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第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
教学设计
一、教学目标
1. 了解条件概率的概念；
2. 掌握求条件概率的两种方法；
3. 能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
条件概率的概念及计算.
2. 教学难点
利用条件概率公式解决简单的实际问题.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示.
团员 非团员 合计
男生 16 9 25
女生 14 6 20
合计 30 15 45
在班级里随机选择一人做代表，
（1）选到男生的概率是多大？
（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？
（二）探索新知
随机选择一人做代表，则样本空间包含45个等可能的样本点.用表示事件“选到团员”，表示事件“选到男生”，根据表中的数据可以得出，，，.
（1）根据古典概型知识可知，选到男生的概率.
（2）“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为. 此时相当于以为样本空间来考虑事件发生的概率，而在新的样本空间中事件就是积事件，包含的样本点数.根据古典概型知识可知，.
问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭.随机选择一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？
观察两个小孩的性别，用表示男孩，表示女孩，则样本空间，且所有样本点是等可能的.用表示事件“选择的家庭中有女孩”，表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则，.
（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率.
（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件发生的条件下，事件发生”的概率，记为. 此时成为样本空间，事件就是积事件.根据古典概型知识可知，.
在上面两个问题中，在事件发生的条件下，事件发生的概率都是.
这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上，若已知事件发生，则成为样本空间.此时，事件发生的概率是包含的样本点数与包含的样本点数的比值，即.
因为，所以，在事件发生的条件下，事件发生的概率还可以通过来计算.
定义：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
在问题1和问题2中，都有.一般地，与不一定相等.如果与相等，那么事件与应满足什么条件？
直观上看，当事件与相互独立时，事件发生与否不影响事件发生的概率，这等价于成立.
事实上，若事件与相互独立时，即，且，则；反之，若，且，则，即事件与相互独立.
因此，当时，当且仅当事件与相互独立时，有.
对于任意两个事件与，如果已知与，如何计算呢？
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则.我们称上式为概率的乘法公式.
例1 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：
（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；
（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.
解法1：设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”.
（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间包含20个等可能的样本点，即.
因为，所以.
（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件发生的条件下，事件发生的概率. 显然.利用条件概率公式，得.
解法2：在缩小的样本空间上求.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件发生的条件下，事件发生的概率为.
又，利用乘法公式可得.
从例1可知，求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间，先计算和，再利用条件概率公式求；另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“发生”的条件后，样本空间缩小为，求就是以为样本空间计算的概率.
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则
（1）；
（2）如果和是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则.
例2 已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？
解：用分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，.
；
；
.
因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.
事实上，在抽奖问题中，无论是放回还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关.
例3 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：
（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.
解：（1）设“第次按对密码”，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为.
事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得
.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为.
（2）设“最后1位密码为偶数”，则
.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.
（三）课堂练习
1.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由题意得，，，则.故选D.
2.若，，则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立 D.事件A与B互斥又相互独立
答案：C
解析：，事件A与B相互独立.故选C.
3.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，发出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为( )
A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72
答案：C
解析：记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，，.
4.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充放电2500次的概率为___________.
答案：
解析：设事件A为充放电次数达到2000，事件B为充放电次数达到2500，则由题意知，，所求事件为A发生的条件下B发生，其概率为.
5.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）求在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.
答案：（1）从6名成员中挑选2名成员，有种情况，
记“男生甲被选中”为事件M，
若男生甲被选中，则只需再从另外5人中选1人，有种选法，
故.
（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，
则，又由（1）知，
所以.
（3）记“被选中的两人为一男一女”为事件S，
则，
“女生乙被选中”为事件N，
则，
故.
（四）小结作业
小结：1. 条件概率及概率的乘法公式；
2. 条件概率的性质.
作业：
四、板书设计
7.1.1 条件概率
1. 条件概率：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
2. 当时，当且仅当事件与相互独立时，有.
3. 概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则.我们称上式为概率的乘法公式.
4. 条件概率的性质：设，则
（1）；
（2）如果和是两个互斥事件，则；
（3）设和互为对立事件，则.

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