资源简介

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
教学设计
1、 教学目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
2.理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角与空间向量之间的关系，并会用向量方法求简单夹角问题.
3.能描述用空间向量解决立体几何问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、教学重难点
1. 教学重点
理解运用用向量方法求空间距离的原理.
理解运用向量方法求空间角的原理.
2. 教学难点
掌握运用空间向量求空间距离的方法.
掌握运用空间向量求空间角的方法.
三、教学过程
（一）新课导入
我们知道立体几何中的距离问题包括点到直线，点到平面，两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等，如何用空间向量解决这些距离问题呢？这节课我们就来一起探究一下用向量方法解决空间中的距离、夹角问题.
（二）探索新知
探究一：　用向量方法解决距离问题
1.点到直线的距离：如图，向量在直线l上的投影向量为，则是直角三角形. 因为A，P都是定点，所以，与u的夹角都是确定的. 于是可求.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.
设，则向量在直线l上的投影向量.
在中，由勾股定理，得.
2.点到平面的距离：如图，已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点. 过点P作平面的垂线l，交平面于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度. 因此
.
例1. 如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.
（1）求点N到直线AB的距离；
（2）求点到平面ABN的距离.
解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，是的中点，.
，，则，.设点N到直线AB的距离为，
则.
（2）设平面ABN的法向量为，则由，，
得令，则，，即.
易知，设点到平面ABN的距离为，
则.
总结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
探究二：用向量方法解决夹角问题
我们已经学完了用空间向量求距离问题，记住了点到直线的距离公式以及点到平面的距离公式，与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量，那么如何用向量的方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角呢？我们来学习一下.
1.异面直线所成的角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
2.直线与平面所成的角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角. 如图，直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则.
3.二面角：如下图，平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，则.
探究三：用空间向量解决实际问题，综合问题
同学们，利用向量方法解决几何问题，我们已经学会了如何利用向量方法处理立体几何中的平行，垂直问题，如何求距离，求角度等问题，那么如何利用向量方法解决实际问题和综合问题呢？我们来分析一下.
例2 下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s ，精确到0.01 N）.
解：如图，设水平面的单位法向量为n，其中每一根绳子的拉力均为F.
因为，所以F在n上的投影向量为.
所以8根绳子拉力的合力.
又因为降落伞匀速下落，所以.
所以.
所以.
探究四：解决立体几何问题的方法
解决立体几何中的问题，可用三种方法：
（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；
（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；
（3）坐标法：利用数及其运算来解决问题.
（三）课堂练习
1.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，
则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
2.如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.
设平面的一个法向量为,则即
令,则.
点到平面的距离.
（多选）
3.如图，在直三棱柱中，，,D,E分别是线段BC,上的动点（不含端点），且，则下列说法正确的是( )
A.平面
B.该三棱柱的外接球的表面积为
C.异面直线与所成角的正切值为
D.二面角的余弦值为
答案：AD
解析：在直三棱柱中，
四边形是矩形，所以，
因为，所以，
又平面,平面，
所以平面，故A项正确；
因为，所以，
因为，所以，
易知为直角三角形，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积，故B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为.
在中，，
所以，故C项错误；
连接，则二面角即二面角，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴，
y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，可得，
设平面的一个法向量为，
则即
令，可得，
所以，
故二面角的余弦值为，
故D项正确.故选AD.
4.已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面的距离为
C.平面与平面间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
答案：BC
解析：如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.
设，则，.
故A到直线BE的距离，故A错.
易知，
平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对.
，，.
设平面的法向量为，
则所以
令，得，，
所以.
所以点到平面的距离.
因为易证得平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1. 用向量方法解决距离问题；
2. 用向量方法解决夹角问题；
3. 用空间向量解决实际问题，综合问题；
4. 解决立体几何问题的方法.
四、板书设计
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
1. 用向量方法解决距离问题；
2. 用向量方法解决夹角问题；
3. 用空间向量解决实际问题，综合问题；
4. 解决立体几何问题的方法.

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