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第五章 三角函数
5.1.1 角的概念的推广
【教学目标】
1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．
2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．
3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．
【教学难点】
任意角和终边相同的角的概念．
【教学方法】
本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
复 习 导 入 1．复习初中学习过的角的定义． 2．提出新问题： 运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？ 师：初中学过的角的定义是什么？ 生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． 师：如图：∠AOB=∠BOA=120 ， 初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°． 复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．
新 课 新 课 新 课 1．任意角的概念． （1）射线的旋转方向： 逆时针方向——正角； 顺时针方向——负角； 没有旋转——零角． 画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角． 例如， ∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°． （2）射线的旋转量： 当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小． 例如450°，－630°． 2．角的加减运算． 90°－30° ＝90°＋（－30°） ＝60°． 各角和的旋转量等于各角旋转量的和． 3．终边相同的角． 所有与α终边相同的角构成的集合可记为 S＝{x x ＝ α ＋ k·360°，k Z}． 例1（1） 写出与下列各角终边相同的角的集合． (1) 45°； (2) 135°； (3) 240°； (4) 330°． 解 略． 4．第几象限的角． 在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置． 处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． 例1（2） 指出下列各角分别是第几象限的角． (1) 45°； (2) 135°； (3) 240°； (4) 330°． 例2 写出终边在y轴上的角的集合． 解 终边在y轴正半轴上的一个角为90°， 终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是 S1＝{α α ＝ 90°＋k·360°，kZ} S2＝{α α ＝－90°＋k·360°，kZ} 所以终边在y轴上的角的集合为 S1∪S2＝{αα＝90°＋k ·360°，kZ} ∪{α α＝－90°＋k·360°，kZ} ＝{α α＝90°＋k ·180°，kZ}． 模仿练习： 写出终边在x轴上的角的集合． 例3 在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？ （1）－120°；（2）640°；（3）－950°． 例4 写出第一象限的角的集合． 解 在0～360°之间，第一象限的角的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是 {αk ·360°＜α＜90°＋k ·360°，kZ}． 教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边. 教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角． 1．教师画图，学生说角的度数． 2．学生练习：画出下列各角： （1）0，360°，720°， 1 080°，－360°，－720°； （2）90°，450°，－270°， －630°． 学生练习：求和并作图表示： 30°＋45°，60°－180°． 师：观察我们刚画过的角， （1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°； （2）90°，450°，－270°， －630°． 思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？ 学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍． 师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？ 得出结论． 例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式． 例1（2）学生口答． 讲解例2时，教师结合教材图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意． 师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？ 生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上． 师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？ －90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？ 这两个集合的并集怎么求？ 例3引导学生画图解决，或者用计算器解答． 教师结合平面直角坐标系讲解例4． 学生分组练习： （1）写出第二象限角的集合； （2）写出第三象限角的集合； （3）写出第四象限角的集合． 可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角． 学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解． 学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解． 将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收． 例2难度较大，教师应详细讲解两个集合如何求并集． 本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．
小 结 1．任意角的概念． 2．角的加减运算． 3．终边相同的角的集合． 4．象限角的概念． 教师带领学生回顾本节课的知识脉络图． 本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．
作 业 教材P127，练习A组第3、4题； 练习B组第1、3题． 巩固拓展．
5.1.2 弧度制
【教学目标】
1. 理解弧度制的概念以及弧长公式，掌握角度制与弧度制的换算．
2. 理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系．
3. 通过教学，使学生体会等价转化与辩证统一的思想．
【教学重点】
理解弧度制的概念，掌握弧度制与角度制的换算．
【教学难点】
理解弧度制的概念．
【教学方法】
本节课采用类比教学法，在复习角度制的基础上引入弧度制，深入探究它们之间的换算方法，使学生认识它们之间相互联系、辩证统一的关系.通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到弧度制的优越性，逐步适应用弧度制度量角．
【教学过程】
环节 教学内容 师生互动 设计意图
复 习 导 入 复习初中学过的角度制． 师：初中学过角度制，1度角是怎么定义的？ 生：把一圆周360等分，则其中一份所对的圆心角是1度角．且1°＝60′，1′＝60″． 师：在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制． 复习角度制．
新 课 新 课 新 课 1. 弧度制的度量单位—— 1弧度的角． (1) 弧长与半径的比值 等于一个常数，只与 的大小有关，与半径长无关． （2）定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度记作 rad． 2．角度制与弧度制的换算公式． 周角＝360°＝＝2π rad， 即 360°＝2π rad． 平角＝180°＝π rad， 即 180°＝π rad． 1°＝rad≈0.017 45 rad， 1 rad＝()≈57.30°＝5718 ． 由此得到 n° 与 rad 的换算公式： ＝ 或者 n°＝ ·（）° 特殊角的弧度数与角度数的互化，见教材 P 130对应值表． 例1 把6730 化成弧度． 解 6730 ＝（）， 6730 ＝ rad× ＝ rad． 练习1 教材P131，练习A组第2题． 例2 把 rad化成度． 解 rad ＝（）× ＝108°． 练习2 教材P131，练习A组第3、4题． 例3 使用函数型计算器，把下列度数化为弧度数或把弧度数化为度数（精确到小数点后4位数）： （1）67°，168°，－86°； （2）1.2 rad，5.2 rad． 解 略． 由于角有正负，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0. 这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 无论是用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系. 3．弧长公式． 由弧度的定义，我们知道弧长l与半径r的比值等于所对圆心角α的弧度数(正值),即 α ＝，得到 l＝ α·r． 这是弧度制下的弧长计算公式. 例4 如图，所对的圆心角为60°，半径为5 cm，求的长 l (精确到 0.1 cm)． B 解 因为 60°＝， 所以 l＝ αr＝×5≈5.2. 即的长约为5.2 cm. 教师引导学生考察圆心角、弧长和半径之间的关系： 如图，两个大小不同的同心圆中圆心角为，设 = n°，则 l＝n ， l' ＝n ， 由此， ＝＝n ． 所以，对于任何一个圆心角，所对弧长与半径的比值是一个仅与角 的大小有关的常数． 这就启示我们可以用圆的半径作单位去度量弧，从而得到一种新的度量角的制度——弧度制． 师举例：若所对的弧长l＝2r，那么圆心角的弧度数就是2 rad； 若所对的弧长l＝3r， 那么圆心角的弧度数是多少？生：3 rad． 若所对的弧长就是l， 那么圆心角的弧度数是多少？ 生：rad． 师：圆的周长所对的圆心角是多少弧度？ 生：圆的周长l＝2πr， 周角＝360°＝＝2π rad，即360°＝2π rad． 师：180°等于多少弧度？90°呢？60°，45°，30°呢？ 得到特殊角的角度数与弧度数的换算．利用教材P130的对应值表或者数轴来记忆特殊角的弧度数． 例1和例2可由学生自己完成，教师只指导书写格式． 相应的练习题的练习方式： （1）教师说出特殊角的角度，学生说弧度； （2）教师说出特殊角的弧度数，学生说角度数． 通过说明同心圆中弧长与半径的比值是一个仅与圆心角α的大小有关的常数，引入1弧度的概念． 由定义出发，让学生在教师的问题引导下自己探究得出角度制与弧度制之间的换算公式和弧长公式． 帮助学生熟记特殊角的弧度数． 熟练角的弧度数与角度数的互化． 在例4中，可加上求扇形的面积一问，为课后 B 组第4题作准备．
小 结 本节知识点： （1）弧度制的定义； （2）角度制与弧度制的换算公式； （3）弧长公式． 让学生根据板书自己总结本节主要内容． 归纳整理知识点，明确弧度制的意义．
作 业 必做题： 教材P 131，练习A 组第6题， 练习B 组第1、2、3题； 选做题： 教材P 132，练习B组第4题．

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