资源简介

《图形中的规律》教学设计
——北师大版小学数学五年级上册“数学好玩”单元
【教材解读】
图形中的规律、尝试与猜测是数形结合思想在教材中的具体体现，目的是通过学生对一些日常生活中现象的观察和思考，从数量或图形的角度进行合情推理。
图形中的规律看起来似乎很陌生，与其他知识没有必然的联系，是一节相对独立的数学活动课，其实前面的学习中已经接触过一些，如按规律填数，按规律接着画等，都是逐步将数形结合在一起将知识进一步提升，使学生通过观察、推理等活动，在生动的情境中找到图形的变化规律，培养学生的观察、想象、归纳概括的能力，提高学生合作交流与创新意识。
【学情分析】
五年级学生已经具备了提出问题、分析问题、解决问题的基本能カ，具备了大量自主探索、自主尝试的活动经验。他们已初步接触多种解题策略，已初步具备一定的归纳、猜想能力，会些基本的解决数学问题的方法，例如列表解决问题的方法，数形结合分析问题的方法。但学生欠缺的是统筹安排规划的能力、做题前选择方法的意识，在数学的应用意识与应用能力方面需进一步培养。另外小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而本单元内容主要是数学思想、数学方法的教学，比较抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难的。
【教学目标】
1、通过观察发现点阵中的规律，体会“图形与数”的联系。
2、通过摆图形活动，让学生尝试找出图形中的规律,领悟转化、数形结合、变中不变、数学建模等数学思想。
3、感受“数形结合”的神奇之美，激发孩子的学习兴趣。
【重点难点】
1、教学重点：让学生经历一个动手操作、探索发现的过程，找到探究这一类数学知识的方法。
2、教学难点：让学生能用准确地语言描述自己探究发现的过程，用字母公式表示出图形中的规律，并说出这样列式的算理。
【设计理念】
在教师的引导下，学生通过游戏、交流等方法探索解决问题的途径。教学要为学生创设充分的自主探究的空间，鼓励学生独立思考，在尝试中去比较，在比较中筛选，在筛选中完善，从而逐步逼近知识的本质。在此过程中既是对学生数学研究方法的渗透，也培养了学生发现问题、解决问题的能力，更发展了数学综合能力和数学直觉。
【教学时间】2019年10月21日（第8周星期一）下午第一节
【教学过程】
创设情境 激发兴趣
师：孩子们,大家喜欢欣赏美丽的图片吗
评:声音真响亮,老师也喜欢。
师:现在让我们一同来欣赏一下这几幅图。（多媒体播放图片）
师：图片看完了，认真观察的孩子们,请用简单的语言说说你的感受
评:表示得很到位,你认为这些图形都很漂亮。你也来说
评:很有数学眼光的孩子,你认为这些图形的都是按一定规律排列的。
师：看来，生活中这些有规律的图案能给我们带来美的享受，数学中的图形也能展示出很多有趣的规律，也同样能带给我们思考的空间。这节课就让我们共同来研究图形中的规律。（板书课题“图形中的规律”）
【设计意图：《数学课程标准》中指出，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测……新课开始，学生通过欣赏来自于生活周围的一些有规律排列的图形，即体验到了数学知识的实用性，又增加了数学学习的趣味性，为新知的有效探究奠定了良好的心理基础。】21世纪教育网版权所有
二、引导探究 发展素养
（一）三角形排列中的规律。
1.单个摆三角形。
师：孩子们,按你的生活经验,我们学过的图形中简单的平面图形，它具有稳定性，它是什么图形？
评:生活经验很丰富,马上想到了三角形,为你点赞!
师:孩子们,（三角形）用同样的小棒独立摆一个等边三角形，需要几根？（课件依次显示3、5、30、100、n）
评:反应速度真快,分别是9、15、90、300、3n
师:孩子们,这里的9是怎么来的
评:反应速度真快,用3×3=9。而这里的15,90呢 (在课件中出现算式,3可以用不同颜色)
评:佩服啊,能快速地用算式来表示.
师：孩子们,300呢？
评:这么快就知道了。
评：现在请同学们思考一下,在这里有什么不变的
评:头头是道的,每一个三形的小棒根数是不变的,还有什么变的吗
评:真是高见,三角形的个数与三角形的小棒总根数是变的。
师：孩子们,你们真厉害,通过观察加思考找到了规律,但如果还在再往下写三角形的个数与小棒的总根数,写得完吗
师:现在老师如果字母n代表三角形的个数,那么小棒的总根数怎么表示
评:活学活用的同学,这也说明三角形的小棒根数是三角形个数有什么关系
师:找到关系了,佩服。也找到规律了,更佩服!
2.复合三角形。
看来你们都已经发现了图形个数与小棒根数之间的规律。三角形是不是不管怎么摆都是这样的规律呢？
评：这么肯定地说对,实践是检验真理的唯一标准,请看屏幕，如果三角形像这样摆成一排……需要多少根小棒，（教鞭指着数1、2、3、4、5、6、7）是不是三七二十一呢？21教育
学生先是发出疑惑声音，之后都认为不是，很多学生开始数小棒个数为15根。
师：有人已经数出来了，一共是15根。如果照这样摆30个三角形又需要多少根小棒呢？谁说的对呢？
（引导学生大胆地猜测学生遇到问题，引起争论。教师把学生的猜测记在黑板上）
师：如果能有什么好办法，让我们像刚才一样，很快地算出不管摆几个这样连接的三角形小棒所需的根数，就可以验证出究竟是谁说的对了。想不想探索其中的奥秘？想！老师也很想。
我们首先把一个复杂的问题退到最简单的情况，由此获得启发，进而找到解决问题的正确途径。我国著名数学家华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个重要方法。你是愿意从1、2、3……开始研究呢？还是直接研究30呢？
评:你具有小小数学家的潜质,你的想法和华罗庚先生的想法一样。我很佩服你们！
【设计意图：面对学生的认知冲突，教师
适时引导学生：体验到探索规律是一种需要！归纳法能帮助我们深入思考；数学归纳法能帮助我们“进”，进到复杂的问题中。不仅如此，还能帮助我们“退”，从复杂的问题退到最简单最原始的问题中。】
安排小组活动：
①出示活动要求：
a、摆一摆：四人一小组，每摆一个三角形，组长就把小棒用的根数记录在表格中。
b、想一想：三角形的个数与所需的小棒根数之间的关系有什么规律？
c、议一议：请借助表格，将你的发现用数学形式记录下来，最后在小组内交流，比比看，哪个小组的发现最多？规律解释的最清楚？
那我们就用桌子上的小棒摆一摆吧！把你们的做法和发现记录到表格中！
三角形的个数 摆成的图形 小棒根数 小棒根数（列算式）
1
2
3
4
……
10
n
②学生活动。等到大多数人找到规律后，可以让组内的同学小声交流。
可能出现的情况1：我发现小棒根数都是奇数。
可能出现的情况2：我发现，除第一个三角形用三根小棒之外，以后每多摆一个三角形，只要在增添两根小棒就够了，就是依次多两根小棒。
3+2+2+2+……个数×3—公共边条数（公共边条数＝个数—1）
可能出现的情况3：第一个三角形用3根小棒，其实也可以认为是在一根小棒的基础上增加2根小棒这样，摆一个增加一个2根，摆两个增加两个2根，摆三个增加3个两根……
1+2+2+2+……（课件演示3=2＋1，为什么？每个2对应的是哪个三角形？）
③汇报。（给学生展示思维的空间，也是给学生以思维的启发）
师:孩子们,分享精彩的时刻到了!请你们来说说你的发现.
第一种2n+1
师:老师很好奇,你为什么要这样做。
评:振振有词的,而老师有个疑问了,为什么下面每一个算式里都有2个2再加1,3个2再加人等,而1×3能定成几个2再加1的形式吗
评:好了,孩子们,现在请用你们那么充满智慧的小眼睛观察一下,这里有什么不变的吗
评:观察能真强,都有加1,同时也都乘2。
师:那么有什么变化的吗
评:高见,每增加一个三角形就增加一个2。
师:孩子们,刚才我们借助图形(板书:形),由形想到数(板书:数),发现了每多摆1个三角形，小棒根数就增加2。
师:孩子们,你们把思维落到数学点上了,找到了变中不变的规律,老师如果假设现在有n个三角形,那么根据它们的关系(指着算式),要怎么表示小棒的总根数呢
评:为你点赞!找到了规律了,用2n+1来表示。
师:孩子们,刚才我们由形到数,得到了规律,让复杂的问题变得更加 (齐说)
(板书:复杂 简单)
第二种: 3n－（n－1）
师:请你来说说为什么要这样表示。
评:理由很充分,你认为原来的三角形的总根数不变,当每增加一个三角形时要去掉一条公共边。
师: 假设现在有n个三角形,那么根据它们的关系(指着算式),要怎么表示小棒的总根数呢
评:好办法,让我们的表达变得如此的简约。
第三种: 3＋2（n－1）
师:孩子们,现在请你来说说你的理由。
评:有理有据的,当一个三角形的个数不变时,当增加一个三角形时就增加2根小棒。
师: 假设现在有n个三角形,那么根据它们的关系(指着算式),要怎么表示小棒的总根数呢
评:好主意,让我们的表达变得这样的简约。
④比较
师:孩子们,如果让大家选择的话,大家更喜欢用哪一种呢
师:孩子们,有想法就在表达出来,这才是求知的态度。
评:想法很多,理由很充分,其实,孩子们第二种与第三种通过转化都可以变成第一种,
所以说数学是可以通融的。大家可以任意进行选择。
师：刚刚你们都发现了规律，能不能通过你们发现的规律，根据三角形的个数计算出小棒的根数？
学生进行尝试。
师生共同完善板书。（三角形个数：n小棒根数：3＋2（n－1）3n－（n－1）2n+1）
课件展示动态的形成过程，学生根据课件演示，进行解释。
【设计意图：通过画三角形，寻找三角形个数与所需小棒根数之间的关系。教师鼓励学生从图形、数等多种角度寻找关系，并加以对应，引导学生发现多摆一个三角形就增加2根小棒，并将这一关系用含有字母的式子表示出来。学生在具体的操作中，初步建立图形排列的规律模型，为更深入的研究提供了依据，符合建构主义理论的认识规律。】
单排正方形排列中的规律。
师：刚刚你们通过仔细的观察和认真的思考，研究出了三角形排列中的规律，老师真佩服你们。换一种图形，你们还能找出规律么？如果按照这样的摆法摆很多正方形，正方形的个数与所需要的小棒根数之间又有着什么规律呢？如果照这样摆30个正方形又需要多少根小棒呢？猜测。（课件显示成果图）
师：想好的同学，可以把你的想法写在纸上。如果你还没有想好，可以借助手中另一张表格来继续研究。
1.学生独立思考后，组内交流。
教师巡视，注意辅导学生从图形的组成进行归纳来发现规律。
可能出现的情况1：我们发现，在这些正方形中，除了第一个用4根小棒以外，以后每次只加3根就可以组成一个正方形了，可以用4＋（n－1）×3表示。【来
可能出现的情况2：这和摆三角形有些相似，所以我们用3n＋1来表示个数和根数之间的关系。
生：4根小棒可以摆一个正方形，再加上3根小棒，借助了第一个正方形的1根小棒就可以再加一个正方形。小棒的根数每次都＋3，所以是3n＋1（教师协助板书）
2.展示成果，总结公式3n＋1。　
照这样，摆30个正方形需要多少根小棒？
3.学生计算、验证3n＋1，口述完成，需要91根。
【设计意图：在探究三角形规律的基础上再探究正方形排列的规律，进一步验证，获得基本的解决问题的策略。】
三、运用所学 拓展思维
1.基本练习(由数找形)
2.拓展练习(由数找形)
师：聪明的孩子们，按上面的排列规律，如果有2001条边，那么它是由几个三角形来组成的呢？
评：分析得头头是道的，原来你是先去掉不变的1，再除以不断累积的2，最后得到了1000。佩服。
师:如果有3001条边呢
评:有了规律有了金钥匙,让我们的课堂充满着浓浓的数学味。
【设计意图：《数学课程标准》在“基本理念”中指出，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在获得三角形和正方形排列规律后，本环节在操作方法和互动方式上进一步开放，为学生获得充分的活动经验和总结解决问题的策略提供了素材。】
四、畅谈收获 总结发展
1、畅谈收获
师：同学们通过今天的学习，你有什么收获？
评：祝贺你满载而归。
2、欣赏发展
师：好，这节课我们把数和形结合起来来研究了图形中的规律，等边三角形，正方形我们都亲自研究过了，你们通过认真观察和仔细思考都发现了规律。如果边数继续增加，正五边形象这样摆下去，你们还能说出这里的规律么？正六边形呢？请同学们带着这个问题回家加以思考。
师：哪里有数学哪里就有美。这节课我们把数和形结合起来研究,这种思想在数学上称为“数形结合”思想。我国著名的数学家华罗庚先生曾说过:‘数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休’运用数形结合的思想能帮助我们解决很多的数学问题。
【板书设计】
图形中的规律
形→→→数
（复杂） → （简单）
【教学反思】
可取之处：
为学生搭建探索问题的平台，鼓励学生主动探索和交流。三角形中的规律，是学生通过观察、想象、猜测，自己归纳、总结出来的。
积极渗透多角度思考问题的策略。由于学生的生活背景、数学知识、能力和思考问题的角度不同，在探索数学问题时，必然会出现多种不同的思考方法。正是这种多角度的思考方法，才能使解决问题的策略多样化。
充分体现了“数形结合”的思想，有意识地渗透这种思想，对提高学生解决问题的能力有很大帮助。
不足之处：
预习作业布置得不够到位。只让学生阅读课本以及自己利用牙签摆，这样学生对内容还不够透彻。应该配合预习单，带着问题思考，自行探究并书写算式。
导入不够贴合内容。用有规律的图片导入较牵强。
新知部分讲解规律不够清晰。教师自己也有些绕晕，因此备课应更充分一点，重点部分讲解透彻。

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