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2.3.1　圆的标准方程
●教学目标
1．掌握圆的标准方程的形式特点；
2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；
3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径.
●教学重点
圆的标准方程
●教学难点
根据条件建立圆的标准方程
●教学方法
学导式
●教学过程
设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。
平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.
按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.
1．圆的标准方程：
(x―a)2＋(y―b)2＝r2
其中圆心坐标为（a,b），半径为r
推导：如图7—32，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2
当圆心在原点，这时圆的方程是：x2＋y2＝r2
小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。
课堂练习：1、P77　练习　1
写出下列各圆的方程
⑴圆心在原点，半径是3；
⑵圆心在点C(3,4)，半径是5；
⑶圆心在点C(8,－3),经过点P(5,1)。
2、说出下列圆的圆心、半径
⑴(x－2)2＋(y＋3)2＝25
⑵(x＋2)2＋(y－1)2＝36
⑶x2＋y2＝4
3、判断下列各点与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的位置关系：
①A(1,1)；②B(0,1)；③C(3,1)。
小结：点P(x0,y0)与(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系是
　　　(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2等价于点P在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2等价于点P在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2等价于点P在圆内。
2．例题讲解：
例1 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
回忆初中直线与圆的位置关系：
①设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则d＞r等价于直线与圆相离；d＝r等价于直线与圆相切；d＜r等价于直线与圆相交。
②从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。
③从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离。
解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识
例2 已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线　
垂直于过切点的半径，于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
.
经过点M的切线方程是：
整理得：
因为点M（x0，,y0）在圆上，所以
所求切线方程为：
当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.
猜测：已知圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，则经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程是(x－a) (x0－a)+(y－b) (y0－b)=r2.
说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解
例3 图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.
解：建立直角坐标系如图7—34所示.
圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y－b)2=r2
因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.
解得b=－10.5, r2=14.52
所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52
把点P的横坐标x=－2代入圆方程得
答：支柱A2P2的长度约为.
说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.
Ⅲ.课堂练习
课本P77 练习1，2，3，4
思考题：
1、圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是__________。5
2．直线3x－4y+17=0被(x－2)2＋(y－2)2＝25所截得的弦长是_____________.8
●归纳总结
1数学思想：数形结合，
2数学方法：解析法，图形法。
通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。
●作业　　　　习题7.7 1，2，3，4

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