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2.4 二次函数的应用(2)
教材分析
从题目来看，“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题．但是你知道吗 这正是我们研究的二次函数的范畴．因为二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值．而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题．因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践．即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释．
在教学中，要对学生进行适时的引导，并采用小组讨论的方式掌握本节课的内容，从而发展学生的数学应用能力．
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
(二)能力训练要求
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．
2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
教学重点
1．探索销售中最大利润问题．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．
教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
教学方法
在教师的引导下自主学习法．
教具准备
投影片三张
第一张：(记作§2.4.2 A)
第二张：(记作§2.4.2 B)
第三张：(汜作§2.4.2 C)
教学过程
Ⅰ. 创设问题情境，引入新课
[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2.y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢 看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢 我们本节课将研究有关问题．
Ⅱ．讲授新课
一、有关利润问题
投影片：(§2.4.2 A)
服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.
厂家批发单价是多少时,可以获利最多
设批发单价为x(0(1)销售量可以表示为 ；
(2)销售额可以表示为 ；
(3)所获利润可以表示为 ；
(4)当批发单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ．
[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．
获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘以T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13-x)元，每降低0.1元，可多售出500件，降低了10(13-x)元，则可多售出5000(13-x)件，因此共售出5000+5000(13-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x-10)[5000+5000(13-x)]．
经过分析之后，大家就可回答以上问题了.
[生](1)销售量可以表示为5000+5000(13-x)=70000-5000x．
(2)销售额可以表示为x(70000-5000x)=70000x-5000x2．
(3)所获利润可以表示为
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)＝-5000x2+120000x-700000．
(4)设总利润为y元，则
y＝-5000x2+120000x-700000
=-5000(x-.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值．
当x＝12元时，
y最大=20000元.
即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20000元．
例2 某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道例题.
二、做一做
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗 我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000．
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确 你是怎么做的 与同伴进行交流．
[生]因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．
所以y＝-5x2+100x+60000
＝-5(x2-20x+100-100)+60000
＝-5(x-10)2+60500．
当x=10时，y最大=60500．
[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗
[生]正确．
三、议一议(投影片§2.4.2B)
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上
[生]图象如上图．
(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．
四、补充例题
投影片：(§2.4.2C)
已知——个矩形的周长是24 cm．
(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．
(2)画出这个函数的图象．
(3)当a长多少时，S最大
[师]分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．
[生](1)S=a(12-a)＝a2+12a＝-(a2-12a+36-36)＝-(a-6)2+36．
(2)图象如下：
(3)当a＝6时，S最大=36．
Ⅲ．课堂练习
P49
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500．
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
Ⅳ．课时小结
本节课经历了探索一种商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．
Ⅴ．课后作业
习题2.9
Ⅵ．活动与探究
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大 最大利润为多少
解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50-x)元，则可多售出3(50-x)，所以y＝90+3(50-x)=-3x+240．当50(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x-40)元，平均每天的利润为W＝(240-3x)(x-40)＝-3x2+360x-9600．
(3)W＝-3x2+360x-9600
＝-3(x2-120x+3600-3600)-9600
=-3(x-60)2+1200．
所以此二次函数图象的顶点坐标为(60，1200)．
当x＝40时，W=-3(40-60)2+1200＝0；
当x＝70时，W=-3(70-60)2+1200=900．
草图略．
(4)要求最大利润，也就是求函数的最大值，只要知道顶点坐标即可．
由(3)得，当x＝60时，W最大＝1200．
即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．
板书设计
2.4 二次函数的应用(2)
一、1．有关利润问题(投影片§2.4.2A)
2．做一做
3．议一议(投影片§2.4.2B)
乙补充例题(投影片§2.4.2C)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
1 / 62.4 二次函数的应用(1)
教材分析
本节课要经历探索长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
在实际背景中解决最优化问题，不是很容易的一件事．首先，实际问题的叙述往往比较长，使人感到问题很难，其次，分析其中各个量之间的关系也不是—件轻松的事情，要想解决好这类问题，一是不要有畏难情绪，我们都可以学会解决应用问题；二是要读懂问题．明确要解决的问题是什么；三要分析问题中各个员之间的关系，把问题表示为数学的形式．在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步一步地得到问题的解．
在教学中应引导学生按照上面的步骤进行．首先要给学生自信心，然后要告诉学生如何去分析已知和未知条件，分析问题中各个量之间的关系，把实际问题抽象为数学问题，即二次函数问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
教学目标
(一)教学知识点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)能力训练要求
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．
教学方法
教师指导学生自学法．
教具准备
投影片四张
第一张：(记作§2.4.1A)
第二张：(记作§2.4.1B)
第三张：(记作§2.4.1C)
第四张：(记作§2.4.1D)
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
Ⅱ．新课讲解
一、情境引入
投影片；(§2.4.1A)
如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD．其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示
(2)设长方形的面积为y m2．当x取何值时，y的值最大 最大值是多少
[师]分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=(40-x).
(2)要求面积的最大值．即求函数y=AB·AD=x·(40-x)的最大值，就转化为数学问题了．
下面请大家讨论写出步骤．
[生](1)∵BC//AD，
∴△EBC∽△EAF． ∴.
又AB＝x，BE=40-x，
∴. ∴BC=(40-x).
∴AD＝BC=(40-x)＝30-x．
(2)y＝AB·AD=x(30-x)= -x2+30x
=-(x2-40x+400-400)
=-(x2-40x+400)+300
=-(x-20)2+300
当x=20时， y最大=300.
即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300m2．
[师]很好．刚才我们先进行了分析．要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗
[生]不很难．
[师]下面我们换一个条件．看看大家能否解决．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢 与同伴交流．
[生]要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求．
解：∵DC//AB，
∴△FDC∽△FAE．
.
∵AD=x，FD＝30-x．
∴.
∴DC=(30-x).
∴AB=DC=(30-x).
y=AB·AD=x·(30-x)
=-x2+40x
=-(x2-30x+225-225)
=-(x-15)2+300.
当x=15时，y最大=300．
即当AD的长为15 m时，长方形的面积最大，最大面积是300 m2
二、例题解析
投影片：(§2.4.1B)
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时，窗户的面积是多少
[师]通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗
[生]可以．
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最大，而由于4y+4x+3x+πx＝7x+4y+πx=15，所以y=．面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=-3.5x2+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：∵7x+4y-πx＝15，
∴y=.
设窗户的面积是S(m2)，则
S=πx2+2xy
=πx2+2x·
=πx2+
=-3.5x2+7.5x
=-3.5(x2-x)
=-3.5(x-).
∴当x＝≈1.07时，
S最大=≈4.02.
即当x≈1.07 m时，S最大≈4.02 m2，此时．窗户通过的光线最多．
[师]大家做得非常棒．
三、议一议
[师)我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢 与同伴进行交流．
[生]首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．
[师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：
投影片：(§2.4.1C)
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的．
Ⅲ．课堂练习
投影片：(§2.4.1D)
1．一养鸡专业户计划用116 m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大 最大为多少
解：设AB长为x m，则BC长为(116-2x)m，长方形面积为Sm2，根据题意得
S＝x(116-2x)＝-2x2+116x＝-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.
当x＝29时，S有最大值1682，这时116-2x＝58．
即设计成长为58 m，宽为29 m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面积为1682 m2．
Ⅳ．课时小结
本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
Ⅴ．课后作业
习题2.8 1、2、3
Ⅵ．活动与探究
已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：
板书设计
§2.4 二次函数的应用(1)
一、1．情境引入(投影片§2.4.1A)
2．例题解析(投影片§2.4.1B)
3．议一议(投影片§2.4.1C)
二、课堂练习(投影片§2.4.1D)
三、课时小结
四、课后作业
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