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第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
考向预测 核心素养
考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的直观想象和逻辑推理等核心素养，主要为中低档题． 直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、知识梳理
1．平面
(1)四个基本事实
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．
(2)“三个”推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系
平行直线))
异面直线：不同在任何一个平面内，
没有公共点))
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
[注意]　两直线垂直有两种情况——异面垂直和相交垂直．
(3)空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线、平面的位置关系
位置关系 符号
直线和平面 直线在平面内 a α
直线在平面外 直线与平面相交 a∩α＝A
直线与平面平行 a∥α
平面和平面 两平面平行 α∥β
两平面相交 α∩β＝l
常用结论
1．异面直线的判定
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．几个唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
二、教材衍化
1．(多选)(人A必修第二册P128练习T2改编)下列命题是假命题的是(　　)
A．空间任意三个点确定一个平面
B．一个点和一条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线确定一个平面
D．两两平行的三条直线确定三个平面
2．(多选)
(人A必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是(　　)
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
3．(人A必修第二册P132习题8.4T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
参考答案
1答案：ABCD
2解析：
选ABC.把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错误，选ABC.
3解析：三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．
答案：8　4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若P∈α∩β且l是α，β的交线，则P∈l.(　　)
(2)若直线a∩b＝A，则直线a与b能够确定一个平面．(　　)
(3)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α.(　　)
(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线．(　　)
二、易错纠偏
1．(多选)(线面关系概念不清致误)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b α　　　　　 B.b∥α
C．b与α相交 D.以上都不对
2．(对于直线与直线的位置关系考虑不全面致误)若a∥α，b∥β，α∥β，则a，b的位置关系是(　　)
A．平行 B.异面
C．相交 D.平行或异面或相交
3.
(异面直线所成的角概念理解不清致误)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A．30° B.45°
C．60° D.90°
参考答案
一、思考辨析
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
1答案：ABC
2解析：选D.如图①②③所示，a，b的关系分别是平行、异面、相交．
3解析：选C.连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C或其补角为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.
考点一　基本事实的应用(综合研析)
复习指导：理解四个基本事实的作用．
(2022·上海市南洋模范中学月考)
已知正方体ABCD A1B1C1D1中，BD1与平面ACB1交于点P，设BD与AC相交于点O.求证：P∈直线B1O.
【证明】　因为BD1 平面BDD1B1，且BD1与平面ACB1交于点P，
所以点P是平面BDD1B1与平面ACB1的公共点，
因为平面BDD1B1∩平面ACB1＝B1O，
所以P∈直线B1O.
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．②证两平面重合．
(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
|跟踪训练|
1.(多选)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是(　　)
2.
如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC　　 B.直线AB
C．直线CD D.直线BC
参考答案
1解析：选ABC.对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．
2解析：选C.由题意知，D∈l，l β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
考点二　空间位置关系的判断(自主练透)
复习指导：认识和理解空间点、线、面的位置关系．
1．若平面α和直线a，b满足a∩α＝A，b α，则a与b的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　 B.平行
C．异面 D.相交或异面
2.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)
A．直线AA1 B.直线A1B1
C．直线A1D1 D.直线B1C1
3.
(多选)(链接常用结论1)(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是(　　)
A．AP与CM是异面直线
B．AP，CM，DD1相交于一点
C．MN∥BD1
D．MN∥平面BB1D1D
4．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为________．
①若a平行于α内的无数条直线，则a∥α；
②若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若α∥β，a α，则a∥β；
④若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交．
参考答案
1解析：选D.若A∈b，则a与b相交，若A b，则a与b异面，故选D.
2解析：选D.根据异面直线的概念可知直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线．因为直线B1C1和EF在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线B1C1和直线EF相交．
3解析：选BD.连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，
又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，
所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确．
令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.
因为M，N分别是C1D1，BC的中点，
所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝CD，
则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，
因为MN 平面BD1D，OD1 平面BD1D，
所以MN∥平面BD1D，C不正确，D正确．
4解析：①忽略了a在α内这一情况，故①错误；
②直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故②错误；
③直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故③正确；
④直线a与平面β可能相交也可能平行，故④错误．
答案：③
点、线、面位置关系的判定
(1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
(2)两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理．
考点三　异面直线所成的角(综合研析)
复习指导：求异面直线所成的角关键是转化为平面角，常利用平移法解决．
(1)(2021·高考全国卷乙)在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
(2)
(2022·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　
(1)如图，连接C1P，因为ABCD A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP.又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝，故选D.
(2)如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．
因为SE＝SB，
所以SE＝BE.
又OB＝3，所以OF＝OB＝1.
因为SO⊥OC，SO＝OC＝3，所以SC＝3.
因为SO⊥OF，所以SF＝ ＝.
因为OC⊥OF，所以CF＝.
所以在等腰三角形SCF中，
tan∠CSF＝＝.
【答案】　(1)D　(2)D
平移法求异面直线所成角的步骤
|跟踪训练|
(2022·西安质检)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，则直线AB与CD所成的角为(　　)
A．90° B.60°
C.45° D.30°
解析：
选B.如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接ON，OM，MN，
则ON∥CD，MN∥AB，
且ON＝CD，MN＝AB，
所以∠ONM或其补角即为所求的角．
因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC 平面ACD，
所以BO⊥平面ACD，因为DO 平面ACD，所以BO⊥OD.
设正方形边长为2，则OB＝OD＝，
所以BD＝2，
则OM＝BD＝1.
所以ON＝MN＝OM＝1.
所以△OMN是等边三角形，∠ONM＝60°.
所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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