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第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
教学设计
一、教学目标
1. 掌握二项式系数的性质及其应用；
2. 掌握“赋值法”并会灵活运用.
二、教学重难点
1. 教学重点
理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用.
2. 教学难点
理解和初步掌握赋值法及其应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：二项式定理.
公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：.
下面我们一起来探究二项式系数的性质.
（二）探索新知
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由得到.
2.增减性与最大值
因为，即，所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小.
当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和
已知，令，得.这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.
例1 求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明：在展开式中，
令，，则得.
即.
因此，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
（三）课堂练习
1.在的展开式中，二项式系数的最大值为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为，故选B.
2.在的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：偶数项的二项式系数的和为，即，
故展开式的中间项为.故选C.
3.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中的系数为( )
A.40 B.30 C.20 D.10
答案：D
解析：的展开式中，各二项式系数和为.
令，可得各项系数的和为，
，其展开式的通项为，令，可得，
故展开式中的系数为，故选D.
4.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含的项的二项式系数为___________.
答案：10
解析：展开式的各项系数和为243，令，可得，解得.
展开式的通项.
令，得，
展开式中含的项的二项式系数为.
5.在的展开式中，求：
（1）各二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和.
答案：（1）的展开式中各二项式系数的和为.
（2）令，得，
所以各项系数的和为1.
（3）的展开式中奇数项的二项式系数的和为，
偶数项的二项式系数的和为.
（四）小结作业
小结：二项式系数的性质：（1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）各二项式系数的和.
作业：
四、板书设计
6.3.2 二项式系数的性质
1. 对称性
2. 增减性与最大值
3. 各二项式系数的和

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