斜率公式知：，
此时的方程为：，即，
将它代入双曲线方程并化简得：，
而该方程没有实数根，故这样的直线不存在。
三、抛物线
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2、抛物线的图形和性质：
(1)顶点是焦点向准线所作垂线段的中点；
(2)焦准距：；
(3)通径：过焦点垂直于轴的弦长为；
(4)顶点平分焦点到准线的垂线段：。
3、抛物线标准方程的四种形式：，，，。
特点：焦点在一次项的轴上，开口与“”方向同向。
4、抛物线的图像和性质：
(1)焦点坐标是：； (2)准线方程是：； (3)焦半径公式：；
(4)抛物线上的动点可设为或。
5、一般情况归纳：
方程 图象 焦点 准线 定义特征
时开口向右 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向左
时开口向上 到焦点的距离=到准线的距离
时开口向下
6、焦点弦的相关公式：直线经过抛物线()的焦点，且与抛物线相交于、两点，其中、。
(1)焦点弦长公式：过焦点弦长。
证明：；
(2)以为直径的圆必与抛物线的准线相切。
证法：设抛物线方程为()，则焦点，准线：，
设以过焦点的弦为直径的圆的圆心，
、、在准线上的射影分别是、、，
则，又，
∴，即为以为直径的圆的半径，且准线，∴命题成立。
(3)，的值。
证法一：设直线的方程为，与抛物线方程()联立可得：，
则，化简得，则，
又，且，则。
证法二：设直线的方程为，与抛物线方程()联立可得：，
则，化简得，则，
又。
(4)直线与直线必经过原点。
证法一：设：，代入，得，
由韦达定理，得，即，
∵轴，且在准线上，∴，
则，故直线经过原点。
证法二：如图，记准线与轴的交点为，过作，垂足为，则，
连结交于点，则，，
∵，，∴，
即是的中点，从而点与点重合，故直线经过原点。
(5)，即。
证明：，，∵、、三点共线，
∴，∴，
∴，∴，即。
(6)。
证明：、，，则，，
则
，
∴。
(7)。
证明：
。
例3-1．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，求线段的长。
【解析】抛物线的焦点坐标为，直线方程为，设、，
则由抛物线焦点弦长公式得：，
又、是抛物线与直线的交点，由得，则，∴。
例3-2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个正三角形的边长。
【解析】设正三角形的顶点、在抛物线上，且设点、，
则，，
又，∴，即，
∴，又∵，，，
∴，由此可得，即线段关于轴对称，
∵轴垂直于，且，∴，
∵，∴，∴。
例3-3．已知、是抛物线()上的两点，满足(为坐标原点)。求证：
(1)、两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
(2)直线经过一个定点。
【解析】证明：(1)设、，则，，∴，∵，
∴，由此即可解得：，(定值)。
(2)直线的斜率，
∴直线的方程为，即，
由(1)可得，直线过定点。
例3-4．定长为的线段的两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，求点到轴的最小距离。
【解析】抛物线焦点，准线：，
设点、、在准线上的射影分别是、、，设点，
则，又，，
∴，∴，即的最小值是，
∴点到轴的最小距离是，当且仅当过焦点是取得最小距离。
例3-5．已知抛物线()，点，为焦点，若抛物线上的动点到、的距离之和的最小值为，求抛物线方程。
【解析】注意到抛物线开口大小的不确定性：
(1)当点和焦点在抛物线的异侧时，由三角形性质得，
∴，∴，解得或，
注意到时，抛物线方程为，
此时若，则，与点所在区域不符合，
当时，抛物线方程为 ，当时，，符合此时的情形，
(2)当点和焦点在抛物线的同侧时(如图)，
作准线于点，于，
得，
∴，
∴，解得，
易验证抛物线符合此时情形。
于是综合(1)、(2)得所求抛物线方程为或。
例3-6．已知抛物线与直线相交于、两点。
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求的值。
【解析】(1)证明：设、；∵，，，
由、、共线，∴，
又，∴，∴，
∴，
(2)解：，则得，
∴，。

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