资源简介

24.1.4圆周角(1)教学设计
教材分析：
本节课源于人教版九年级上册《24.1.4圆》的第四节“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的又一个新概念，圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。其中圆周角定理的推理过程，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论、类比探究和一般到特殊的化归思想，使学生学通过学习、体会“化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般”的思考方法，不断提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。
教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如猜想、观察度量、实验操作、几何画板的演示、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。
学情分析 九年级的学生已经初步具有了一定的演绎推理能力和合作学习的经验，因此，通过老师设计的学案，拟尝试让学生独立自主的阅读思考和在同伴引领下进行合作交流。
基于上述分析，确定本节课教学目标：
教学目标：
1.通过自主阅读理解圆周角定义，并能准确识别一个角是否为圆周角。
2.经历直观操作、合作交流、动画演示与推理论证等的有机结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展演绎推理能力，体会分类讨论、类比探究和转化化归等数学思想和方法对解决问题的重要性。
3.会运用圆周角定理及推论进行简单的证明和计算，并在学习中通过不断的反思，进行知识的建构与整合，渗透优化意识，提高学习能力。
4.在同伴合作交流过程中不断提升几何语言表达能力，体验成功的快乐。
教学重点：圆周角定理及其应用．
教学难点：定理的推理证明和灵活应用.
教学方法：问题引领的启发式教学法、演示法
教学过程：
1．情景引入
通过小明对球场射门最佳位置的判断，使学生体会数学与生活的密切联系和数学建模思想在“用数学知识解决实际问题”中的重要性，引出新课。
（一）.知识链接
提问：1.什么叫圆心角？圆心角与弦、弧之间的关系？学生口答。
2．类比圆心角的概念猜想圆周角的概念是什么？出示三个顶点在圆上的角，让学生辨析哪一个是圆周角？
【设计意图】一方面引起认知冲突，二是启发学生知识之间都存在着联系，学习中养成善于分析、思考，勤于对比发现的意识，导入新课。
（二）出示课题
（三）出示学习目标
【设计意图】明确清晰的目标是成功的一半
二.探究新知
活动一 1、自主学习P85，掌握圆周角概念，并思考以下问题：
1）什么是圆周角？它与圆心角的不同点是什么？相同点是什么？
2）掌握圆周角需要把握几个要点？
【设计意图】对比课本中圆周角的概念和课头猜想，有意引导学生知道从书本中寻求答案的阅读习惯。
2、检测1，判断给出的六个角哪个是圆周角？并说明理由。
【设计意图】检测并强化学生对圆周角概念的进一步理解。
活动二 探知圆周角定理
启发：由知识内在联系切入
对比：圆周角与圆心角的相同点.
猜想：同弧所对的圆周角与圆心角之间有怎样的关系？
尝试实践：
1、 画一画，量一量 完成问题1
要求在右边图1的圆中画出弧AB所对的圆心角和圆周角，并回答：
弧AB所对的圆心角有 1 个，度数是 60
弧AB所对的圆周角有 无数 个,度数 30
2、这 无数 个圆周角能分成几类呢？
（先让学生自己画图、观察、体会，然后小组内比较得出结论：可 分成三类;老师再利用“几何画板”演示，增强直观印象）
3、观察问题1中圆周角和圆心角的度数，你有何发现？在通过
图2、图3验证你的发现，并用自己的语言把你的发现表达出来。
4、命题：一条弧所对圆周角是它所对的圆心角的一半.
5、 几何画板演示：此命题对任意一条弧都成立。
【设计意图】引导学生探究未知问题的思路方法。
6、证明命题
【设计意图】此命题是根据三个弧所对的圆周角和圆心角的特殊值而发现的，没有一般性；通过几何画板演示能确定命题对任意弧都成立，但仅是一种直观感受，缺乏理论依据且有误差。任何一个命题要想作为一个定理拿来用，就必须通过科学、严谨的逻辑推理来进行理论证明。
1）使学生明白数学的本质：符号数学。
2）命题证明的一般步骤
3）由题意画图时，提醒学生一条弧所对的圆周角是无限多的，应按照分类标准全部列举并一一证明。
4） 如何写已知和求证
先引导学生写出“已知：如图在⊙O中， 弧AB 所对圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB ”、“求证：”
启发学生从特殊情况入手证明:①圆心在圆周角的一条边上．（这种情况容易，提问一个学生口答老师板书）证明完之后，启发学生思考这种情况最特别之处是什么？（有经过圆周角顶点的直径）
提问：“如何将后两种一般情况转化为第一种特殊情况呢？”（小组讨论，然后分别找一个代表板书）
②圆心在圆周角的内部．(可以用1）中结论)
③圆心在圆周角的外部．(可以用1）中结论)
【设计意图】 通过“从特殊到一般再到特殊”的转化化归，考查了学生对定理的多角度的理解，并通过“分割和补全图形法”引导学生“从复杂图形中分解出基本图形”的训练，培养空间识图能力。
7、圆周角定理：将之前板书的“命题”改成“定理”即可.
通过启发学生对关键字、词的分析、观察、思考、交流中得出：
推论1. 同弧或等弧所得圆周角相等. （都等于圆心角的一半）
推论2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.
（先通过“几何画板”演示得特殊情况并让学生说明理由）
活动三 巩固应用
检测1判断
1．等弧所对的圆周角相等；（ ） 2. 相等的圆心角所对的弧相等；（ ）
3．相等的圆周角所对的弧相等；（ ）4．90°的角所对的弦是直径；（ ）
5．同弦所对的圆周角相等．（ ）
检测2、 如图(左图)，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？（点拨：由“弧”找“等角”）
【设计意图】强调应用定理的几个细节和考虑问题的方法
检测3.例题示范
例3.⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长．（启发学生用不同方法解答）
解法1.连接OD，利用∠ACD=∠DCB得∠AOD=∠BOD（根据圆周角定理），从而得∠AOD=∠BOD=90°，进而解得AD、BD的长.
解法2.直接利用∠ACD=∠DCB得∠ABD=∠DAB（根据推论1“同弧所对圆周角相等”）进而解得AD、BD的长.
【设计意图】通过一题多解，一方面可以灵活思维，二可达到定理的巩固应用之目的，三可让学生感受应用推论解决问题比定理更简洁明了的原因，四启发学生思维的多样化对优化意识的形成的重要性，五启发学生如何进行知识的建构与整合。
检测4.
4.如图（右图），圆心角∠AOB=100°, 点C是优弧 上一点（不和点A、B重合），则∠ACB= 50°．
变式训练：若将点C“优弧ACB”改成点C在“圆”上呢？
（需要分情况讨论点C在优弧上或点C在劣弧上，答案：50°或130°）
【设计意图】强调圆周角与圆心角直接的关系和弧的多样性
活动四.课堂小结
请同学们用自己的话归纳一下本节课你都学会了什么（知识、思想方法、情感体验）？还有哪些疑惑吗？
【设计意图】 强化不断反思的重要性
活动五 达标检测
1.已知：⊙O中弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角和圆周角的度数分别是_____.
2. 2.已知：BE是⊙O的直径，点C在BE上，以BC为边做◇ABCD,且点A、D都在圆上，
∠ADC=620，∠AEB度数是
3．⊙O中半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的点，∠APC=∠BPC=600,
求证：△ABC是等边三角形
【设计意图】 了解数学对知识的了解情况
选做
4．（2016河南）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC、BM于点D、E。
（1）求证：MD=ME
(2) 填空：① 若AB=6，当AD=2DM时，DE=
② 连结OD、OE，当∠A的度数为 时，四边形ODME是菱形。
5．（2015河南）如图，已知经过原点O的⊙P与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C
是劣弧OB上一点，则∠ACB=______.
6．如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，
延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.（1）求证：△CDP≌△POB；
（2）填空： ① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为____；
② 连接OD，当∠PBA的度数为______时，四边形 BPDO是菱形.
【设计意图】分层布置作业。
活动六 布置作业：P89-5，P90-14
思考： 你能用三角尺确定一个圆形纸片的圆心吗？截止到现在你能有多少种方
法确定一个圆形纸片的圆心呢？
思考： 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧___________．
【设计意图】激发兴趣
板书设计
课题 定理推导 例题板演
1、圆周角 板演
2、定理
【设计意图】明确知识脉络，形成知识块。

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