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(共45张PPT)
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人教版数学六年级下册
六年级下册—人教版—数学—第三单元
圆柱的体积（三）例7
学习准备
会灵活运用圆柱的体积计算方法解决不规则图形的体积问题。
经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，提高解决问题的能力，体会转化等数学思想方法，发展空间观念。
体会数学知识与实际生活的联系，增强应用意识。
学习目标
不规则的图形
规则的图形
转化
倒入
思考
你能求出这个瓶子的容积吗？
水
不规则的图形
思考
你能求出这个瓶子的容积吗？
倒入
规则的图形
转化
8cm
一个内直径是 8 cm 的瓶子里，
水的高度是7 cm，
把瓶盖拧紧倒置放平，
无水部分是圆柱形，
这个瓶子的容积是多少？
高度是18 cm。
（数学书第27页）
例7
7cm
18cm
这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接计算容积。
能不能转化成圆柱呢？
阅读与理解
8cm
7cm
18cm
瓶子的容积 ＝
水的体积
＋ 空气的体积
（数学书第27页）
例7
分析与解答
水
无水
空气
＋
空气
＝
水
空气
水
？
8cm
7cm
18cm
水
空气
（数学书第27页）
例7
瓶子的容积 ＝
水的体积
＋ 空气的体积
水
空气
＋
空气
＝
水
空气
水
＋
＝
水
空气
水
空气
瓶子的容积 ＝
水的体积
＋ 空气的体积
分析与解答
8cm
7cm
18cm
（数学书第27页）
例7
体积不变
瓶子的容积 ＝
水的体积
＋ 空气的体积
＋
空气
＝
水
空气
水
＋
＝
水
空气
水
空气
瓶子在倒置前和倒置后，
什么变了？什么不变？
分析与解答
水
空气
水
空气
体积不变
转化
水
水
空气
空气
8cm
7cm
18cm
（数学书第27页）
例7
体积不变
瓶子的容积 ＝
水的体积
＋ 空气的体积
＋
空气
＝
水
空气
水
＋
＝
水
空气
水
分析与解答
水
空气
水
空气
体积不变
转化
空气
空气
？
8cm
7cm
18cm
（数学书第27页）
例7
体积不变
＋
＝
水
空气
水
分析与解答
水
空气
水
空气
体积不变
空气
瓶子的容积 ＝
＋
倒置前
水的体积
倒置后
空气的体积
8cm
7cm
18cm
（数学书第27页）
例7
体积不变
＋
＝
水
空气
水
分析与解答
水
空气
水
空气
体积不变
空气
3.14×(8÷2)2×7
3.14×(8÷2) 2×18
＋
答：这个瓶子的容积是1256mL。
= 3.14× 16×（7+18）
= 3.14× 16× 25
= 1256 (mL)
= 1256 (cm )
瓶子的容积 ＝
＋
倒置前
水的体积
倒置后
空气的体积
水
8cm
7cm
18cm
（数学书第27页）
例7
体积不变
分析与解答
空气
水
空气
体积不变
水
空气
空气
空气
18cm
水
空气
3.14×(8÷2) 2×(7 + 18)
= 3.14× 16 × 25
= 1256 (cm )
= 1256 (mL)
答：这个瓶子的容积是1256mL。
8cm
7cm
18cm
空气
瓶子的容积 ＝
＋
倒置前
水的体积
倒置后
空气的体积
（数学书第27页）
例7
方法一：
方法二：
一个内直径是 8 cm 的瓶子里，
水的高度是7 cm，
把瓶盖拧紧倒置放平，
无水部分是圆柱形，
这个瓶子的容积是多少？
高度是18 cm。
回顾与反思
（数学书第27页）
例7
回顾与反思
方法一：
方法二：
一个内直径是 8 cm 的瓶子里，
水的高度是7 cm，
把瓶盖拧紧倒置放平，
无水部分是圆柱形，
这个瓶子的容积是多少？
高度是18 cm。
（数学书第27页）
例7
回顾与反思
水
空气
＋
水
空气
水
空气
不规则的图形
规则的图形
转化
五年级：
阅读数学书第27页例7
12cm
一个内半径是3cm的瓶子里，水的高度是8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是12cm。这个瓶子的容积是多少？
V瓶子 ＝
方法一:
V空气
V水
练一练
＝ 3.14×9×(8+12)
＝ 28.26 × 20
＝ 565.2 (cm3)
＝ 565.2 (mL)
答：这个瓶子的容积是565.2mL。
＋
3.14×32×12
3.14×32×8
8cm
1.
体积不变
体积不变
水
空气
水
空气
＋
练一练
V 瓶子＝S底面（h水+h空气）
＝ 3.14×9×20
＝ 565.2（ cm3）
＝ 565.2（mL）
答：这个瓶子的容积是565.2mL。
一个内半径是3cm的瓶子里，水的高度是8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是12cm。这个瓶子的容积是多少？
1.
12cm
8cm
体积不变
体积不变
水
空气
水
空气
12cm
方法二:
3.14×32×（8+12）
练一练
方法一：
V瓶子＝
＋ V空气
V水
＝ 3.14×9×(8+12)
＝ 28.26 × 20
＝ 565.2 (cm3)
＝ 565.2 (mL)
答：这个瓶子的容积是565.2mL。
3.14×32×12
＋
3.14×32×8
V 瓶子＝S底面（h水+h空气）
3.14×32×（8+12）
＝ 3.14×9×20
＝ 565.2（ cm3）
＝ 565.2（mL）
答：这个瓶子的容积是565.2mL。
方法二：
一个内半径是3cm的瓶子里，水的高度是8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是12cm。这个瓶子的容积是多少？
1.
一瓶装满的水，小丽喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高7cm，内半径是3cm。小丽喝了多少水？
正确的列式是（ ）。
(改编数学书第27页“做一做”）
空气
10cm
空气
7cm
转化
① 3.14×32×10＋3.14×32×7
② 3.14×32×7
③ 3.14×32×10
②
喝了的水的体积＝空气部分的体积
+ = 瓶子的容积
剩余的水的体积
练一练
2.
水的体积
空气的体积
水
一个内直径是 8 cm 的瓶子里，水的高度是7 cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18 cm。这个瓶子的容积是多少？
一个内半径是3cm的瓶子里，水的高度是8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是12cm。这个瓶子的容积是多少？
一瓶装满的水，小丽喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高7cm，内半径是3cm。小丽喝了多少水？
体积不变
体积不变
体积不变
例7.
1.
2.
思考：是否瓶子中无论装多少水，都可以用倒置的方法求出瓶子的容积呢？
练一练
3.
装很少水
不规则
不规则
空气
空气
（不规则）
（规则）
练一练
思考：是否瓶子中无论装多少水，都可以用倒置的方法求出瓶子的容积呢？
3.
瓶子的容积 ＝
＋
水的体积
空气的体积
装很多水
练一练
（规则）
（不规则）
思考：是否瓶子中无论装多少水，都可以用倒置的方法求出瓶子的容积呢？
3.
水
不规则
不规则
水
瓶子的容积 ＝
＋
水的体积
空气的体积
空气
装适量水
规则
空气
不规则
练一练
（不规则）
（规则）
（规则）
思考：是否瓶子中无论装多少水，都可以用倒置的方法求出瓶子的容积呢？
3.
瓶子的容积 ＝
＋
水的体积
空气的体积
一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块完全浸在
这个容器的水中的铁块取出后，水面下降2cm。这块铁块的
体积是多少？
10cm
2cm
转化
(数学书第29页第10题）
4. （1）
练一练
10cm
2cm
转化
3.14×(10÷2)2×2
答：这块铁块的体积是157cm3。
= 3.14× 25 × 2
= 157 (cm3)
= 3.14× 52×2
(数学书第29页第10题）
4. （1）
练一练
一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块完全浸在
这个容器的水中的铁块取出后，水面下降2cm。这块铁块的
体积是多少？
一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块铁块完全
浸在这个容器的水中，水面上升2cm，这时水和铁块的总体
积是549.5cm3，原来水面的高度是多少？
10cm
2cm
(改编数学书第29页第10题）
4. （2）
练一练
cm
答：原来水面的高度是5cm。
原来水面
的高度
－
现在水面
的高度
水上升
的高度
÷
水和铁块
的总体积
容器的
底面积
（未知）
（未知）
S底 ：
3.14×(10÷2)2
= 3.14×25
= 78.5(cm )
h现 ：
549.5÷78.5
= 7(cm)
h原 ：
7 － 2
= 5(cm)
课堂小结
我们利用了体积不变的特性，把不规则图形
转化成规则图形来计算。
转化
1. 复习数学书第27页例7。
2. 完成数学书第27页“做一做”。
3. 预习数学书第31页和第32页的例1，准备直角三角形
纸和小棒。
课后作业：
谢 谢 观 看！
六年级下册—人教版—数学—第三单元
圆柱的体积（三）例7 答疑
你能灵活运用转化的方法解决生活中的数学问题吗？
有一个高是24cm，底面半径是10cm的圆柱形容器，里面装有一半水，现在有一根长是30cm，底面半径是2cm的圆柱形铁棒，将铁棒垂直放入水中，使铁棒的底面与容器接触，这时水面的高度是多少厘米？
cm
12cm
24÷2=12（厘米）
314 x ＝ 3768＋12.56 x
314 x－ 12.56 x ＝ 3768
301.44 x ＝ 3768
x ＝ 12.5
答：这时水面的高度是12.5cm。
cm
12cm
R=10cm r = 2cm
水面升高后大圆柱
的体积
=
原有水的体积
铁棒浸没部分
的体积
+
转化
+
cm
解：设这时水面的高度是x cm。
(3.14×102) x
3.14×102 ×12
(3.14×22 ) x
＝
＋
cm
12cm
R=10cm r = 2cm
转化
解：设这时水面的高度是x cm。
cm
(3.14×102) x
(3.14×22 ) x
3.14×102 ×12
－
＝
(3.14×102－ 3.14×22 ) x ＝ 3768
3.14× ( 102－ 22 ) x ＝ 3768
x ＝ 12.5
301.44 x ＝ 3768
答：这时水面的高度是12.5cm。
底面是圆环形 底面圆环
的柱体体积 的面积
× 高
=
底面是圆环形 底面圆环
的柱体体积 的面积
高 =
÷
原有水的
体积
铁棒浸没部分的
体积
=
-
水面升高后大圆柱
的体积
cm
12cm
R=10cm r = 2cm
转化
cm
底面是圆环形 底面圆环
的柱体体积 的面积
高 =
÷
V水 = πR2h
= 3.14×102×12
= 3.14× 100×12
= 3768 (cm3)
S圆环 = π(R2－r2)
= 3.14×(102－ 22 )
= 3.14×(100－4 )
= 301.44 (cm2)
h = V水÷ S圆环
= 3768÷ 301.44
= 12.5 (cm)
答：这时水面的高度是12.5cm。
有一个高是24cm，底面半径是10cm的圆柱形容器，里面装有一半水，现在有一根长是30cm，底面半径是2cm的圆柱形铁棒，将铁棒垂直放入水中，使铁棒的底面与容器接触，这时水面的高度是多少厘米？
化繁为简
化难为易
转化
谢 谢 观 看！“圆柱的体积（三） 例 7”教学设计
教学内容：
义务教育教科书《数学》 （人教版） 六年级下册第 27 页例 7 及相关内容。
教材分析：
本课是修订版教材新增的一个问题解决例题。教材呈现了一个装了小半瓶水的矿泉水
瓶，下部是圆柱形，而上部是一个不规则立体图形。给出了瓶子平置时水的高度和倒置时 无水的高度，要求这个瓶子的容积。教材在“阅读与理解”环节，在理解题意的基础上， 提炼出“这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接计算容积”这一问题情境，促进学生进 一步思考提出问题“能不能转化成圆柱呢”； “分析与解答”环节，承接前面提出的问题， 引导学生通过观察，比较水瓶倒置前后的水瓶内的变化情况，发现水瓶的容积无论是倒置 前后，总是瓶内水的体积与无水部分的体积（之和） 。进一步发现，水瓶倒置前后，水的 体积与无水部分（即空气） 的体积都是不变的，并且倒置前，瓶内水的形状是一个圆柱， 而倒置后，无水部分（即空气） 的形状是一个圆柱，这两个圆柱的体积（之和） 就是瓶子 的容积。教材呈现了两种不同的表达分析结果的方式，以帮助学生更好地理解解决问题的 实质。整个教学过程，学生经历了将不规则形状转化为规则形状，把未知知识转化为已学 知识的过程，感受了发现过程中的“变”与“不变”， 揭示了解决问题的本质。这有利于 提高学生的分析问题与解决问题的能力。“回顾与反思”部分，与以前计算不规则图形体 积的方法进行比较，对转化的思想和方法，适度抽象概括，有利于丰富完善学生的认知结 构，提高解决问题的能力。
学情分析：
本节课是在学生已经掌握了长方体、正方体、圆柱的体积计算方法，以及用“排水法” 解决不规则物体体积的基础上进行学习的，并且学生具备发现问题和思考问题的能力，能 够发现问题并对所发现的问题进行理性的思考，对问题解决积累了一定的经验和方法。但 学生对于不规则物体容积的解决方法知之甚少，所以本节课从学生的生活中熟悉的水瓶导 入，引导学生发现问题、提出问题，运用转化的策略分析并解决问题，在这一过程中提高 学生的问题意识，激发学生的探究欲望，在探究的过程中理解和掌握转化的思想，体会转 化的实质是“变中有不变”。即通过这一例题的教学，使学生真正经历发现问题、提出问 题、分析问题、解决问题的完整过程，同时进一步发展解决问题的能力，体会并理解其中 蕴含的数学思想。
教学目标：
1.会灵活运用圆柱的体积计算方法解决不规则图形的体积问题。
2.经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，提高解决问题的能力，体会转化等 数学思想方法，发展空间观念。
3.体会数学知识与实际生活的联系，增强应用意识。
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教学重点：
掌握计算不规则物体的体积或容积的解题策略和方法。
教学难点：
会把不规则立体图形转化为圆柱。
教学过程：
一．复习旧知，提出问题。
1.回顾旧知。
2.提出问题。
讨论： 这里有一个瓶子，老师想知道这个瓶子的容积，你能帮我想想办法吗？
小结： 求瓶子的容积，可以转化为求水的体积，这样，就可以将这个不规则的瓶子的
容积，转化为规则的图形的体积来计算。
二．探索新知，体会转化。
出示例 7： 一个内直径是 8cm 的瓶子里，水的高度是 7cm ，把瓶盖拧紧倒置放平，无
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水部分是圆柱形，高度是 18cm 。这个瓶子的容积是多少？
1.阅读与理解。
（1）结合示意图，理解题意。
（2）发现和提出问题。
想一想： 要求这个瓶子的容积，最大的困难在哪？
引导学生通过观察，发现和提出问题： 这个瓶子不是一个完整
的圆柱，无法直接计算容积。能不能转化成圆柱呢？
2.分析与解答。
（1） 引导观察倒置前的瓶子。
通过观察，学生发现： 瓶子的容积=水的体积+空气的体积。
水的部分是圆柱形，可以直接计算，但是空气部分还是不规 则图形。
思考： 空气部分的体积该怎么计算呢？ 能转化成规则的图形来计算吗？
（2） 引导观察倒置后的瓶子。
观察发现，把瓶子倒置放平后，
瓶子的容积=水的体积+空气的体积。
还发现了，原本不规则的空气部分，转化成一个规则的圆柱
形。
（3） 分析倒置前、后瓶子容积之间的关系。
提问： 瓶子在倒置前和倒置后，什么变了？ 什么不变？
引导学生发现倒置前、后，水和空气的形状变化了，空气部分
从不规则图形转化成规则的圆柱形，但是瓶子的容积不变； 水的体
积不变； 空气部分的体积也不变。
提问： 刚才不规则形状的空气体积，现在可以求出来了吗？
小结： 根据瓶子倒置前后，空气体积不变的特性，可以用倒置后规则的圆柱形空气部
2
分来替换原来不规则形状的空气部分，从而求出空气的体积。
（4） 明确解题思路。
提问： 可以怎样求这个瓶子的容积呢？
学生体会到，借助转化的方法和体积不变的特性，将不规则的瓶子转化成了两个完整 的规则的圆柱，也就是把瓶子的容积转化成了两个圆柱的体积。
小结： 瓶子的容积=倒置前水的体积+倒置后空气的体积。
（5） 独立计算，解答问题。
①方法一： 瓶子的容积=倒置前水的体积+倒置后空气的体积
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3.14×（8÷2） ×7+3.14×（8÷2） ×18
= 3.14×16×（ 7+18）
= 3.14×16×25
= 1256（cm ）
= 1256（mL）
②方法二： 先将不规则的瓶子转化成规则的圆柱， 3.14×（8÷2） ×（7+18）
= 3.14×16×25
= 1256（cm ）
= 1256（mL）
3.回顾与反思。
（1） 检验计算方法。
再计算瓶子的容积。
两种不同的方法都求出了瓶子的容积，既可以将瓶子的容积转化成两个圆柱体积之和； 还可以转化成大圆柱来计算瓶子的容积。发现方法二是方法一的简便计算。
（2） 回顾解决问题的方法。
利用了体积不变的特性，将瓶子倒置，把不规则图形转化成规则图形来计算。像这样 的方法，在以前的数学学习中就用到过，如五年级计算梨的体积时，也是用了转化的方法。
4.看书质疑。
三．巩固练习，学以致用。
1.一个内半径是 3cm 的瓶子里，水的高度是 8cm ，把瓶盖拧紧倒
置放平，无水部分是圆柱形，高度是 12cm。这个瓶子的容积是多少？
（1）独立思考，列式解答。
（2）汇报方法。
（3）小结： 借助转化的数学方法，可以解决不规则的瓶子的容积问题。
2.一瓶装满的水，小丽喝了一些，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水
部分高 7cm ，内半径是 3cm 。小丽喝了多少水？ 下面哪个选项的列
式是正确的？ （改编书本第 27 页做一做） 。
3
①3.14×3 ×10+ 3.14×3 ×7
②3.14×3 ×7
③3.14×3 ×10
小结： 要求小丽喝了多少水就是求空气部分的体积，因此，要找出合适的数学信息来 解决问题。
3. 思考： 是否瓶子中无论装多少水，都可以用倒置的方法求出瓶子的容积呢？
观察，归纳：
（1） 装很少水时，瓶子倒置前、后的空气部分的形状都是不规则
的，所以无法直接计算出瓶子的容积。
（2） 装很多水时，瓶子倒置前、后的水的部分的形状都是不规则
的，所以无法直接计算出瓶子的容积。
（3） 装适量水时，用倒置的方法，把瓶子的容积转化成两个圆柱的体积，就可以将 不规则的图形转化成规则的图形来计算。
4.（ 1）一个圆柱形玻璃容器的底面直径是 10cm ，把一块完全浸在这个容器的数中的
铁块取出后，水面下降 2cm 。这块铁块的体积是多少？
①思考： 铁块的体积与什么有关？ 怎样转化？
②计算解答。
③小结： 求出下降部分的圆柱形水的体积，就可以间接地求出铁块
的体积。
（2）一个圆柱形玻璃容器的底面直径是 10cm ，把一块铁块完全浸在这个容器的水
中，水面上升 2cm ，这时水的体积是 549.5mL ，原来水面的高度是多少？
①独立思考，解决问题。
②汇报方法。
③小结： 现在水的体积=原有水的体积+铁块的体积，铁块的体积可以转化成高是 2cm
的圆柱形，因此，只要求出现在水的高度，再减去放入铁块后水上升的高度，就可以求出 原有水的高度。
四．课堂小结。
五．布置作业。
1.复习数学书第 27 页例 7。
2.完成数学书第 27 页做一做。
3.预习数学书第 31 页和第 32 页的例 1，准备直角三角形纸和小棒。
421世纪教育网(www.21cnjy.com)
“圆柱的体积（三） 例 7”答疑环节设计
执教者： 广州市海珠区工业大道中小学 张秀芳
备课团队： 广州市海珠区小学数学学科研课团队
答疑： 你能灵活使用转化的方法解决生活中的数学问题吗？
一．提出问题。
有一个高是 24 厘米，底面半径是 10 厘米的圆柱形容器，里面装有一半水，现在有一 根长是 30 厘米，底面半径是 2 厘米的圆柱形铁棒，将铁棒放入水中，如果使铁棒的底面 与容器接触，那么这时水面的高度是多少厘米？
二．解决问题。
1.观察思考，巧用转化。
想一想： 可以转化成什么图形来计算呢
引导学生用今天所学的转化的方法来解决问题。
2.灵活运用，解决问题。
（1）方法一： 根据“水面升高后大圆柱的体积=原有水的体积+铁棒浸没部分的体积” 的等量关系，可以转化成两个圆柱的体积之和来计算，列方程解答。
解： 设这时水面的高是 xcm 。 （3.14×10 ） x = 3.14 ×10 ×12+（3.14×2 ） x
314x= 3768+12.56x
314x-12.56x=3768
301.44x=3768
x=12.5
答： 这时水面的高度是 12.5cm。
（2）方法二： 根据“水面升高后大圆柱的体积-铁棒浸没水部分的体积=原有水的体 积”的等量关系，可以转化成两个圆柱的体积之差来计算，列方程解答。
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解： 设这时水面的高是 xcm。
（3.14×10 ） x -（3.14×2 ） x= 3.14×10 ×12
（3.14×10 -3.14×2 ） x= 3768
3.14×（ 10 -2 ） x=3768
301.44x=3768
x=12.5
答： 这时水面的高度是 12.5cm。
同时发现，求这种底面是圆环形的柱体，也可以用“底面圆环的面积×高”来计算它 的体积，那么它的高就可以用“底面是圆环形的柱体体积÷底面圆环的面积”来计算了。 解答如下：
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V 水= πR h 3.14×10 ×12
= 3.14×100×12
S 圆环= π(R -r ) 3.14 ×（ 10 -2 ） = 3.14 ×（ 100-4）
= 3768（cm ） = 301.44（cm ）
h=V÷S 圆环 3768÷301.44=12.5 （cm）
答： 这时水面的高度是 12.5cm。
三. 小结。
转化的方法就是我们在解决问题时遇到困难，能够利用已有知识和经验，灵活的将复 杂的问题转化为简单的问题来解答。因此，我们能恰当的活用“转化”的思想方法，将会 收到化繁为简，化难为易的奇妙效果。

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