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第3章　图形的相似
3.1　比例线段
3.1.2　成比例线段
教学目标 1.了解线段的比和成比例线段的概念. 2.了解“黄金分割”. 3.能通过计算，判断四条线段是否成比例． 教学重难点 重点：成比例线段的概念及通过计算判断四条线段是否成比例. 难点：“黄金分割”的概念，并解决相关的实际问题． 教学过程 导入新课 复习导入 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例． 四个数a，b，c，d，如果a：b＝c：d或，则称a，b，c，d成比例. 情境导入 美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．你知道0.618这个比值的来历吗？ 教师引出课题并板书课题. 探究新知 【探究1】成比例线段 【问题1】（师生互动，教师提出问题，学生思考交流并回答） 如图，在方格纸上，（设小方格边长为单位1）△ABC和△的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC，，，的长度，并计算AB与 ，BC与，AC与的长度的比值. 学生通过计算可得 AB＝，BC＝2，AC＝， ＝，＝4，＝， 它们的比值都为0.5. 设计意图：经过创设情境，学生自主参与动手操作，得出“两条线段的比”，通过观察得出四条线段的长成比例的关系，从而得出“比例线段”的概念. 【归纳结论】如果选用同一长度单位量得两条线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫做这两条线段的比，记作：＝或AB∶A′B′＝m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成＝k或AB∶A′B′＝k. 【注意】（1）两线段是几何图形，可用它的长度比来确定. （2）度量线段的长，单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关． （3）表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD. 【总结】 1.线段的比的概念 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n或写成＝，其中，AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比． 2.成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段. 【探究2】黄金分割 【问题】教师提出问题，学生思考，交流，归纳，教师点拨. 某数学家、天文学家欧多克索斯曾经提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于AC与原线段AB的比，即使得＝成立？ 如果能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 你能把任意一条线段黄金分割吗？如果可以的话，那么黄金分割比是多少呢？ （师生活动）各小组互相合作，探求这样的点是否存在． 运用一元二次方程的知识，可以求出黄金分割比的数值. 如图，设线段AB的长度为1个单位，点C为线段AB上一点，且AC的长度为x个单位，则CB的长度为（1-x）个单位. 列出方程：. ① 由于x≠0，因此方程①两边同乘x，得1-x＝x2, 即x2+x-1＝0. 解得 因此， 事实上，我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为，它约等于0.618. 根据上面的计算我们可以得知存在这样的一个点C. 即＝＝. 【归纳结论】如果线段AB上有一点C，且＝，那么线段AB被点C黄金分割．点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 黄金分割比的数值近似为0.618. 设计意图：学生通过“计算、证明”等活动，得到并加深对黄金分割的理解． 新知应用 例1　(教材P65例3)已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问a，b，c，d是比例线段吗？ 【分析】（师生互动）学生肯定会先求a∶b，c∶d，再比较两个值是否相等，从而判断四条线段是否成比例．提醒学生注意，对于这种打乱排列顺序再判断四条线段是否成比例的题目，不能再按自然排序求比判断，而应先把四个数值从小到大重新排列，验证最长与最短的两条线段的长度之积是否等于中间两条线段的长度之积． 【解】∵ ∴ 即a，b，c，d是比例线段. 【即学即练】 （师生活动）学生先独立思考，请三位同学进行板演，学生之间相互评价，教师点拨. 【变式】下列各组中的a，b，c，d四条线段是否成比例，若成比例，请写出比例式（式中需含全部4个字母）． （1）a＝1 cm，b＝3 cm，c＝6 cm，d＝9 cm； （2）a＝5 cm，b＝10 cm，c＝15 cm，d＝20 cm； （3）a＝1.9 cm，b＝8.1 cm，c＝5.7 cm，d＝2.7 cm； （4）a＝126 cm，b＝23 cm，c＝14 cm，d＝207 cm. 【解】（1）先将四个数从小到大排列为1 cm，3 cm，6 cm，9 cm，由于1×9≠3×6，所以不成比例． （2）先将四个数从小到大排列为5 cm，10 cm，15 cm，20 cm，由于5×20≠10×15，所以不成比例． （3）先将四个数从小到大排列为1.9 cm，2.7 cm，5.7 cm，8.1 cm，由于1.9×8.1＝5.7×2.7，所以成比例，比例式为a∶c＝d∶b. （4）先将四个数从小到大排列为14 cm，23 cm，126 cm，207 cm，由于14×207＝23×126，所以成比例，比例式为a∶c＝d∶b. 设计意图：能灵活运用知识解决相关的问题，达到学以致用的目的. 课堂练习 1.下列各组数中一定成比例的是（　　） A.2，3，4，5 B.-1，2，-2，4 C.-2，1，2，0 D.a，2b，c，2d 2.已知线段AB＝10 cm，点C为线段AB的黄金分割点，且AC

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