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第七章 随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布 教学设计
一、教学目标
1. 理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算；
2. 能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差.
二、教学重难点
1. 教学重点
通过具体实例，了解伯努利试验.
2. 教学难点
掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
三、教学过程
（一）新课导入
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果.例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立.
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X.因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.
（二）探索新知
思考：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
用表示“第i次射击中靶”，用如图的树状图表示试验的可能结果.
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积.由概率的加法公式和乘法公式得
，
，
，
.
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为，并且与哪两次中靶无关.因此，3次射击恰好2次中靶的概率为.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次数X的分布列为.
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.
由二项式定理，容易得到.
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率.
解：设“正面朝上”，则.
用X表示事件A发生的次数，则.
（1）恰好出现5次正面朝上等价于，
于是；
（2）正面朝上出现的频率在内等价于，
于是.
例2 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为.
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分或.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为.
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则.
甲最终获胜的概率为.
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则.
甲最终获胜的概率为
因为，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.
归纳：一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则.
思考：假设随机变量X服从二项分布，那么X的均值和方差各是什么？
先考察n较小的情况.
（1）当时，X服从两点分布，分布列为.
均值和方差分别为.
（2）当时，X的分布列为.
均值和方差分别为.
.
一般地，可以证明：
如果，那么.
下面对均值进行证明.
令，由，
可得.
令，则.
二项分布的应用非常广泛.例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述.
（三）课堂练习
1.设随机变量，则等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由二项分布的概率公式可得，.故选A.
2.若随机变量服从二项分布，则( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：因为随机变量服从二项分布，所以，，，
因此有.故选D.
3.在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同.若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生次数X的期望和方差分别为( )
A.和 B.和 C.和 D.和
答案：A
解析：由题意，设事件A在每次试验中发生的概率为p，
因为事件A至少发生一次的概率为，即，
解得，则，
所以，
.故选A.
4.设随机变量，，若，则________.
答案：
解析：，，
，，
.
5.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个顼目测试的概率都是.
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列.
答案：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为.
（2）因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为，所以可看作3重伯努利试验，
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布，即，
所以，
，
，
.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（四）小结作业
小结：1. 伯努利试验及n重伯努利试验；
2. 二项分布及其均值与方差.
作业：
四、板书设计
7.4.1 二项分布
1. 伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
2. n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
n重伯努利试验的特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立.
3. 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作.
.
4. 二项分布的均值与方差：如果，那么.

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