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(共34张PPT)
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人教版数学六年级下册
数学思考（例3）
利用等量关系进行有理有据的推理。
2. 经历有理有据的推理过程，感受推理的严谨性。
3. 体会数学的乐趣，学会有理有据地表达，发展推理的能力。
学习目标
一、创设情境，温故知新
1.欣赏故事：《曹冲称象》
一、创设情境，温故知新
1.欣赏故事：《曹冲称象》
等量代换：一个量用与它相等的量来代替。
大象的重量＝石头的重量
一、创设情境，温故知新
2.复习“等式的性质”
等式的性质①：等式两边同时加或减同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质②：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），左右两边仍然相等。
等量代换：一个量用与它相等的量来代替。
1.认识“等量代换”
二、结合例题，交流方法
例3 △、□、○、☆、◎各代表一个数。
（1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。
求△和□的值。
①
②
△＋□＝24
△＝□＋□＋□
二、结合例题，交流方法
例3 △、□、○、☆、◎各代表一个数。
（1）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□。
求△和□的值。
△
△
把①式中的△等量代换成□＋□＋□，可以得到：
△ ＋ □ ＝ 24
（□＋□＋□）
＋ □ ＝ 24
4 × □ ＝ 24
□ ＝ 6
那么，△ ＝ □ ＋ □ ＋ □
＝ 3 × □
＝ 3 × 6
＝ 18
共同量：△
①
②
二、结合例题，交流方法
例3 △、□、○、☆、◎各代表一个数。
（2）已知○＋☆＝160，◎＋☆＝160。
○是否等于◎？
①
②
○＋☆＝160
◎＋☆＝160
二、结合例题，交流方法
例3 △、□、○、☆、◎各代表一个数。
（2）已知○＋☆＝160，◎＋☆＝160。
○是否等于◎？
☆
☆
∵ ☆代表同一个数，
方法一：
根据等式的性质，等式两边同时减去☆，
①式可得，○＋☆－☆＝160－☆，即○＝160－☆，
①
②
②式可得，◎＋☆－☆＝160－☆，即◎＝160－☆。
∴ ○＝◎。
二、结合例题，交流方法
例3 △、□、○、☆、◎各代表一个数。
（2）已知○＋☆＝160，◎＋☆＝160。
○是否等于◎？
160
160
○＋☆＝◎＋☆
○＋☆－☆＝◎＋☆－☆
○＝◎
方法二：
已知两个等式都等于160，所以○＋☆＝◎＋☆。
根据等式的性质，等式两边同时减去☆，
可以得到：
①
②
二、结合例题，交流方法
例3 △、□、○、☆、◎各代表一个数。
（2）已知○＋☆＝160，◎＋☆＝160。
○是否等于◎？
☆
☆
左边
右边
方法三：
根据等式的性质，将两个等式的两边分别相减，
○＋☆
160
◎＋☆
160
＝
－
－
（ ）
○－◎
＝
∴ ○＝◎。
①
②
0
思考：如何才能够有理有据地推理说明？
方法小结
等量代换
等式的性质
有理有据地推理说明
· · · ·
二、巩固练习，对比交流
1. 已知☆－△＝12，☆＝△＋△＋△。
求☆和△的值。
①
②
☆－△＝12
☆＝△＋△＋△
二、巩固练习，对比交流
1. 已知☆－△＝12，☆＝△＋△＋△。
求☆和△的值。
把①式中的☆等量代换成△＋△＋△，可以得到：
☆ － △ ＝ 12
（△＋△＋△）
－ △ ＝ 12
2 × △ ＝ 12
△ ＝ 6
那么，☆ ＝ △ ＋ △＋ △
＝ 3 × △
＝ 3 × 6
＝ 18
☆
☆
①
②
二、巩固练习，对比交流
2. 已知△＋□＋□＝7，△＋△＋△＋□＋□＝13。
求△和□的值。
①
②
△＋□＋□＝7
△＋△＋△＋□＋□＝13
二、巩固练习，对比交流
2. 已知△＋□＋□＝7，△＋△＋△＋□＋□＝13。
求△和□的值。
把②式中的△＋□＋□等量代换成7，可以得到：
△＋□＋□
△＋□＋□
△＋△＋△＋□＋□＝13
△＋△＋
2×△＝6
7
＝13
由①式得，3＋□＋□＝7，求得□＝2。
△＝3
方法一：
①
②
二、巩固练习，对比交流
2. 已知△＋□＋□＝7，△＋△＋△＋□＋□＝13。
求△和□的值。
□＋□
方法二：
□＋□
由①式得，□＋□＝7－△。
①
②
把②式中的□＋□等量代换成7－△，可以得到：
△＋△＋△＋□＋□＝13
（7－△）
△＋△＋△＋
＝13
2×△＝6
△＝3
由①式得，3＋□＋□＝7，求得□＝2。
二、巩固练习，对比交流
2. 已知△＋□＋□＝7，△＋△＋△＋□＋□＝13。
求△和□的值。
方法三：
①
②
△＋△＋△＋□＋□－（△＋□＋□）＝13－7，
由①式得，3＋□＋□＝7，求得□＝2。
△＋□＋□
△＋□＋□
即2×△＝6，求得△＝3。
根据等式的性质，由②式减①式可得，
二、巩固练习，对比交流
2. 已知△＋□＋□＝7，△＋△＋△＋□＋□＝13。
求△和□的值。
①
②
△
□
△
△
△
□
□
□
方法四：
4×△＋4×□＝7＋13，
由①式得，5＋□＝7，求得□＝2。
即4×（△＋□）＝20，求得△＋□＝5。
根据等式的性质，由①式加②式可得，
由①式得，△＋2＋2＝7，求得△＝3。
方法小结
一个符号可以等量代换
一组符号也可以等量代换
方法小结
有理有据
地推理说明
共同量
的特点
等式的性质
等量代换
二、巩固练习，对比交流
○＋□＝91
△＋□＝63
△＋○＝46
3. ○、□、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、□、△的值。
①
②
○＋□＝91
△＋□＝63
△＋○＝46
③
二、巩固练习，对比交流
○＋□＝91
△＋□＝63
△＋○＝46
3. ○、□、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、□、△的值。
△
△
○
○
□
□
根据等式的性质，将三个等式的两边分别相加，
可得，2×○＋2×□＋2×△＝91＋63＋46，
即2×(○＋□＋△)＝200，求得○＋□＋△＝100。
由④式减①式可得，△＝100－91＝9。
由④式减②式可得，○＝100－63＝37。
方法一：
①
②
③
由④式减③式可得，□＝100－46＝54。
④
二、巩固练习，对比交流
○＋□＝91
△＋□＝63
△＋○＝46
3. ○、□、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、□、△的值。
□
□
根据等式的性质，由①式减②式可得，
即○－△＝28。
根据等式的性质，由③式加④式可得，
方法二：
由①式得，37＋□＝91，求得□＝54。
由③式得，△＋37＝46，求得△＝9。
①
②
△＋○＋（○－△）＝46＋28，
④
○＋□－（△＋□）＝91－63，
③
即2×○＝74，求得○＝37。
生活中的“等量代换”
在原始社会，人们使用以物易物的方式，交换自己所需要的物资，比如一头羊换一把石斧。但是有时候受到用于交换的物资种类的限制，不得不寻找一种能够为交换双方都能够接受的物品。这种物品就是最原始的货币。牲畜、盐、稀有的贝壳、珍稀鸟类羽毛、宝石、沙金、石头等不容易大量获取的物品都曾经作为货币使用过。
现在社会网络发达，人们会在共享平台进行以物易物，把自己不用的闲置品拿出来跟别人交换还有用处的东西，达到“ 各得其所，换得双赢”。
课后作业
1.复习本节课内容（数学书第101页例3）。
2.数学书第104页第9题（2）。
数学思考（例3）答疑
答 疑
小红第一次买了2支毛笔和3支铅笔，花了19元，
第二次买了1支毛笔和1支铅笔，花了8元，
1支毛笔多少元？1支铅笔多少元？
由题意列等式，2×毛笔单价＋3×铅笔单价＝19，毛笔单价＋铅笔单价＝8。
①式可以改写成 2×（毛笔单价＋铅笔单价）＋铅笔单价＝19。
由②式得，毛笔单价＋3＝8，求得毛笔单价＝5。
答：1支毛笔5元，1支铅笔3元。
把（毛笔单价＋铅笔单价）等量代换成8，
可得，2×8＋铅笔单价＝19，求得铅笔单价＝3。
①
②
答 疑
小红第一次买了2支毛笔和3支铅笔，花了19元，
第二次买了1支毛笔和1支铅笔，花了8元，
1支毛笔多少元？1支铅笔多少元？
由题意列等式，2×毛笔单价＋3×铅笔单价＝19，毛笔单价＋铅笔单价＝8。
根据等式的性质，②式两边同时乘2，
2×毛笔单价＋3×铅笔单价－（2×毛笔单价＋2×铅笔单价）＝19－16，
答：1支毛笔5元，1支铅笔3元。
可得，2×毛笔单价＋2×铅笔单价＝16。
①
②
根据等式的性质，由①式减③式可得：
③
求得铅笔单价＝3。
由②式得，毛笔单价＋3＝8，求得毛笔单价＝5。
答 疑
2支钢笔的价钱相当于4支毛笔的价钱，
3支毛笔的价钱相当于12支铅笔的价钱，
1支钢笔的价钱可以买（ ）支铅笔。
由题意列等式，2×钢笔单价＝4×毛笔单价，3×毛笔单价＝12×铅笔单价，
毛笔单价
可得，6×钢笔单价＝48×铅笔单价，
8
12×毛笔单价
＝48×铅笔单价
12×毛笔单价，
6×钢笔单价＝
×3
×4
×4
×3
①
②
毛笔单价
÷6
÷6
钢笔单价 ＝8×铅笔单价，
∴ 1支钢笔的价钱可以买8支铅笔。
谢谢观看！
谢谢
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(例 3——利用等量关系进行有理有据的推理)
教学内容：
六年级下册人教版数学第 101 页例 3 及相关练习。
教材分析：
本节课是六下整理复习中的内容，让学生利用等量关系进行有理有据的推理， 旨在让学生在推理方面得到更多的训练，进一步发展逻辑推理能力和解决问题的 相关能力。同时，本节课的学习也为学生提前铺垫解方程的方法、发展代数思想 作准备。
学情分析：
六年级的学生已具备一定的解决问题的能力和基础，但本节课对于学生的分 析思考能力有很高的要求。学生在学习本节课内容时会比较抽象、困难，虽然能 够得出结论，但在表达上会出现逻辑性不强、严谨性不够、语言不规范等问题。 对学生来说，数学的学习不仅仅是对知识点的熟记，更重要的是数学思想与方法 的获得。
教学目标:
1. 利用等量关系进行有理有据的推理。
2. 经历有理有据的推理过程，感受推理的严谨性。
3. 体会数学的乐趣，学会有理有据地表达，发展推理的能力。
教学重点：利用等量关系进行有理有据的推理
教学难点：用数学语言表达推理过程
教学过程：
一、创设情境，温故知新
1. 介绍内容，展开课堂
2. 播放《曹冲称象》微课，引入“等量代换”
师：故事中的大象和石头有什么关系呢？大象的重量等于石头的重量。因为 大象的重量和石头的重量相等，所以把大象的重量转换成石头的重量，从而解决 了问题。在这里体现了一种重要的数学思想——等量代换，代换就是代替、替换 的意思。等量代换就是一个量用与它相等的量去代替。
3. 复习等式的性质
师：等式的性质① ，等式两边同时加或减同一个数，左右两边仍然相等。等 式的性质② ，等式两边同时乘或除以同一个数 (0 除外)，左右两边仍然相等。
师：今天我们就应用“等量代换”和“等式的性质”来进行有理有据的推理 说明。
【设计意图：通过熟悉的故事，引入“等量代换”的思想，激发学生的学 习兴趣，让学生感知曹冲称象实际上是称石头的重量，相等的量才能互换。】
二、结合例题，交流方法
1. 用“等量代换”推理说明
方法：
把△＋□＝24 中的△等量代换成□＋□＋□ 。可得， □＋ (□＋□＋□)
＝24，4×□＝24， □＝6。那么，△ ＝ □＋□＋□＝18。
师小结：
在这个问题中，首先要明确等式和等式之间的关系，找到共同量，把△＋□ ＝24 这个等式中的△转化为 3 个□的和。通过等量代换把两种符号转换成一种 符号，就使问题变得明朗了。
2. 用“等式的性质”推理说明
方法一：
根据等式的性质，等式两边同时减去☆ ，可以推出○＝160－☆ ， ◎＝160 －☆ 。因为☆代表同一个数，所以○＝ ◎。
方法二：
已知两个等式都等于 160，所以○＋☆＝ ◎＋☆ ，根据等式的性质，等式两 边同时减去☆ ，可以得到○＝ ◎。
方法三：
根据等式的性质，将两个等式的两边分别相减，可以推出○－◎＝0，所以 ○ ＝ ◎。
师小结：
同学们，在刚才分析这道题的过程中，我们不仅说明了等式与等式的关系， 还说明了每一步推理的依据，这就叫做有理有据的推理说明。
3. 方法总结
师：现在我们一起来对刚才的例题进行一下小结，如何才能有理有据地推理 说明呢？在推理之前，要先分析等式和等式之间的关系，找到共同量。可以应用 等量代换的方法，还可以应用等式的性质，有时还需要一些数学概念，来帮助我
们有理有据地推理说明。
【设计意图：通过例题的学习让学生明确自己要学会什么，在遇到此类题的 时候要用到什么数学知识和方法去解决，体会何谓有理有据的推理说明。在例 题中给予正确的示范，让学生在后续练习中可以模仿学习。】
三、 巩固练习，对比交流
1. 一个符号的“等量代换”
方法：
把☆－△＝12 中的☆等量代换成△＋△＋△ 。可得，(△＋△＋△) －△ ＝12，2×△＝12，△＝6。那么，☆ ＝△＋△＋△＝18。
2. 一组符号的“等量代换”
方法一 (等量代换)：
把△＋△＋△＋□＋□＝13 中的△＋□＋□等量代换成 7，可得△＋△＋7 ＝13,即 2×△＝6，求得△＝3。 由△＋□＋□＝7，可得 3＋□＋□＝7,求得□ ＝2。
方法二 (等量代换)：
把△＋□＋□＝7 改写成□＋□＝7－△ ，把△＋△＋△＋□＋□＝13 中的 □＋□等量代换成 7－△ ，可得△＋△＋△＋ (7－△) ＝13，即 2×△＝6，求 得△＝3。由△＋□＋□＝7，可得 3＋□＋□＝7,求得□＝2。
方法三 (等式的性质)：
根据等式的性质，将两个等式的两边分别相减， 由②式减①式可以得到，2 ×△＝6，求得△＝3。由①式可以得到 3＋□＋□＝7,求得□＝2。
方法四 (等式的性质)：
根据等式的性质，将两个等式的两边分别相加， 由①式加②式可以得到，4 × (△＋□) ＝20，求得△＋□＝5， 由①式可得 5＋□＝7，求得□＝2。再由 ①式可得△＋2＋2＝7，求得△＝3。
师小结：
对比两道练习，不仅一个符号可以等量代换，一组符号也可以看作一个整体 进行等量代换。其中第二道练习，根据等式和等式之间的关系、共同量的特点， 既可以应用等量代换，也可以用等式的性质来推理说明。
3. 结合经验，辨析方法
方法一 (等式的性质)：
根据等式的性质，三个等式的两边分别相加，可得，2× (○＋□＋△) ＝ 91＋63＋46， ○＋□＋△＝100。已知， ○＋□＝91，根据等式的性质，可得△ ＝100－91＝9。由△＋□＝63，可得○＝100－63＝37。由△＋○＝46，可得□ ＝100－46＝54。
方法二 (等式的性质)：
根据等式的性质，前两个等式的两边分别相减，可得， ○－△＝28。已知， △＋○＝46，根据等式的性质，可得○－△＋△＋○＝28＋46，2×○＝74， ○ ＝37。已知，△＋○＝46，可得△＋37＝46，△＝9。已知， ○＋□＝91，可得 37＋□＝91， □＝54。
师小结：
同学们，通过第三道练习，可见尽管有多种符号，如果找到等式和等式之间 的关系、共同量的特点，我们可以应用等式的性质，把多种符号转换成一种符号， 从而解决问题。
【设计意图：设置了三道练习，第一题是例题 (1) 的题型再现， 旨在让学 生模仿分析推理过程，明晰步骤，知道每一步的推理依据；第二题是与第一题 的类比练习，让学生知道“一组符号也可以作为整体等量代换”，同时该题多种 方法的呈现能够让学生积累解决问题的策略；第三题难度增加，对学生的分析 思考能力要求更高，通过此题让学生加深对推理过程的感悟。】
四、分享生活中的“等量代换”
原始社会和现代生活的以物易物
五、课后作业
1. 复习本节课内容 (数学书第 101 页例 3)。
2. 数学书第 104 页第 9 题 (2)。
六、小结
师：以上就是今天的内容，谢谢！
七、答疑设计
答疑一
师：前面提到的等量代换的例子都是符号等式，能够让我们直观地找到共同
量，在生活中有很多等量代换的例子，当在具体情境中，我们又该怎么做？
师：由题意列等式，2×毛笔单价＋3×铅笔单价＝19，毛笔单价＋铅笔单价 ＝8，把①式改写成 2× (毛笔单价＋铅笔单价) ＋铅笔单价＝19。把 (毛笔单 价＋铅笔单价) 等量代换成 8，可得 2×8＋铅笔单价＝19，求得铅笔单价＝3， 由②式可得毛笔单价＋3＝8，求得毛笔单价＝5。
师：可见，在解决具体情境的问题时，我们可以把文本通过数学的形式梳理 出来，这样会使数量关系更加地清晰。
师：那么这道题，还有不同的方法吗？根据等式的性质②，②式两边同时乘 2，可得 2×毛笔单价＋2×铅笔单价＝16。将这个等式编号为③式，根据等式的 性质，由①式减③式可以得到，铅笔单价＝3，由②式可得毛笔单价＋3＝8，求 得毛笔单价＝5。
答疑二
师：再来看看这道题。
师：由题意列等式，2×钢笔单价＝4×毛笔单价，3×毛笔单价＝12×铅笔单 价。根据等式的性质② ，①式的两边同时乘 3，①式可以转化为 6×钢笔单价＝ 12×毛笔单价，②式的两边同时乘 4，②式可以转化为 12×毛笔单价＝48×铅笔
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单价，可以得到 6×钢笔单价＝48×铅笔单价，再根据等式的性质② ，等式两边 同时除以 6，可以得到钢笔单价＝8×铅笔单价。所以 1 支钢笔的价钱可以买 8 支铅笔。
师：在这道题中，钢笔单价和铅笔单价虽然没有直接的联系，但是它们之间 有一个中间量“毛笔单价”，只要把毛笔的价钱变相等，就能建立起钢笔价钱和 铅笔价钱的相等关系了。
师：以上就是今天的答疑内容，谢谢！

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