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第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.4 组合数
教学设计
一、教学目标
1. 理解组合数的概念，掌握组合数公式及组合数性质；
2. 认识组合与排列之间的区别与联系；
3. 能运用组合数公式解决一些简单的应用问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
组合数的概念及推导过程.
2. 教学难点
组合数的性质及应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：排列数的概念.
我们把从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
思考：组合数与排列数有什么区别和联系呢？
（二）探索新知
类比排列数，归纳组合数的概念.
从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数.
运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数.设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如下图所示，因此组合数.
观察上图，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”：
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法.
于是，根据分步乘法计数原理，有，即.
同样地，求“从n个元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有.
因此，.这里，并且.这个公式叫做组合数公式.
因为，所以上面的组合数公式还可以写成.
另外，规定.
例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）.
解：根据组合数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
例2 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.
（1）有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为；
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为.
（3）方法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为.
方法2 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即.
（三）课堂练习
1.已知，则( )
A.14 B.15 C.13 D.12
答案：D
解析：由题知，，由组合数的性质知，，
所以，所以，得.
故选D.
2.已知，下面恒成立的等式是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：由组合数公式可知选项A错误；由排列数公式可知选项B正确；由组合数的性质可知，则选项C，D均错误.故选B.
3.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
答案：C
解析：从6名男医生中选出2名男医生有种选法，从5名女医生中选出1名女医生有种选法，所以不同的选法有种，故选C.
4.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方法有___________种.
答案：56
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有种排法.
5.蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员参加一项救援.
（1）若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
（2）若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
（3）若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同的选法？
答案：（1）共有12名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10名中选3名即可，有种不同的选法.
（2）若甲、乙两人均不能参加，则从剩下的10名中选5名即可，有种不同的选法.
（3）由总的选法数减去5名都是男救援员的选法数，得到的就是至少有一名男救援员和一名女救援员参加的选法数，即有种不同的选法.
（四）小结作业
小结：（1）组合数与组合数公式的概念；
（2）组合数公式的应用.
作业：
四、板书设计
6.2.4 组合数
1. 组合数的概念：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.
2. 组合数公式：，这里，并且.
还可以写成.
规定.

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