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第九讲 分数综合
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1、通过复习整理知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。
2、认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。
3、理解公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数，能找出两个数的最大公因数与最小公倍数，能比较熟练地进行约分、通分和分数加减法的计算。
知识点一、分数的意义
1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
2、单位“1”：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。
举例说明：吃了一个蛋糕的的意义是：把这个蛋糕平均分成3份，吃了这样的1份
特别注意！一般题目里面的单位“1”要具体指出，而不要只是笼统的说单位“1”。
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
①一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；
②一个分数的分子是几，就有几个这样的分数单位。
举例说明：的分数单位是，它有5个这样的分数单位；的分数单位是，它有14个这样的分数单位。
特别注意：从以上举例看，一个分数的分数单位只看分母，分数单位的分子是1；而有几个这样的分数单位，只看分子（带分数化成假分数后再看分子！）
③分数的大小相等，但分数单位不一定相等。
④分母越大的分数，其分数单位越小。
举例说明：=，它们的分数单位分别是、，，虽然=，但是的分母大一些，从分数单位来看的分数单位小一些。
知识点二、分数与除法的关系
1、分数与除法的关系：
①联系：除法中的被除数相当于分数中的分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。由于除数不能为0，所以分数中（分母不能为0）。
被除数÷除数=,用字母表示：a÷b= （b≠0）
②区别：除法是一种运算；而分数是一种数，也可以表示两个数相除。
2、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。
举例说明： 3÷7=被除数3相当于分数中的分子3，除数7相当于分母7，除号相当于分数线，但是注意3÷7是表示除法运算，而则表示一个分数！
举例说明：一根长10米的绳子，第一次剪去，第二次剪去米，第一个，没有单位表示第一次剪去的绳子长度和绳子总长的关系，而第二个米，是带有单位的，表示具体数量及0.6米也就是60厘米。
知识点三 、真分数和假分数（分数分类）
1、真分数和假分数：
① 分子比分母小的分数叫做真分数，真分数＜1。
② 分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数≥1。真分数＜假分数
③大于1的假分数可以写成由一个整数和一个真分数组成的数，这样的数又叫做带分数，带分数＞1。
④分数分为真分和假分数两种，带分数是假分数的另一种书写形式。
2、假分数化成带分数或整数：
①分子是分母的倍数，这样的假分数可化成整数。
②用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是整数；如果有余数，商就作带分数的整数部分，余数作分数部分的分子，分母不变。
③整数可以看成分母是1的假分数。如2=、3=、4=……
④整数可以化成任意非零自然数作分母的假分数。如3===……
知识点四、分数的基本性质
1、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
2、应用分数的基本性质，可以把一个分数化成指定分母的分数，也可以把分母不同的分数化成分母相同的分数。
3、商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
4、分数的分子乘（或除以）一个数，分数值也乘（或除以）相同的数；
5、分数的分母乘（或除以）一个数，分数值反而除以（或乘）相同的数；
知识点五、通分和约分
1、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。
2、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）
知识点六、分数和小数互化
1、小数化分数：
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，
去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数
2、 分数化小数：
用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。（一般保留两位小数。）
3、判断分数是否能化成有限小数的方法：
① 判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数；
② 把分数的分母分解质因数:如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4、= 0.5 、、 、 、 、 、 、 、 、、 、
知识点七、分数和小数互化
1、同分母分数加、减法
同分母分数加、减法： 同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。 计算的结果，能约分的要约成最简分数。
2、异分母分数加、减法
分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方
法进行计算。
3、分数加减混合运算
（1）分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。 在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
（2）整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
知识点八、分数比大小
1、分子相同比较法
分子相同比较法就是把异分子的分数，根据分数的基本性质，化成同分子的分数，然后再根据“分子相同的分数，分母小的分数比较大”进行比较。
2、分母相同比较法
分母相同比较法就是把异分母的分数，根据分数的基本性质，化成同分母的分数，然后再根据“分母相同的分数，分子大的分数比较大”进行比较。
3、交叉相乘比较分数大小 ，把分子、分母交叉相乘，然后再比较它们的大小
4、巧用“” 比较分数大小，把要比较的几个分数先用比较，然后再比较它们的大小
5、巧用“1” 比较分数大小 ，先用1去减这个接近1的分数，然后得到分子为1的分数，再比较它们的大小。
类型一　分数的意义
【例1】的意义是：把（ ）平均分成（ ），表示这样（ ）的数。
吃了一个西瓜的的意义是_______________________________________
【例2】（1）把一根长3米的绳子平均分成4段，每段占全长的（ ），是（ ）米；每段是1米的（ ）。
（2）五年级一班人数比五年级二班的人数多，找出单位1，并说明的意义。
跟踪训练1　
1、一年级的人数是全校的的意义是：________________________________。
2、把23千克花生平均分成5份，每份占总重的（ ），重（ ）千克。是1千克的（ ）；
3、找出下列分数的单位“1”要修一条50千米长的公路，已经修了它的
类型二 分数与除法的关系
【例3】（1）男生15人，女生12人，女生人数是男生的，是把（ ）人数作为单位“1”，平均分成（ ）份，（ ）人数相当于这样的（ ）份。
（2）用分数表示除法的商。3÷5= 12÷13= ＝( )÷( )
【例4】把低级单位改成高级单位(大单位改成小单位)，要除以进率。
3分米＝(3÷10)=米 23分＝(23÷60)=时
59分米 ＝( ÷ ) ＝( )米 12分＝( ÷ ) ＝( )时
跟踪训练2　
1.用分数表示除法的商，将分数改成除法
＝( )÷( ) ＝( )÷( ) 23÷56= 1÷37=
2、单位换算9cm＝( )m 23kg＝( )t 16秒＝( )分
类型三 分数单位与分数的分类
【例5】的分数单位是（　　　），它有（　　　）个这样的分数单位、再加上（ ）个这样的单位就是最小的假分数（ ），这个最小的假分数是（ ）
【例6】分数按照（ ）可以分为真分数和假分数；真分数的特点是（ ），假分数的特点是（ ），假分数里比较特殊的是（ ），而其他的假分数都可以化成带分数。
跟踪训练3　
分数单位是的最小这分数是（ ），最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ）。
对于分数，完成下面填空
当( )时，它是这个分数的分数单位；当( )时，它是最大的真分数；
当( )时，它是最小的假分数； 当( )时，它的分数值为 0；
例如当Y=12时，当( )时，它是这个分数的分数单位；
当( )时，它是最大的真分数； 当( )时，它是最小的假分数；
当( )时，它的分数值为 0.
类型四 分数基本性质与分数互化
【例7】分数之间的互化：
＝ ＝ 2=()=
2＝()====()=
【例8】（1）== ==
的分子增加6，分母应该（ ），分数的大小不变。
跟踪训练4　
1、等式变换
＝ ＝ 4==
=6÷（ ）==（ ）←(小数)
2、填空
（1）的分子增加6，要使分数的大小不变，分母应该（ ）
（2）的分子乘以6，要使分数的大小不变，分母应该（ ）
（3）的分子增加6倍，要使分数的大小不变，分母应该（ ）
类型五 通分、约分求最大公因数、最小公倍数
【例9】1、把下列分数化成最简分数。
2、将下列分数通分
【例10】用短除法求下列各数的最大公因数和最小公倍数：
（1） 25和30 (2) 24和30 (3) 39和78
（2）兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？
跟踪训练5
1、约分
　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　
2、把下面各组分数通分。
　和　　　 　 和　　　　 、和
3、甲、乙、丙三个班的同学去公园划船，甲班49人，乙班56人，丙班42人。把各班同学分别分成小组，分乘若干条小船，使每条船上人数相等，最少要多少条船？
类型六 比大小
【例11】比较下面各组的大小
和 和 和 和
跟踪训练6
1、比较下列各组分数的大小
和 和 和
类型六 分数加减计算
【例12】分数加减计算
1、脱式计算
16－6 8.11＋＋2.89＋　 　　－（－）
2、解方程
+x=
3、列式计算：
（1）与的和是多少？ （2）减去的差是多少？
跟踪训练6
1、（能简算的要用简便方法计算）
－＋ 4＋8＋3
2、解方程
(1)x－3= 3 (2)6.75＋3x= 18
一、填空
1、六（1）班喜欢数学的人数占全班人数的，这里把（　　）看作单位“1”，平均分成（　　）份，喜欢数学的人有这样的（　　）份。
2、王强看一本书，6天看完，平均每天看这本书的（ ），三天看了这本书的（ ）
3、（1）“一块菜地的1/6种了黄瓜”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，种黄瓜的是这样的（ ）份。
（2）“红气球是气球总数的5/6”中，把（ ）看作单位“1”，平均分成（ ）份，红气球是这样的（ ）份。
4、在下面的括号里填上适当的分数。
40平方分米＝（　　）平方米 75厘米＝（　　）米　350千克＝（　　）吨
5、米表示（　　　　　 　），还可以表示（　　 　　　　　　　）。
6、的分数单位是（　　　），它有（　　　）个这样的分数单位。
7、在下面的○里填上“＞”、“＜”或“＝”符号。
○0.125 ○1 4○3 6.5千米○6千米
8、在下面的括号里填上适当的数。
是（　　　）个　　　　0.875＝＝＝　　　　
9、3米长的铁丝平均分成8段，每段长米，用小数表示是（　　）米。
9、8和9的最大公因数是（　　　　　　），最小公倍数是（　　　　）。
12和72的最大公因数是（　　　　　），最小公倍数是（　 　　）。
10、一个数3、5、7分别除都余1，这个数最小是（　　　　）。
二、计算
1、脱式计算
＋－＋ ＋＋－
2、解方程。
　　 x＋＝1　　 x－＝
三、按要求解答
（1）把下面的小数化成分数。
0.8　 1.7 3.4 4.875 0.125
（2）下面的分数化成小数，（除不尽的保留两位小数）。
3
（3）把0.29 、 、 0.3 、 、 按从小到大的顺序排列。
四、解决问题。
1、五一班有男生20人，比女生少5人，男、女生人数各占全班人数的几分之几？
2、甲、乙两个工人制造同样的机器零件,甲做一个零件用小时,乙做一个零件用小时,谁做的快些
3、某工程队修一条公路，第一个月修了7千米，第二个月修了8千米，还剩3千米。这条公路全长多少千米？
4、有三根铁丝，一根长15米，一根长18米，一根长27米，把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长有几米？
5、每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨多4个，则筐里至少有多少个梨？
一、填空
1、一项工程必须在30天完成，平均每天完成全部工程的。7天完成这项工程的。19天完成这项工程的。
2、两个数的最小公倍数是180，最大公因数是30，其中一个数是90，另一个数是（ ）。
3、一个最简分数，如果能化成有限小数，它的分母中只含有质因数（ ）。
4、用直线上的点表示下面各数。
　　
1　 　 　2　 　　　　3
5、把3千克的苹果平均分给7个人，每人得3千克的(　　)，每人分到(　　)千克。
6、写出一个最大的分数，使它的分子是1，并且它所改成的小数是循环节只有一位的纯循环小数。(　　)
7、小强4小时行18千米，小森5小时行21千米，(　　)走得快。
二、判断下列各题：对的打“√”，错的打“×”。
1、分数的分母越大，它的分数单位就越小。………… ( )
2、真分数比1小，假分数比1大。…………………… ( )
3、分子与分母互质的分数叫做最简分数。…………… ( )
4、把单位“1”分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫做分数( )
5、 一个分数约分后，它的大小不变，但分数单位却变大了 ( )
6、 不能化成有限小数。………………………………… ( )
三、选择题。将正确答案的序号填在题中的括号里。
1、米表示的意义是把（ ）平均分成7份，表示其中的4份。
　　　①4米　　　　　　　②1米　　　　　　 　　③单位1
2、一个分数，分子不变，分母扩大4倍，这个分数值就（　　　）
　　　①不变　　　　　　　②扩大4倍　　　　　　③缩小4倍
3、甲每小时做7个零件，乙每小时做8个零件，做一个零件（　　　）
①甲用的时间多　　　②乙用的时间多　　　　③两人用的时间同样多。
4、把一个分数约分，用分子和分母的（　　　）去约，比较简便。
①公约数　　　　　　②最小公倍数　　　　　③最大公因数
5、两个自然数相除，不能整除的时候，它们的商可以用（　　　）来表示。
①分数　　　　　　　②循环节　　　　　　　③余数
四、计算下面各题
1、脱式计算能简算的要简算
－（＋） －－ ＋－ ＋＋
2求未知数x。
x－= ＋x = x=
五、解决问题
1、把一张长72厘米，宽60厘米的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，纸无剩余，至少能裁多少张？
2、一批苹果，第一天卖出了总数的，第二天卖出总数的，两天一共卖出总数的几分之几？
3、一个长方形长是米，宽是米。它的周长是多少米？
4、第三化工厂去年生产化肥100吨，今年上半年生产吨，下半年生产吨，今年超过去年多少吨？
附加题： 挑战思维
1、一个最简分数，如果把它的分子扩大3 倍，分母缩小4 倍后，就得到4.2。这个最简分数原来是( )。
2、有同样大小的红、蓝、白玻璃球共76个，始终按2个红球、3个蓝球，4个白球的顺序排列。蓝玻璃球的个数占总数的。
3、的分子和分母同时加上多少后就可以约分成？

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