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诱导公式与对称
【教学目标】
根据角的终边的对称关系，推导并掌握对应的诱导公式.
【教学重难点】
诱导公式的应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
1．特殊角的终边的对称关系:
（1）－α的终边与角α的终边关于x轴对称；
（2）π＋α的终边与角α的终边关于原点对称；
（3）π－α的终边与角α的终边关于y轴对称．
2．诱导公式
（1）sin(α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α.
（2）sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.
（3）sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π－α)＝cos α.
（4）sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.
（5）sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.
二、合作探究
1．给角求值
【例1】求下列函数值：
（1）cos(－1 290°)；（2）sin 1 230°；（3）cos ；
（4）sin cos＋sincos .
【思路探究】
利用诱导公式把所求角化到锐角的正弦、余弦函数求值．
解析：
（1）cos(－1 290°)＝cos 1 290°
＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°
＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
（2）sin 1 230°＝sin(150°＋3×360°)＝sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝.
（3）cos ＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
（4）sin cos＋sincos
＝sincos ＋sin·cos
＝－sin cos ＋sin
＝－×＋×＝0.
[变式训练]
1．（1）sin 120°cos 210°的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
（2）求下列各三角函数式的值：
①sin 1 320°；②cos.
解析：
（1）由诱导公式可得，
sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－×＝－，故选A．
（2）①方法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
方法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
②方法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos ＝－.
方法二：cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
2．利用诱导公式化简
【例2】设k为整数，化简：.
【思路探究】
求解本题时，可以对整数k分奇数、偶数讨论，也可以根据(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ并结合诱导公式将题目中的角均转化为kπ＋α.
解析： 方法一： 当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝
＝－1．
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝
＝－1．
综上可得，原式＝－1．
方法二： 由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，
[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，
得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，
cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)．
又sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
故原式＝＝－1．
【规律方法】
三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清晰地显示式子中所有项之间的关系，其变形过程就是统一角、统一函数名称的过程，所以对式子变形时，一方面要注意角与角之间的关系，另一方面要根据不同的变形目的，对公式进行合理选择．化简的基本要求是：（1）能求出值的求出值；（2）使三角函数名称尽量少；（3）使项数尽量少；（4）使次数尽量低；（5）使分母尽量不含三角函数；（6）使被开方数(式)尽量不含三角函数．
[变式训练]
2．化简下列各式：
（1）；
（2）.
解析：
（1）原式＝＝＝1．
（2）原式＝
＝
＝
＝＝＝＝－.
[误区警示]
对诱导公式理解不透彻致错
◎设θ是钝角，化简：cos(2π－θ)．
【错解】 因为θ是钝角，所以2π－θ在第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－cos θ.
【错因分析】 错解中没有理解使用诱导公式时角θ的意义．一般视θ为锐角，则2π＋θ、π－θ、π＋θ、2π－θ分别看作是第一、第二、第三、第四象限的角，再由相应的原函数的角所在象限确定符号．
【正解】 视θ为锐角，则2π－θ相应地视为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cos θ.
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