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第一章 空间向量与立体几何
1.3.1 空间直角坐标系
教学设计
1、 教学目标
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量.
2.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
3.掌握平行向量，垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行，向量的垂直问题.
4.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
二、教学重难点
1. 教学重点
坐标的确定和空间直角坐标系的建立.
向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
2. 教学难点
向量坐标的确定.
向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
三、教学过程
（一）新课导入
同学们，学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
类比于前面学过的平面向量的相关知识，平面向量的运算可以转化为数的运算，那么，空间向量的运算是否也可以转化为数的运算？
能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题.
（二）探索新知
探究一：　空间直角坐标系
我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成.利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直角坐标系：如图，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
类似地，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}（如图）.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分.
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
探究二：空间直角坐标系中点的坐标表示
在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
在空间直角坐标系Oxyz中（如图），i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使.
在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
探究三：空间直角坐标系中向量的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作（如图）.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=（x，y，z）.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标（x，y，z）吗？
事实上，如图所示，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.可以证明在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为，，，且.设点B，C和D在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A（向量）的坐标为（x，y，z）.
（三）课堂练习
1.在空间直角坐标系中,下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点的坐标相同 B.向量的坐标与点的坐标相同
C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量的坐标相同
答案：D
解析：因为点不一定为坐标原点,所以选项A,B,C都不正确.因为,所以选项D正确.
2.如图所示的空间直角坐标系中,单位正方体顶点的坐标是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：依据空间点的坐标定义,点的坐标是.故选C.
3.点在空间直角坐标系中的( )
A.轴上 B.平面内
C.平面内 D.平面内
答案：C
解析：点的纵坐标为0,所以该点在平面内.故选C.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1. 空间直角坐标系；
2. 空间直角坐标系中点的坐标表示；
3. 空间直角坐标系中向量的坐标表示.
四、板书设计
1.3.1 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系；
2. 空间直角坐标系中点的坐标表示；
3. 空间直角坐标系中向量的坐标表示.

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