资源简介

《平面向量的数量积》教学设计
教材分析
本节课是新版教材人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修第二册第六章第6.2.4节“向量的数量积”。
教材中的内容根据学生的认知发展规律，按照知识的逻辑顺序进行编排，让学生在循序渐进中对向量更加深入的理解和认识。在内容安排上，给出平面向量的概念及线性运算之后，通过“两个向量能否相乘？”引发学生的认知冲突，开展新知识的学习；在情境的创设上，利用物理中的模型设置问题情境，从力做的功引入向量的数量积。
本节内容是向量运算对象的进一步扩充，体现了向量运算形式的不断发展，为后续向量的学习、在现实生活和物理中的应用，在其它数学内部的广泛应用奠定了基础。
学情分析
从物理角度来看，学生已经学习了位移、力、功等相关物理量，明确功的定义，在具体问题中，学生能计算出功的大小，并在图中能准确找到两个向量（力与位移）及其夹角。但学生有利用数学知识研究物理问题的经验，却很少有从物理背景中引出数学内容的经验，从具体的物理实例开始教学，可能会存在一定的困难。
从代数角度来看，学生已经学习了数、式、集合、函数等运算，比较完整的经历了实数运算的研究过程，学生初步积累了建立运算体系的经验。但是在向量的运算中，两个向量相乘对学生来说是新知，学生容易带着实数运算的思维定势来理解向量的运算，会导致对向量运算理解不到位的错误。
学生在之前的学习中已具备了一定的观察问题、分析问题的能力，具备能从简单的实际背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学习本节知识的良好基础。
教学目标
学生能完整地认识到向量运算的研究脉络，体会从具体到抽象、特殊到一般的思维方式。
通过亲身经历课堂合作探究活动过程（回忆物理中“功”的相关问题，并类比抽象概括为对应的数学问题），体会类比思维在发现、归纳新的数学研究对象中的作用，发展抽象概括、推理论证的能力。
理解平面向量数量积的定义及其几何意义，能熟练地进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。
教学重难点
掌握平面向量数量积的定义，会计算平面向量的数量积是重点；理解平面向量数量积的几何意义是难点。
教法上，通过引入物理情境，采用类比以及数形结合的数学思想方法来突破本节课的重难点。
学法上，指导学生弄清楚两向量的模和夹角，循序渐进地引导学生，启发学生思考，培养学生的数学思维能力。
教学方法
本节课主要采用讲授式和训练实践式相结合的教学方法。
讲授式教学是教师运用语言方式，科学的组织教学内容，运用清晰、精炼、准确、生动的教学语言系统地向学生传授科学知识，传播思想观念，发展学生的思维能力，发展学生的智力。
训练实践式教学是教师通过课内外的练习活动，使学生巩固、丰富和完善所学知识，培养学生解决实际问题的能力和多方面的实践能力。
教学过程
回顾旧知
通过前面对平面向量的概念及其线性运算的学习，我们初步感知了向量这一研究几何的新工具，掌握了平行向量、共线向量、向量的三角形法则和平行四边形法则等内容。
提问1：如何用向量运算刻画两个向量相互垂直？在三角形ABC中，已知AB、AC以及两边的夹角的大小，如何利用向量运算求BC边的长和其余内角的大小？
追问1：请同学们思考哪些物理矢量问题与长度和夹角有关？能否从中获得新的向量知识，解决与度量有关的几何问题？（学生通过课前预习能很容易回忆起物理中力对物体做功的计算公式）。
设计意图：明确向量的学习能将几何问题转化为算术化的分析；通过提问设疑，引起学生思考，发现线性运算不能解决与度量有关的几何问题；通过继续追问，引导学生对物理知识的回顾，能很容易想到力对物体做功的计算公式。
如图所示，如果一个物体在力F的作用下，产生位移s，那么力F所做的功表示为：
其中是F与s的夹角。
提问2：从功的表达式中可以看出功的定义涉及几个要素？他们分别是什么量？
结论2：力F和位移s是矢量，功W是标量，是力矢量和位移矢量的夹角。
设计意图：F、s舍弃其实际含义，抽象为数学中的意义即为向量，W为实数，这时就是两向量的夹角，为接下来定义向量的夹角奠基；通过引入物理概念，帮助学生抓住知识的生长点，抽象出向量数量积的雏形。
（二）讲授新知
向量的夹角：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量和的夹角。
提问1：根据上图，结合以前所学的知识，我们能很明显得出两个向量在什么时候是垂直关系呢？
结论1：如果和的夹角是，我们就说与垂直，记作。
提问2：定义向量夹角时，为什么强调是两个非零向量？
结论2：因为零向量与任一向量都平行，所以这里强调两个非零向量。
设计意图：通过反复提问，学生能对夹角的定义细化思考，体会数学定义的严谨性。
功的计算公式说明，对于给定的力和位移两个矢量对应唯一的功（实数），舍去其中的物理对象，抽象出数学意义可知，对于给定的向量与，对应唯一的实数，这个实数与向量的长度和夹角有关，我们把它看成两个向量的一种运算叫做数量积。
向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即：
规定：零向量与任一向量的数量积为0。
提问3：教材为什么要规定零向量与任一向量的数量积为0？
结论3：设求与的数量积：
设计意图：从物理背景出发，学生能在类比和抽象中理解、概括平面向量数量积的概念，同时在得出数量积定义的过程中感受不同学科间知识的渗透；通过对定义中规定的提问，帮助学生深刻理解定义。
（三）拓展延伸
前面所学的关于向量的线性运算的结果是向量，很容易得到它们的几何意义，而仔细观察数量积的结果是一个数值。
提问1：那么向量数量积的几何意义是什么呢？
提问2：同学们我们都知道在功是指在力的方向上产生的位移乘以力的大小，实质上就是力在位移方向上的分力乘以位移的大小。那类比数量积同学们能想到什么呢？
猜想2：数量积是一个向量的在另一个向量上分向量的模乘以另一向量的模；向量积是分向量与另一个向量的乘积。
设计意图：从力的分解类比向量的“分解”，进而使学生产生如何表示“分向量”的求知欲望，从而产生研究向量投影的需求。
大家提到的一个向量在另一个向量上的分向量，就是我们接下来要研究的一种变换，我们称之为投影。
设，是两个非零向量，，，我们考虑如下变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。
我们可以在平面内任取一点,作,，过点作直线的垂线，垂足为,则就是向量在向量上的投影向量。
提问3：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，显然与共线，，那么请大家计算一下当为不同情况时的大小？
结论3：
当为锐角时，与方向相同，，所以：
当为直角时，，所以：
当为钝角时，与方向相反，所以：
即：
当时，，所以：
当时，，所以：
从上面的讨论可知，对于任意的，都有：
设计意图：通过提问当为不同情况时的大小，为后续用投影向量表示向量与的数量积做铺垫。
提问4：尝试验证前面提到的猜想：向量与的数量积可以写成表示投影的向量与向量的数量积吗？
结论4：
即：
追问提问1：通过这节课的学习，大家能得出向量数量积的几何意义了吗？
结论1：数量积等于的长度与在上的投影的乘积。
设计意图：通过对问题的解决感受到学习投影向量的必要性，理解投影向量的作用，深化对数量积的理解。
（四）深化练习
已知，，与的夹角为，则值为（）
解：
已知，，值为，求与的夹角。
解：由，得
因为，所以。
设计意图：从不同角度考查学生是否掌握求解两个向量数量积的问题，提高学生分析和解决问题的能力。
（五）反思小结
本节课学到了哪些重要内容？
本节课学到了哪些数学思想方法？
如何用向量运算刻画两个向量相互垂直？在三角形ABC中，已知AB、AC以及两边的夹角的大小，如何利用向量运算求BC边的长和其余内角的大小？
（六）作业布置
教材课后习题
2. 类比数的运算律，结合向量的几何表示，推导向量数量积的运算律等运算性质，并加以证明。
七、课后反思
课后，将从以下几方面对本节课进行反思：
整堂课是否完成教学目标？重难点是否突破？
学生学习的效果如何？对知识点是否充分掌握？
教学过程中有哪些生成？对本堂课有什么需要改进的地方？

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