资源简介

22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
教材分析
《二次函数y=ax2的图象与性质》是初中数学（人教版）九年级上第22章二次函数的一节内容。本节内容主要是作函数y=ax2的图象，通过图象研究y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等其他性质。本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的性质。通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2的图象与性质，是进一步学习二次函数的基础。二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。
学情分析
学生已掌握了二次函数的概念，以及初二年所学的函数图象的作法：描点法。对于作出二次函数的图象难度不会很大，但我校学生的水平不是很好，在由特殊的函数到一般的二次函数y=ax2的性质探索过程会有较大的难度，本课通过PPT课件，利用动态的演示使学生直观的发现函数的性质，大大的降低学生理解的难度。
教学设计
【教学目标】
1.知识与技能：
(1)能够利用描点法作出函数y＝x2图象．能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
(2)猜想并能作出y＝－x2的图象，能比较它与y＝x2的图象的异同．
2.过程与方法：
(1)使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识。
(2)经历探索二次函数y＝ax2图象作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验．
(3)由函数y＝x2的图象及性质，对比地学习y＝－x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3.情感态度与价值观：
(1)通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
(2)在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质.
【教学分析】：
教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
【教学设计】
1、知识回顾：
1、二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2、下列函数中,哪些是二次函数？
① ② ③ ④ ⑤
3、你知道下列函数图像分别是什么吗？ （1）y=2x+3 → 一条直线
（2）y=2x → 一条经过原点直线
4、画函数图像一般步骤是什么？ 描点法：列表、描点、连线
2、探究新知：
（一）活动探究：二次函数的图像是什么形状？二次函数有什么性质？
活动一：用描点法画二次函数y=x2的图象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
解：列表得:
如图所示：
活动二：用描点法画二次函数y=-x2的图象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
解：列表得:
如图所示：
归纳：二次函数y=x2、y=-x2的图象都是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线。
二次函数的图象：抛物线，开口向上或向下。
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c
2.探究：观察图像，回答问题
1.函数y=x2、y=-x2图象，具有怎样的对称性？
两个图象都关于y轴对称，(x,y)关于y轴对称的对称点(-x,y)，两图像与其对称轴都有一个交点，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
2.函数y=x2、y=-x2图象，具有怎样的性质？
①y=x2 （a>0）
开口方向：开口向上
顶点：原点(0,0),最低点
增减性：对称轴左侧：y随x的增大而减小
对称轴右侧：y随x的增大而增大
②y=x2（a<0）
开口方向：开口向下
顶点：原点(0,0),最高点
增减性：对称轴左侧：y随x的增大而增大
对称轴右侧：y随x的增大而减小
归纳：二次函数y=ax2的性质
3.巩固练习
1.抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴 侧, y随着x的增大而增大；在对称轴 侧, y随着x的增大而减小,当 x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).
2.抛物线y=-3x2在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随 着x增大而 ；在对称轴的右侧,y随着x增大而 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 .
（二）活动探究
活动三：观察下列二次函数的图像（1）y=x2 (2)y=x2 (3)y=2x2
如图所示：
问：开口大小与什么有关？
当a>0时,抛物线的开口向上, a越大,抛物线的开口越小。
活动四：观察下列二次函数的图像（1）y=-x2 (2)y=-x2 (3)y=-2x2
如图所示：
问：开口大小与什么有关？
当a<0时,抛物线的开口向上, a越小,抛物线的开口越小。
归纳：当a>0时,抛物线的开口向上, a越大,抛物线的开口越小。
当a<0时,抛物线的开口向上, a越小,抛物线的开口越小。
所以，|a|越大,抛物线的开口越小
2.巩固练习
下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 。
三、课堂小结
二次函数 y=ax2 的图像及性质：
1.形状、对称轴、顶点坐标；
2.开口方向、最值、开口大小；
3.对称轴两侧的增减性
四、课堂检测
1、填空：（1）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
（2）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
2、函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求的值.
4、二次函数在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.
5、已知函数是关于x的二次函数，求：
(1).满足条件的m的值；
(2).m为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；
(3).m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
五、课后作业
1.暗线本B:P41 习题22.1 T3 T4
2.《课堂10分钟》P76
3.《课后作业》P137
板书设计
22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
①y=x2 （a>0）
开口方向：开口向上
顶点：原点(0,0),最低点
增减性：对称轴左侧：y随x的增大而减小
对称轴右侧：y随x的增大而增大
②y=x2（a<0）
开口方向：开口向下
顶点：原点(0,0),最高点
增减性：对称轴左侧：y随x的增大而增大
对称轴右侧：y随x的增大而减小

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